人教A版高中数学选修4-4习题-第一讲-坐标系-单元检测卷

单元检测卷(一)(测试时间：120分钟评价分值：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在极坐标系中，已知M－5，π3，下列所给出的不能表示点M的坐标的是()A.5，－π3B.5，4π3C.5，－2π3D－5，－5π31．A2．在极坐标系中，点(ρ，θ)与点(－ρ，π－θ)的位置关系是()A．关于极轴所在直线对称B．关于极点对称C．重合D．关于直线θ＝π2(ρ∈R)对称2.A3．在极坐标系中，已知点P12，π4、P2－3，－π4，则|P1P2|的值为()A.13B．5C.13＋62D.13－623.A4．将y＝sinx的图像横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的12，再将纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，所得图象的函数解析式为()A．y＝2sin12xB．y＝12sin2xC．y＝2sin2xD．y＝12sin12x4．答案：D5．极坐标方程ρ＝1表示()A．直线B．射线C．圆D．椭圆5．C6．在极坐标系中，过点2，π3且与极轴垂直的直线方程为()A．ρ＝－4cosθB．ρcosθ－1＝0C．ρsinθ＝－3D．ρ＝－3sinθ6．解析：设M(ρ，θ)为直线上除2，π3以外的任意一点，则有ρcosθ＝2·cosπ3，则ρcosθ＝1，经检验2，π3符合方程．答案：B7．曲线的极坐标方程为ρ＝4sinθ，化为直角坐标方程是()A．x2＋(y＋2)2＝4B．x2＋(y－2)2＝4C．(x－2)2＋y2＝4D．(x＋2)2＋y2＝47．B8．在极坐标系中，已知点A－2，－π2，B2，3π4，O(0，0)，则△ABO为()A．正三角形B．直角三角形C．锐角等腰三角形D．直角等腰三角形8.D9．两圆ρ＝2cosθ，ρ＝2sinθ的公共部分面积是()A.π4－12B．π－2C.π2－1D.π29.C10．已知点P1的球坐标是P123，π6，π4，P2的柱坐标是P23，π4，1，则|P1P2|等于()A．2B.3C．22D.2210.A11．可以将椭圆x210＋y28＝1变为圆x2＋y2＝4的伸缩变换是()A.5x′＝2x2y′＝yB.2x′＝5xy′＝2yC.2x′＝x5y′＝2xD.5x′＝2x2y′＝y11．解析：方法1：将椭圆方程x210＋y28＝1化为2x25＋y22＝4，∴2x52＋y22＝4，令x′＝25x，y′＝y2，得x′2＋y′2＝4，即x2＋y2＝4，∴伸缩变换为5x′＝2x，2y′＝y.方法2：将x2＋y2＝4改写为x′2＋y′2＝4，设伸缩变换为x′＝λx（λ0），y′＝μy（μ0），代入x′2＋y′2＝4得λ2x2＋μ2y2＝4，即λ2x24＋μ2y24＝1，与椭圆x210＋y28＝1，比较系数得λ24＝110，μ24＝18，解得λ＝25，μ＝12，∴伸缩变换为x′＝25x，y′＝12y，即5x′＝2x，2y′＝y.答案：D12．圆ρ＝r与圆ρ＝－2rsin(θ＋π4)(r0)的公共弦所在直线的方程为()A．2ρ(sinθ＋cosθ)＝rB．2ρ(sinθ＋cosθ)＝－rC.2ρ(sinθ＋cosθ)＝rD.2ρ(sinθ＋cosθ)＝－r12．解析：圆ρ＝r的直角坐标方程为x2＋y2＝r2，①圆ρ＝－2rsin(θ＋π4)＝－2r(sinθcosπ4＋cosθsinπ4)＝－2r(sinθ＋cosθ)，两边同乘以ρ得ρ2＝－2r(ρsinθ＋ρcosθ)，∴x2＋y2＋2rx＋2ry＝0，②由①—②得2(x＋y)＝－r，即为两圆公共弦所在直线的直角坐标方程．将直线2(x＋y)＝－r化为极坐标方程为2ρ(cosθ＋sinθ)＝－r.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上)13．(2015·广州市高三毕业班调研测试)曲线ρ＝2cosθ－23sinθ(0≤θ2π)与极轴的交点的极坐标是____________．13．(0，0)(2，0)14．已知直线的极坐标方程为ρsinθ＋π4＝22，则极点到直线的距离是________．14.2215．(2015·广东信宜统测)在极坐标系中，圆ρ＝2cosθ的圆心到直线ρcosθ＝2的距离是________．15．116．与曲线ρcosθ＋1＝0关于θ＝π4对称的曲线的极坐标方程是________．16．ρsinθ＋1＝0三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)17．在伸缩变换x＇＝2x，y＇＝y与伸缩变换x＇＝2x，y＇＝2y的作用下，x2＋y2＝1分别变成什么图形？17．解析：由x＇＝2x，y＇＝y得x＝x＇2，y＝y＇，代入x2＋y2＝1得x＇22＋y＇2＝1，即x＇24＋y＇2＝1.所以在伸缩变换x＇＝2x，y＇＝y的作用下，单位圆x2＋y2＝1变成椭圆x24＋y2＝1.由x＇＝2x，y＇＝2y得x＝x＇2，y＝y＇2代入x2＋y2＝1得x＇22＋y＇22＝1，即x＇2＋y＇2＝4，所以在伸缩变换x＇＝2x，y＇＝2y的作用下，单位圆x2＋y2＝1变成圆x2＋y2＝4.18．(本小题满分12分)已知定点P4，π3.(1)将极点移至O′23，π6处，极轴方向不变，求点P的新坐标；(2)极点不变，将极轴逆时针转动π6角，求点P的新坐标．18．解析：(1)设点P新坐标为(ρ，θ)，如下图所示，由题意可知：|OO′|＝23，|OP|＝4，∠POx＝π3，∠O′Ox＝π6，∴∠POO′＝π6.在△POO′中，ρ2＝42＋(23)2－2×4×23×cosπ6＝16＋12－24＝4，∴ρ＝2.又sin∠OPO′23＝sin∠POO′2，∴sin∠OPO′＝sinπ62×23＝32，∴∠OPO′＝π3.∴∠OP′P＝π－π3－π3＝π3，∴∠PP′x＝2π3.∴∠PO′x′＝2π3.∴点P的新坐标为2，2π3.(2)如下图所示，设点P新坐标为(ρ，θ)，则ρ＝4，θ＝π3＋π6＝π2.∴点P的新坐标为4，π2.19．(本小题满分14分)△ABC底边BC＝10，∠A＝12∠B，以B为极点，BC为极轴，求顶点A的轨迹的极坐标方程．19．分析：本题利用正余弦定理的边角关系找到顶点A的ρ、θ之间的关系，从而求得其轨迹方程．解析：如下图，令A(ρ，θ)，在△ABC内，设∠B＝θ，∠A＝θ2，又|BC|＝10，|AB|＝ρ.于是由正弦定理，得ρsinπ－3θ2＝10sinθ2，化简，得点A轨迹的极坐标方程为ρ＝10＋20cosθ.20．(本小题满分14分)已知定点A(a，0)，动点P对极点O和点A的张角∠OPA＝π3.在OP的延长线上取点Q，使|PQ|＝|PA|.当P在极轴上方运动时，求点Q的轨迹的极坐标方程．20．解析：设Q、P的坐标分别是(ρ，θ)、(ρ1，θ1)，则θ＝θ1.在△POA中，由正弦定理得，ρ1＝asinπ3·sin2π3－θ，|PA|＝asinθsinπ3.又|OQ|＝|OP|＋|PA|，∴ρ＝2asinθ＋π6.21．(本小题满分14分)在平面直角坐标系中，已知点A(3，0)，P是圆x2＋y2＝1上的一个动点，且∠AOP的平分线交PA于点Q，求点Q的轨迹的极坐标方程．21．分析：需要找出点Q的极角和极径的关系，在这里我们可以通过三角形的面积建立关系．解析：以圆心O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设Q(ρ，θ)，P(1，2θ)．因为S△OAQ＋S△OQP＝S△OAP，所以12·3ρ·sinθ＋12ρ·sinθ＝12×3×1×sin2θ.整理得ρ＝32cosθ.22．(本小题满分14分)已知半圆直径|AB|＝2r(r＞0)，半圆外一条直线l与AB所在直线垂直相交与点T，并且|AT|＝2a2a＜r2.若半圆上相异两点M、N到l的距离|MP|，|NQ|满足|MP|∶|MA|＝|NQ|∶|NA|＝1，通过建立极坐标系，求证|MA|＋|NA|＝|AB|.22．证明：证法一以A为极点，射线AB为极轴建立极坐标系，则半圆的极坐标方程为ρ＝2rcosθ，设M(ρ1，θ1)，N(ρ2，θ2)，则ρ1＝2rcosθ1，ρ2＝2rcosθ2，又|MP|＝2a＋ρ1cosθ1＝2a＋2rcos2θ1，|NQ|＝2a＋ρ2cosθ2＝2a＋2rcos2θ2，∴|MP|＝2a＋2rcos2θ1＝2rcosθ1，∴|NQ|＝2a＋2rcos2θ2＝2rcosθ2，∴cosθ1，cosθ2是关于cosθ的方程rcos2θ－rcosθ＋a＝0的两个根，由韦达定理知：cosθ1＋cosθ2＝1，∴|MA|＋|NA|＝2rcosθ1＋2rcosθ2＝2r＝|AB|.证法二以A为极点，射线AB为极轴建立直角坐标系，则半圆的极坐标方程为ρ＝2rcosθ，设M(ρ1，θ1)，N(ρ2，θ2)，又由题意知，M(ρ1，θ1)，N(ρ2，θ2)在抛物线ρ＝2a1－cosθ上，∴2rcosθ＝2a1－cosθ，rcos2θ－rcosθ＋a＝0，∴cosθ1，cosθ2是方程rcos2θ－rcosθ＋a＝0的两个根，由韦达定理知：cosθ1＋cosθ2＝1，∴|MA|＋|NA|＝2rcosθ1＋2rcosθ2＝2r＝|AB|.