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第8课时一元二次方程及其应用考点一一元二次方程及其解法考点聚焦1.一般形式:图8-12.一元二次方程的解法方法解题流程注意事项直接开平方法(1)ax2+c=0⇒x=①(其中ac0);(2)a(x+n)2=b⇒x=②(其中ab0)开方后取正负两个值配方法ax2+bx+c=0(a≠0)⇒x2+bax+ca=0⇒x+b2a2=b2-4ac4a2,开方求解配方过程中,注意加上一个数的同时减去这个数±-𝒄𝒂-n±𝒃𝒂（续表）方法解题流程注意事项公式法当b2-4ac≥0时,由求根公式可得ax2+bx+c=0(a≠0)的解为x=③前提条件:①判别式Δ≥0;②等号的右边为0因式分解法ax2+bx+c=0(a≠0)(m1x+n1)·(m2x+n2)=0⇒m1x+n1=0或m2x+n2=0,求得x的值当等号两边有相同的因式时,不能约去,以免漏解-𝒃±𝒃𝟐-𝟒𝒂𝒄𝟐𝒂考点二一元二次方程根的判别式、根与系数的关系1.判别式与根的关系(1)b2-4ac0⇔方程有④的实数根;(2)b2-4ac=0⇔方程有⑤的实数根;(3)b2-4ac0⇔方程⑥实数根.2.根与系数的关系(选学)若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为x1,x2,则x1+x2=⑦,x1x2=⑧.两个不相等两个相等没有-𝒃𝒂𝒄𝒂考点三一元二次方程的实际应用应用类型等量关系增长率问题(1)增长率=增量÷基础量;(2)设a为原来的量,m为平均增长率,n为增长次数,b为增长后的量,则a(1+m)n=b销售利润问题(1)纯利润=售出价-进货价-其他费用;(2)利润率=利润÷进货价×100%;(3)总利润=(售价-成本)×数量（续表）应用类型等量关系面积问题AB+BC+CD=aS阴影=⑨S阴影=⑩S阴影=⑪(a-2x)(b-2x)(a-x)(b-x)𝒂-𝒙𝟐·x题组一必会题对点演练1.[九上P9练习第1题]填空:(1)x2+10x+=(x+)2;(2)x2-12x+=(x-)2;(3)x2+5x+=(x+)2;(4)x2-23x+=(x-)2.255366𝟐𝟓𝟒𝟓𝟐𝟏𝟗𝟏𝟑2.[九上P21习题21.3第1(1)(3)(4)题改编](1)方程x2+10x+21=0的解是;(2)方程3x2+6x-4=0的解是;(3)方程3x(x+1)=3x+3的解是.x1=-3,x2=-7x1=-𝟑+𝟐𝟏𝟑,x2=-𝟑+𝟐𝟏𝟑x1=-1,x2=13.[九上P22习题21.3第6题改编]参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛,共要比赛90场,共有个队参加比赛.[答案]10[解析]设参加比赛的球队共有x个.由题意得x(x-1)=90,(x-10)(x+9)=0,解得x1=10,x2=-9(不合题意,舍去).所以参加比赛的球队共有10个.4.股票每天的涨、跌幅均不超过10%,即当涨了原价的10%后,便不能再涨,叫涨停;当跌了原价的10%后,便不能再跌,叫跌停.已知一支股票某天跌停,之后两天时间又涨回到原价,若这两天此股票股价的平均增长率为x,则x满足的方程是.(1+x)2=𝟏𝟎𝟗5.[九上P25复习题21第4题改编]写出下列方程两个根的和与积:(1)x2-5x-10=0,x1+x2=,x1x2=;(2)2x2+7x+1=0,x1+x2=,x1x2=;(3)3x2-1=2x+5,x1+x2=,x1x2=;(4)x(x-1)=3x+7,x1+x2=,x1x2=.5-10-𝟕𝟐𝟏𝟐𝟐𝟑-24-76.一元二次方程x(x-1)=2(x-1)2的根是.题组二易错题【失分点】解一元二次方程时,方程的两边直接除以相同的整式,导致漏解;在运用根的判别式或者根与系数的关系时,忽视二次项系数不能等于0这一条件.x=1或x=27.[2019·枣庄]已知关于x的方程ax2+2x-3=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是.[答案]a-13且a≠0[解析]∵关于x的方程ax2+2x-3=0有两个不相等的实数根,∴a≠0,且22-4a(-3)0,解得a-13且a≠0.考向一一元二次方程的解法例1用指定方法解方程x2-12x+27=0.(1)公式法:(2)配方法:(3)因式分解法:解:(1)公式法:原方程为x2-12x+27=0,这里a=1,b=-12,c=27.∵b2-4ac=(-12)2-4×1×27=360,∴x=12±362×1=12±62.因此原方程的根为x1=3,x2=9.(2)配方法:原方程为x2-12x+27=0,即(x-6)2=9,∴x1=3,x2=9.例1用指定方法解方程x2-12x+27=0.(2)配方法:(3)因式分解法:原方程为x2-12x+27=0,即(x-3)(x-9)=0,∴x-3=0或x-9=0,∴x1=3,x2=9.例1用指定方法解方程x2-12x+27=0.(3)因式分解法:【方法点析】解一元二次方程要根据方程的特点选取方法,考虑选用的先后顺序为直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法.形如(x+a)2=b的一元二次方程可直接开平方;若一元二次方程的一边是0,而另一边又能分解成两个一次因式的积,则用因式分解法;当二次项系数为1,且一次项系数为偶数时,可用配方法.|考向精练|1.[2019·怀化]一元二次方程x2+2x+1=0的解是()A.x1=1,x2=-1B.x1=x2=1C.x1=x2=-1D.x1=-1,x2=2C2.若一元二次方程ax2=b(ab0)的两个根分别是m+1与2m-4,则𝑏𝑎=.[答案]4[解析]原方程化简得x2=𝑏𝑎,解得x=±𝑏𝑎,即原方程的两个解互为相反数,所以m+1+(2m-4)=0,化简得3m=3,解得m=1,则方程的两根为2和-2,则𝑏𝑎=2,即𝑏𝑎=22=4.解:原方程化为一般形式为2x2-9x-34=0,x2-92x=17,x2-92x+8116=17+8116,x-942=35316,x-94=±3534,所以x1=9+3534,x2=9-3534.3.[2019·呼和浩特19题]用配方法求一元二次方程(2x+3)(x-6)=16的实数根.4.[2017·呼和浩特实验教育集团第一学期期中]阅读理解题:我们知道一元二次方程是转化为一元一次方程来解的,例如:解方程x2-2x=0,通过因式分解将方程化为x(x-2)=0,从而得到x=0和x-2=0两个一元一次方程,通过解这两个一元一次方程,求得原方程的解.(1)利用上述方法解一元二次不等式:2x(x-1)-3(x-1)0;(2)利用函数的观点解一元二次不等式x2+6x+50.解:(1)2x(x-1)-3(x-1)0可化为(x-1)(2x-3)0,∴①𝑥-10,2𝑥-30或②𝑥-10,2𝑥-30,解①得1x32,解②得x1且x32(此不等式组无解).∴原不等式的解集为1x32.4.[2017·呼和浩特实验教育集团第一学期期中]阅读理解题:我们知道一元二次方程是转化为一元一次方程来解的,例如:解方程x2-2x=0,通过因式分解将方程化为x(x-2)=0,从而得到x=0和x-2=0两个一元一次方程,通过解这两个一元一次方程,求得原方程的解.(2)利用函数的观点解一元二次不等式x2+6x+50.(2)设y=x2+6x+5,当y=0即x2+6x+5=0时,可求得x=-5或x=-1,即二次函数y=x2+6x+5的图象与x轴的交点坐标为(-5,0)和(-1,0),∴原不等式的解集为x-5或x-1.考向二一元二次方程根的判别式例2已知关于x的一元二次方程(m-1)x2-(2m+1)x+m=0,当m分别取何值时,满足下列条件:(1)方程有两个不相等的实数根;(2)方程有两个相等的实数根,并求出根;(3)方程没有实数根.解:(1)∵关于x的一元二次方程(m-1)x2-(2m+1)x+m=0有两个不相等的实数根,∴Δ=[-(2m+1)]2-4(m-1)m0,且m-1≠0,∴m-18且m≠1.例2已知关于x的一元二次方程(m-1)x2-(2m+1)x+m=0,当m分别取何值时,满足下列条件:(2)方程有两个相等的实数根,并求出根;(2)∵关于x的一元二次方程(m-1)x2-(2m+1)x+m=0有两个相等的实数根,∴Δ=[-(2m+1)]2-4(m-1)m=0,且m-1≠0,∴m=-18,原方程可变形为-9x2-6x-1=0,解得x1=x2=-13.例2已知关于x的一元二次方程(m-1)x2-(2m+1)x+m=0,当m分别取何值时,满足下列条件:(3)方程没有实数根.(3)∵关于x的一元二次方程(m-1)x2-(2m+1)x+m=0没有实数根,∴Δ=[-(2m+1)]2-4(m-1)m0,且m-1≠0,∴m-18.【方法点析】(1)时刻牢记隐含条件:二次项系数不为0.(2)在计算前应先将方程化为一般式,再利用“b2-4ac”判断.|考向精练|1.若关于x的方程x2+(m+1)x+12=0的一个实数根的倒数恰是它本身,则m的值是()A.-52B.12C.-52或12D.1[答案]C[解析]∵Δ=(m+1)2-4×12×1=m2+2m-1,而倒数是其本身的数是1或-1,即1或-1是方程x2+(m+1)x+12=0的根,则12+(m+1)·1+12=0,即m=-52,代入根的判别式,得Δ=140,即m=-52满足题意.同理,(-1)2+(m+1)·(-1)+12=0,即m=12,代入根的判别式,得Δ=140,即m=12亦满足题意.故m的值为-52或12,故选C.2.[2017呼和浩特一模]已知a,b,c为常数,且(a-c)2a2+c2,则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是()A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.不确定,与b的取值有关D.无实数根B3.[2017·包头]若关于x的不等式x-𝑎21的解集为x1,则关于x的一元二次方程x2+ax+1=0根的情况是()A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.无实数根D.无法确定[答案]C[解析]解不等式x-𝑎21,得x𝑎2+1,因为不等式x-𝑎21的解集为x1,所以𝑎2+1=1,解得a=0,则方程x2+ax+1=0为x2+1=0,因为Δ=02-4=-40,所以方程x2+ax+1=0无实数根,故选C.考向三一元二次方程根与系数的关系例3[2019·原创]设x1,x2是方程2x2+4x-3=0的两个根,不解方程,求下列各式的值.(1)(x1-1)(x2-1)=;(2)1𝑥1+1𝑥2=.[答案](1)32(2)43[解析]根据题意得x1+x2=-2,x1x2=-32.(1)原式=x1x2-(x1+x2)+1=-32-(-2)+1=32.(2)原式=𝑥1+𝑥2𝑥1𝑥2=-2-32=43.【方法点析】运用根与系数的关系解决问题时,要注意构造出整体“x1·x2”与“x1+x2”,常见的关系式:1𝑥1+1𝑥2=𝑥1+𝑥2𝑥1𝑥2,𝑥12·x2+x1·𝑥22=x1x2·(x1+x2),𝑥12+𝑥22=(x1+x2)2-2x1·x2,|x1-x2|=(𝑥1+𝑥2)2-4𝑥1·𝑥2.|考向精练|1.[2019·呼和浩特一模]已知x1,x2是关于x的方程x2+bx-3=0的两根,且满足x1+x2-3x1x2=4,那么b的值为()A.5B.-5C.4D.-4A2.[2017·呼和浩特5题]若关于x的一元二次方程x2+(a2-2a)x+a-1=0的两个实数根互为相反数,则a的值为()A.2B.0C.1D.2或0[答案]B[解析]根据“根与系数的关系”x1+x2=-𝑏𝑎,得-(a2-2a)=0,解得a1=0,a2=2,∵当a=2时,原方程为x2+1=0,是无解的,∴a=0.故选B.3.[2019·启秀中学初三数学二模]已知关于x的一元二次方程x2-4x+m-1=0的实数根x1,x2满足3x1x2-x1-x22,则m的取值范围是.3