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第7课时一元一次不等式(组)及其应用考点一不等式的有关概念考点聚焦1.不等式:用符号“”“”表示大小关系的式子,以及用“≠”表示不等关系的式子,叫做不等式.2.不等式的解:使不等式成立的未知数的值.3.不等式的解集:一个含有未知数的不等式的所有的解,组成这个不等式的解集.4.不等式组的解集:不等式组中所有不等式的解集的公共部分.5.一元一次不等式:含有一个未知数,未知数的次数是①的不等式,叫做一元一次不等式.1考点二不等式的性质性质1:如果ab,那么a±c②b±c;性质2:如果ab,c0,那么ac③bc,𝑎𝑐④𝑏𝑐;性质3:如果ab,c0,那么ac⑤bc,𝑎𝑐⑥𝑏𝑐.考点三一元一次不等式(组)的解法1.解一元一次不等式的一般步骤:(1)去分母;(2)去括号;(3)移项;(4)合并同类项;(5)系数化为1.2.一元一次不等式组的解法先分别求出不等式组中各个不等式的解集,并表示在同一个数轴上,再找出它们的公共部分,即得不等式组的解集.不等式组的解集情况类型(ab)在数轴上的表示解集口诀x≥a,x𝑏⑦同大取大x≤a,x𝑏⑧同小取小x≥a,x𝑏⑨大小小大中间找x≤a,x𝑏⑩大大小小没有解xbx≤aa≤xb无解考点四不等式的实际问题求解步骤:认真审题,找出题目中的不等关系,根据题目中的不等关系列出不等式,解不等式,检验作答.【温馨提示】列不等式解应用题时,应紧紧抓住“至多”“至少”“不大于”“不小于”“不超过”“大于”“小于”等关键词.题组一必会题对点演练A1.不等式𝑥2−𝑥-13≤1的解集是()A.x≤4B.x≥4C.x≤-1D.x≥-12.[七下P117练习]设ab,用“”或“”号填空:(1)a+2b+2;(2)a-3b-3;(3)-4a-4b;(4)𝑎2𝑏2.3.[七下P124练习第1(4)题改编]不等式𝑥+16≥2𝑥-54+1的解集是.4.[七下P133复习题9第3(4)题]不等式组-3(𝑥-2)≥4-𝑥,1+2𝑥3𝑥-1的解集是.x≤𝟓𝟒x≤15.若ab,则下列结论不一定成立的是()A.a-1b-1B.2a2bC.-𝑎3-𝑏3D.a2b2题组二易错题【失分点】注意不等式两边同时乘以或除以一个负数,不等号的方向要改变;在数轴上表示不等式的解集时,注意实心圆与空心圆的区别.[答案]D[解析]A选项,不等式两边同时减去1,不等号方向不变,故A成立.B选项,不等式两边同时乘以2,不等号方向不变,故B成立.C选项,不等式两边同时乘以-13,不等号方向改变,故C成立.D选项,举例,-5-2,但(-5)2(-2)2.故D不一定成立.故选D.6.[2018·湘西州]不等式组𝑥-2,𝑥≤1的解集在数轴上表示正确的是()C图7-1考向一一元一次不等式的解法例1(1)解不等式5(x-2)+86(x-1)+7;(2)若(1)中的不等式的最小整数解是方程2x-ax=3的解,求a的值.解:(1)5(x-2)+86(x-1)+7,即5x-10+86x-6+7,即5x-26x+1,即-x3,即x-3.(2)由(1)得不等式的最小整数解为x=-2,故2×(-2)-a·(-2)=3,解得a=72.【方法点析】(1)在去分母时,注意不要漏乘不含分母的整数项;(2)最后一步化系数为1时,当未知数的系数为负数时,化系数为1时要改变不等号的方向.|考向精练|[答案]C1.[2019·呼和浩特6题]若不等式2𝑥+53-1≤2-x的解集中x的每一个值,都能使关于x的不等式3(x-1)+55x+2(m+x)成立,则m的取值范围是()A.m-35B.m-15C.m-35D.m-15[解析]解不等式2𝑥+53-1≤2-x得:x≤45.解不等式3(x-1)+55x+2(m+x)得:x1-𝑚2.∵不等式2𝑥+53-1≤2-x的解集中x的每一个值,都能使关于x的不等式3(x-1)+55x+2(m+x)成立,∴1-𝑚245,解得m-35.故选C.2.[2018·呼和浩特10题]若满足12x≤1的任意实数x,都能使不等式2x3-x2-mx2成立,则实数m的取值范围是()A.m-1B.m≥-5C.m-4D.m≤-4[答案]D[解析]∵12x≤1,∴原不等式可化为2x2-x-m2𝑥,设y1=2x2-x-m,y2=2𝑥.∵12x≤1,∴2≤y24.二次函数y1=2x2-x-m的图象的对称轴为直线x=14,开口向上,与y轴的交点为(0,-m),(0,-m)关于对称轴对称的点为12,-m.当x14时,y1随x的增大而增大,如图,结合图象可知:当-m≥4,12x≤1时,y1y2,即m≤-4,12x≤1时,不等式2x3-x2-mx2总成立.3.[2017·呼和浩特21题]已知关于x的不等式2𝑚-𝑚𝑥212x-1.(1)当m=1时,求该不等式的解集;(2)m取何值时,该不等式有解,并求出解集.解:(1)当m=1时,2-𝑥212x-1,即2-xx-2,即x2.(2)2𝑚-𝑚𝑥212x-1,即2m-mxx-2,即(m+1)x2(m+1),当m≠-1时,不等式有解.当m-1时,原不等式的解集为x2;当m-1时,原不等式的解集为x2.4.[2018·赛罕区二模]若关于x的一元一次不等式ax+b0的解集为x-12,求关于x的不等式(a-3b)x+(b-2a)0的解集.解:由x-12及ax+b0得x-𝑏𝑎,所以𝑏𝑎=12,a=2b,a0,b0,又由(a-3b)x+(b-2a)0得b(x+3)0,所以x-3.考向二一元一次不等式(组)的解法例2[2017·天津]解不等式组𝑥+1≥2,①5𝑥≤4𝑥+3.②请结合题意填空,完成本题的解答.(1)解不等式①,得;(2)解不等式②,得;(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来:图7-2(4)原不等式组的解集为.解:(1)x≥1[解析](1)移项,可得x≥1.解:(2)x≤3[解析](2)移项,可得5x-4x≤3;合并同类项,可得x≤3.例2[2017·天津]解不等式组𝑥+1≥2,①5𝑥≤4𝑥+3.②请结合题意填空,完成本题的解答.(2)解不等式②,得;解:(3)[解析](3)根据解集在数轴上的表示方法“大于向右,小于向左;有等号实心点,无等号空心圈”可表示.例2[2017·天津]解不等式组𝑥+1≥2,①5𝑥≤4𝑥+3.②请结合题意填空,完成本题的解答.(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来:图7-2例2[2017·天津]解不等式组𝑥+1≥2,①5𝑥≤4𝑥+3.②请结合题意填空,完成本题的解答.(4)原不等式组的解集为.解:(4)1≤x≤3.[解析](4)根据不等式组的解集的定义可得原不等式组的解集为1≤x≤3.【方法点析】本类型考查的是解一元一次不等式组,正确求出每一个不等式的解集是基础,熟知“同大取大,同小取小,大小小大中间找,大大小小找不到”的原则是解答此类型题的关键.|考向精练|1.[2018·呼和浩特15题]若不等式组2𝑥+𝑎0,12𝑥-𝑎4+1的解集中的任意x,都能使不等式x-50成立,则a的取值范围是.[答案]a≤-6[解析]解不等式2x+a0,得x-𝑎2,解不等式12x-𝑎4+1,得x-𝑎2+2,∴不等式组的解集为x-𝑎2+2,又不等式x-50的解集为x5,∴-𝑎2+2≥5,a≤-6.2.[2016·呼和浩特19题]已知关于x的不等式组5𝑥+23(𝑥-1),12𝑥≤8-32𝑥+2𝑎有四个整数解,求实数a的取值范围.解:5𝑥+23(𝑥-1),①12𝑥≤8-32𝑥+2𝑎,②解不等式①,得x-52,解不等式②,得x≤a+4.∴原不等式组的解集为-52x≤a+4.∵不等式组有四个整数解,∴1≤a+42,解得-3≤a-2.3.[2015·呼和浩特20题]若关于x,y的二元一次方程组2𝑥+𝑦=-3𝑚+2,𝑥+2𝑦=4的解满足x+y-32,求出满足条件的m的所有正整数值.解:2𝑥+𝑦=-3𝑚+2,①𝑥+2𝑦=4,②①+②得:3(x+y)=-3m+6,即x+y=-m+2,代入不等式得:-m+2-32,解得:m72,则满足条件的m的正整数值为1,2,3.4.[2019·呼和浩特一模]已知实数m是一个不等于2的常数,解不等式组-2𝑥+1≥-3,2𝑥-3𝑚3+𝑥30,并根据m的取值情况写出其解集.解:解不等式组得𝑥≤2,𝑥𝑚,∵m≠2,∴①当m2时,原不等式组的解集为mx≤2;②当m2时,原不等式组无解.5.[2017·呼和浩特一模]已知关于x的不等式组3𝑥-𝑎≥0,12(𝑥-2)3𝑥+4无解,求实数a的取值范围.解:解不等式3x-a≥0,得x≥𝑎3,解不等式12(x-2)3x+4,得x-2,由题意得𝑎3≥-2,解得a≥-6.考向三一元一次不等式的实际应用例3[2019·福建]某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念,投资组建了日废水处理量为m吨的废水处理车间,对该厂工业废水进行无害化处理.但随着工厂生产规模的扩大,该车间经常无法完成当天工业废水的处理任务,需要将超出日废水处理量的废水交给第三方企业处理.已知该车间处理废水,每天需固定成本30元,并且每处理一吨废水还需其他费用8元;将废水交给第三方企业处理,每吨需支付12元.根据记录,5月21日,该厂产生工业废水35吨,共花费废水处理费370元.(1)求该车间的日废水处理量m;(2)为实现可持续发展,走绿色发展之路,工厂合理控制了生产规模,使得每天废水处理的平均费用不超过10元/吨,试计算该厂一天产生的工业废水量的范围.解:(1)因为工厂产生工业废水35吨,共花费废水处理费370元,又370-3035=6878,所以m35,依题意得,30+8m+12(35-m)=370,解得m=20,故该车间的日废水处理量为20吨.例3[2019·福建]某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念,投资组建了日废水处理量为m吨的废水处理车间,对该厂工业废水进行无害化处理.但随着工厂生产规模的扩大,该车间经常无法完成当天工业废水的处理任务,需要将超出日废水处理量的废水交给第三方企业处理.已知该车间处理废水,每天需固定成本30元,并且每处理一吨废水还需其他费用8元;将废水交给第三方企业处理,每吨需支付12元.根据记录,5月21日,该厂产生工业废水35吨,共花费废水处理费370元.(2)为实现可持续发展,走绿色发展之路,工厂合理控制了生产规模,使得每天废水处理的平均费用不超过10元/吨,试计算该厂一天产生的工业废水量的范围.(2)设一天生产废水x吨.①当0x≤20时,依题意得,8x+30≤10x,解得x≥15,所以15≤x≤20.②当x20时,依题意得,12(x-20)+20×8+30≤10x,解得x≤25.所以20x≤25.综上所述,15≤x≤25.故该厂一天产生的工业废水量的范围在15吨到25吨之间.|考向精练|1.[2018·呼和浩特新城区第二学期期末]老师要把一些笔记本分给几个小朋友,如果每人分3本,则剩8本;如果每人分5本,那么最后一个小朋友能分到笔记本但少于3本,则共有多少个小朋友()A.4B.5C.6D.7C2.[2013·呼和浩特19题]某次知识竞赛共有20道题,每一题答对得10分,答错或不答都扣5分,小明得分要超过90分,他至少要答对多少道题?解:设他应答对x道,则10x-5(20-x)90,解得x1223,∵x取整数,∴x最小为13,答:他至少要答对13道题.3.[2019·呼和浩特中考模拟]六一前夕,某幼儿园园长到厂家选购A,B两种品牌的儿童服装,每套A品牌服装进价比B品牌服装进价多25元,用2000元购进A品牌服装数量是用750元购进B品牌服装数量的2倍.(1)求