搜索
单元思维导图第5课时一次方程(组)及其应用考点一方程的有关概念考点聚焦1.方程:含有未知数的①.等式2.方程的解:使方程中等号左右两边相等的未知数的值.3.一元一次方程的一般形式:②.ax+b=0(a,b为常数,且a≠0)5.二元一次方程组的一般形式:𝑎1𝑥+𝑏1𝑦+𝑐1=0,𝑎2𝑥+𝑏2𝑦+𝑐2=0,其解一般写成𝑥=𝑚,𝑦=𝑛的形式.4.二元一次方程的一般形式:③.6.二元一次方程组的解:二元一次方程组的两个方程的公共解.ax+by+c=0(a,b,c为常数,且a≠0,b≠0)考点二一次方程(组)的解法1.等式的基本性质性质1:如果a=b,那么a±c④b±c;性质2:(1)如果a=b,那么ac=⑤;(2)如果a=b,c≠0,那么⑥=𝑏𝑐.𝒂𝒄=bc2.解一元一次方程的一般步骤(解方程过程中常会用到等式的性质):3.二元一次方程组的解法:(1)思想:二元一次方程组一元一次方程.(2)方法:方法说明代入法适用于有一个方程中某个未知数的系数为1或-1的情况加减法在方程两边同乘以一个数,将两个方程中同一个未知数的系数变为相同的数(或互为相反数),再将方程两边分别相减(或相加)考点三一次方程(组)的实际应用图5-1【温馨提示】设未知数列方程是关键,求解时注意两点:(1)设适当的未知数;(2)题中各个量的单位.1.下列结论不成立的是()A.若x=y,则m-x=m-yB.若x=y,则mx=myC.若mx=my,则x=yD.若𝑥𝑚=𝑦𝑚,则nx=ny题组一必会题对点演练C2.已知二元一次方程组5𝑚+4𝑛=20①,4𝑚-5𝑛=8②,如果用加减法消去n,则下列方法可行的是()A.①×4+②×5B.①×5+②×4C.①×5-②×4D.①×4-②×5B3.[七上P111复习题3第2(1)(4)题改编]写出下列方程的解:(1)43-8x=3-112x,x=;(2)1-2𝑥3=3𝑥+17-3,x=.4.[七下P98习题8.2第5题改编](1)解方程组3(𝑥-1)=𝑦+5,5(𝑦-1)=3(𝑥+5),得;(2)解方程组2𝑢3+3𝑣4=12,4𝑢5+5𝑣6=715,得.-𝟐𝟑𝟔𝟕𝟐𝟑𝒙=𝟓,𝒚=𝟕𝒖=-𝟑𝟐,𝒗=𝟐5.[七上P112复习题3第10题改编]一家游泳馆每年6~8月出售夏季会员证,每张会员证80元,只限本人使用,凭证购入场券每张1元,不凭证购入场券每张3元.试讨论并回答:(1)当时,购会员证与不购证付一样的钱;(2)当时,购会员证比不购证更合算;(3)当时,不购会员证比购证更合算.游泳次数为40次游泳次数多于40次游泳次数少于40次6.已知二元一次方程组𝑥-𝑦=-5,𝑥+2𝑦=-2的解为𝑥=-4,𝑦=1,则在同一平面直角坐标系中,直线l1:y=x+5与直线l2:y=-12x-1的交点坐标为.(-4,1)7.已知a,b满足方程组2𝑎-𝑏=3,𝑎+3𝑏=19,则𝑎+𝑏=.[答案]3[解析]2𝑎-𝑏=3,①𝑎+3𝑏=19,②①×3+②得:7a=28,即a=4,把a=4代入②得b=5.故𝑎+𝑏=4+5=9=3.题组二易错题【失分点】去分母时出现漏乘常数项导致错误;利用加减法解二元一次方程组,两方程相减时,出现符号错误.8.在解方程𝑥-13+x=3𝑥+12时,方程两边同时乘以6,去分母后,正确的是()A.2x-1+6x=3(3x+1)B.2(x-1)+6x=3(3x+1)C.2(x-1)+x=3(3x+1)D.(x-1)+x=3(x+1)B9.用加减消元法解方程组9𝑥-5𝑦=16①,2𝑥-𝑦=3②时,第一步:②×5,得10x-5y=15③;第二步:③-①,得x=1;第三步:把x=1代入②,得y=-1.则上述步骤中开始出现错误的是第步.二考向一一次方程(组)的解法例1解方程.(1)6𝑥+13−3𝑥-12=1;(2)𝑥+10.2−0.2𝑥-10.1=1.解:(1)去分母,得2(6x+1)-3(3x-1)=6,去括号,得12x+2-9x+3=6,移项,得12x-9x=6-2-3,合并同类项,得3x=1,系数化为1,得x=13.(2)分母化为整数,得10(𝑥+1)2−10(0.2𝑥-1)1=1,即5(x+1)-10(0.2x-1)=1,去括号,得5x+5-2x+10=1,移项,得5x-2x=1-5-10,合并同类项,得3x=-14,系数化为1,得x=-143.例2用指定方法解方程组:𝑥-2𝑦=-4,3𝑥+4𝑦=18.(1)代入消元法:(2)加减消元法:解:(1)代入消元法:𝑥-2𝑦=-4,①3𝑥+4𝑦=18,②由①得x=2y-4.③把③代入②得3(2y-4)+4y=18,解得y=3.把y=3代入③得x=2,则方程组的解为𝑥=2,𝑦=3.(2)加减消元法:𝑥-2𝑦=-4,①3𝑥+4𝑦=18,②①×2得2x-4y=-8,③②+③得5x=10,解得x=2,把x=2代入①,得2-2y=-4,解得y=3.∴方程组的解为𝑥=2,𝑦=3.【方法点析】(1)当方程组中一个未知数的系数为1(或-1)或一个方程的常数项为0时,用代入法较方便;(2)当方程组中同一个未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时,用加减法较方便.1.[2017·包头]若关于x,y的二元一次方程组𝑥+𝑦=3,2𝑥-𝑎𝑦=5的解是𝑥=𝑏,𝑦=1,则ab的值为.|考向精练|[答案]1[解析]∵关于x,y的二元一次方程组𝑥+𝑦=3,2𝑥-𝑎𝑦=5的解是𝑥=𝑏,𝑦=1,∴𝑏+1=3,2𝑏-𝑎=5,解得𝑎=-1,𝑏=2,∴ab=(-1)2=1.2.[2018·包头]若a-3b=2,3a-b=6,则b-a的值为.-2[答案]x=-3或x=-2或x=2[解析]∵关于x的方程mx2m-1+(m-1)x-2=0是一元一次方程,∴2m-1=1,即m=1,方程为x-2=0,解得:x=2;若m=0,则方程化为-x-2=0,解得:x=-2;若2m-1=0,即m=12,方程化为12−12x-2=0,解得:x=-3.故答案为x=2或x=-2或x=-3.3.[2019·呼和浩特14题]关于x的方程mx2m-1+(m-1)x-2=0,若是一元一次方程,则其解为.4.[2017·呼和浩特模拟]解方程组:𝑥+3𝑦=-1,3𝑥-2𝑦=8.解:𝑥+3𝑦=-1,①3𝑥-2𝑦=8,②①×3-②,得11y=-11,解得y=-1,把y=-1代入①,得x=2,则方程组的解为𝑥=2,𝑦=-1.5.已知方程组𝑎𝑥+5𝑦=15,①4𝑥-𝑏𝑦=-2.②由于甲看错了方程①中的a得到方程组的解为𝑥=-3,𝑦=1.乙看错了方程②中的b得到方程组的解为𝑥=1,𝑦=4.若按正确的a,b计算,求原方程组的解.解:把𝑥=-3,𝑦=1代入②得-12-b=-2,解得b=-10.把𝑥=1,𝑦=4代入①得a+20=15,解得a=-5.故方程组为-5𝑥+5𝑦=15,4𝑥+10𝑦=-2,解这个方程组得𝑥=-167,𝑦=57.考向二一次方程(组)的应用例3[七下P100探究3改编]如图5-2,某化工厂与A,B两地由公路和铁路相连,这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂,制成每吨8000元的产品运到B地.已知公路运价为1.5元/(吨·千米),铁路运价为1.2元/(吨·千米),且这两次运输共支出公路运费15000元,铁路运费97200元,请计算这批产品的销售额比原料费与运输费的和多多少元.图5-2(1)根据题意,甲、乙两名同学分别列出尚不完整的方程组如下.甲:1.5(20𝑥+10𝑦)=,1.2(110𝑥+120𝑦)=;乙:1.5(20·𝑥8000+10·𝑦1000)=,1.2(110·𝑥8000+120·𝑦1000)=.根据甲、乙两名同学所列的方程组,请你分别指出未知数x,y表示的意义,然后在等式右边的方框内补全甲、乙两名同学所列的方程组.甲:x表示,y表示.乙:x表示,y表示.(2)甲同学根据他所列方程组解得x=300,请你帮他解出y的值,并解决实际问题.解:(1)甲:x表示产品的质量,y表示原料的质量.乙:x表示产品销售额,y表示原料费.甲同学所列方程组右边的数分别为15000,97200,乙同学所列方程组右边的数分别为15000,97200.例3[七下P100探究3改编]如图5-2,某化工厂与A,B两地由公路和铁路相连,这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂,制成每吨8000元的产品运到B地.已知公路运价为1.5元/(吨·千米),铁路运价为1.2元/(吨·千米),且这两次运输共支出公路运费15000元,铁路运费97200元,请计算这批产品的销售额比原料费与运输费的和多多少元.(2)甲同学根据他所列方程组解得x=300,请你帮他解出y的值,并解决实际问题.图5-2(2)将x=300代入1.2(110x+120y)=97200,解得y=400,∴产品销售额为300×8000=2400000(元),原料费为400×1000=400000(元).又∵运输费为15000+97200=112200(元),∴2400000-(400000+112200)=1887800(元).答:这批产品的销售额比原料费与运输费的和多1887800元.|考向精练|1.[2018·呼和浩特13题]文具店销售某种笔袋,每个18元,小华去购买这种笔袋,结账时店员说:“如果你再多买一个就可以打九折,价钱比现在便宜36元”,小华说:“那就多买一个吧,谢谢.”根据两人的对话可知,小华结账时实际付款元.[答案]486[解析]设小华原来买x个笔袋,则(x+1)×0.9×18+36=18x,解得x=29,(29+1)×18×0.9=486(元).2.[2018·呼和浩特一模]某通信运营商的短信收费标准如下:发送网内短信0.1元/条,发送网际短信0.15元/条.该通信运营商的用户小王在1月份发送以上两种短信共计150条,依照该收费标准共支出短信费用19元,该用户在2月份由于开通了微信,与上月比以上两种短信共减少了50条,其中网际短信减少了35条,则2月份该用户的短信费用为元.12.253.[2019·呼和浩特22题]滴滴快车是一种便捷的出行工具,计价规则如下表:小王与小张各自乘坐滴滴快车,在同一地点约见,已知到达约见地点时他们的实际行车里程分别为6千米与8.5千米,两人付给滴滴快车的乘车费相同.(1)求这两辆滴滴快车的实际行车时间相差多少分钟;计费项目里程费时长费远途费单价1.8元/千米0.3元/分钟0.8元/千米注:车费由里程费、时长费、远途费三部分构成,其中里程费按行车的实际里程计算,时长费按行车的实际时间计算,远途费的收取方式为:行车里程7千米以内(含7千米)不收远途费,超过7千米的,超出部分每千米收0.8元(2)实际乘车时间较少的人,由于出发时间比另一人早,所以提前到达约见地点在大厅等候,已知他等候另一人的时间是他自己实际乘车时间的1.5倍,且比另一人实际乘车时间的一半多8.5分钟,计算两人各自的实际乘车时间.解:设小王与小张实际乘车时间分别为x分钟和y分钟.(1)由题意知:1.8×6+0.3x=1.8×8.5+0.3y+(8.5-7)×0.8,∴x-y=19,∵小王和小张的实际乘车时间即为两辆滴滴快车实际行车时间,∴这两辆滴滴快车的实际行车时间相差19分钟.3.[2019·呼和浩特22题]滴滴快车是一种便捷的出行工具,计价规则如下表:小王与小张各自乘坐滴滴快车,在同一地点约见,已知到达约见地点时他们的实际行车里程分别为6千米与8.5千米,两人付给滴滴快车的乘车费相同.计费项目里程费时长费远途费单价1.8元/千米0.3元/分钟0.8元/千米注:车费由里程费、时长费、远途费三部分构成,其中里程费按行车的实际里程计算,时长费按行车的实际时间计算,远途费的收取方式为:行车里程7千米以内(含7千米)不