2019年高考理科数学二轮复习专题立体几何解题方法与技巧总结

2019年高三二轮复习理科数学专题五立体几何考向一三视图与几何体的面积、体积【高考改编☆回顾基础】1．【数学文化与三视图】【2018年全国卷Ⅲ文】中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】观擦图形图可知，俯视图为故答案为A.2.【三视图与空间几何体的体积】【2018年浙江卷改编】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是.【答案】63.【空间几何体的体积】【2018年全国卷II文】已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的体积为__________．【答案】8π【解析】如下图所示，又，解得，所以，所以该圆锥的体积为.4.【三视图与空间几何体的结构特征】【2018年北京文改编】某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为【答案】3【解析】由三视图可得四棱锥，在四棱锥中，，由勾股定理可知：，则在四棱锥中，直角三角形有：共三个，故选C.【命题预测☆看准方向】1.空间几何体的三视图成为近几年高考的必考点,单独考查三视图的逐渐减少,主要考查由三视图求原几何体的面积、体积以及几何体的结构特征,题型以选择题、填空题的形式考查.2.对柱体、锥体、台体表面积、体积及球与多面体的切接问题中的有关几何体的表面积、体积的考查又是高考的一个热点,难度不大,主要以选择题、填空题的形式考查.3.2019年应注意抓住考查的主要题目类型进行训练,重点有四个:一是三视图中的几何体的形状及面积、体积;二是求柱体、锥体、台体及球的表面积、体积;三是求球与多面体的相切、接问题中的有关几何体的表面积、体积；四是立体几何与数学文化相结合的问题.【典例分析☆提升能力】【例1】17世纪日本数学家们对于数学关于体积方法的问题还不了解，他们将体积公式“V＝kD3”中的常数k称为“立圆术”或“玉积率”，创用了求“玉积率”的独特方法“会玉术”，其中，D为直径，类似地，对于等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱叫做等边圆柱)、正方体也有类似的体积公式V＝kD3，其中，在等边圆柱中，D表示底面圆的直径；在正方体中，D表示棱长．假设运用此“会玉术”，求得的球、等边圆柱、正方体的“玉积率”分别为k1，k2，k3，那么，k1∶k2∶k3＝()A.4∶6∶1B.6∶4∶2C.1∶3∶12D.1∶32∶6【答案】D【解析】球中，33331144,33266DVRDkDk；等边圆柱中，23322,244DVDDkDk；正方体中，3333,1VDkDk；所以12336::::11::642kkk.故选D.【趁热打铁】将一个底面半径为1，高为2的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱的最大体积为()A.π27B.8π27C.π3D.2π9【答案】B【解析】如图所示，设圆柱的半径为r，高为x，体积为V，由题意可得212rx，所以22xr，所以圆柱的体积22322201Vrrrrr，设23201Vrrrr，则2'223Vrrr，由22230rr得23r，Vr在203，上递增，Vr在213，上递减，所以圆柱的最大体积23max22823327V，故选B.【例2】【2018届河南省郑州市第一次模拟】刍薨（chuhong），中国古代算术中的一种几何形体，《九章算术》中记载“刍薨者，下有褒有广，而上有褒无广.刍，草也.薨，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱，刍薨字面意思为茅草屋顶”，如图，为一刍薨的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则搭建它（无底面，不考虑厚度）需要的茅草面积至少为（）A.24B.325[C.64D.326【答案】B【趁热打铁】【2018届湖北省稳派教育高三上第二次联考】已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.8163B.1683C.126D.443【答案】A【解析】由三视图可得，该几何体为右侧的一个半圆锥和左侧的一个三棱锥拼接而成.由三视图中的数据可得其体积为211118162442432233V.选A.【方法总结☆全面提升】1.三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线.画三视图的基本要求:正俯一样长,俯侧一样宽,正侧一样高.2.空间几何体的面积有侧面积和表面积之分,表面积就是全面积,是一个空间几何体中“暴露”在外的所有面的面积,在计算时要注意区分“是求侧面积还是求表面积”.多面体的表面积就是其所有面的面积之和,旋转体的表面积除了球之外,都是其侧面积和底面面积之和.3.等体积法也称等积转化法或等积变形法,它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法,多用来解决与锥体有关的问题,特别是三棱锥的体积.【规范示例☆避免陷阱】【典例】【2016·全国卷Ⅰ改编】如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是________．【规范解答】该几何体为一个球去掉八分之一，设球的半径为r，则78×43πr3＝28π3，解得r＝2，故该几何体的表面积为78×4π×22＋34×π×22＝17π.【反思提高】在由空间几何体的三视图确定几何体的形状时,先根据俯视图确定几何体的底面,然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征,调整实线和虚线所对应的棱、面的位置,特别注意由各视图中观察者与几何体的相对位置与图中的虚实线来确定几何体的形状,最后根据三视图“长对正、高平齐、宽相等”的关系,确定轮廓线的各个方向的尺寸.【误区警示】1.求几何体体积问题,可以多角度、多方位地考虑问题.在求三棱锥体积的过程中,等体积转化法是常用的方法,转换底面的原则是使其高易求,常把底面放在已知几何体的某一面上.2.求不规则几何体的体积,常用分割或补形的思想,将不规则几何体变为规则几何体,易于求解.考向二球与多面体的切接问题【高考改编☆回顾基础】1.【球与多面体的切接、面积与体积】【2017天津，文11】已知一个正方形的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为.【答案】922．【球与多面体的切接、面积与体积】【2017课标1，文16】已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为________．【答案】36【解析】取SC的中点O，连接,OAOB因为,SAACSBBC所以,OASCOBSC因为平面SAC平面SBC所以OA平面SBC设OAr3111123323ASBCSBCVSOArrrr§网]所以31933rr，所以球的表面积为2436r3.【球与旋转体的切接、面积与体积】【2017江苏，6】如图,在圆柱12,OO内有一个球O,该球与圆柱的上、下面及母线均相切.记圆柱12,OO的体积为1V,球O的体积为2V,则12VV的值是.【答案】32【命题预测☆看准方向】球与多面体的切、接问题中的有关几何体的表面积、体积计算，往往与三视图结合考查，一般为选择题或填空题，难度以低、中档为主.【典例分析☆提升能力】【例1【四川省泸州市2019届高三第一次诊断】已知三棱锥的所有顶点都在同一球面上，底面是正三角形且和球心在同一平面内，若此三棱锥的最大体积为，则球的表面积等于__________．【答案】【解析】与球心在同一平面内，是的外心，设球半径为，则的边长，，OO1O2(第6题)当到所在面的距离为球的半径时，体积最大，，，球表面积为，故答案为.【趁热打铁】已知,,,SABC是球O上的点SAABC平面，ABBC,1SAAB，2BC,则球O的表面积等于________________．【答案】4【解析】由已知S,A,B,C是球O表面上的点，所以OAOBOCOS，又SAABC平面，ABBC，所以四面体SABC的外接球半径等于以长宽高分别以SA,AB,BC三边长为长方体的外接球的半径，因为1SAAB，2BC,所以2222=2,1RSAABBCR，所以球O的表面积244SR.【例2】【2018届江西省莲塘一中、临川二中高三上学期第一次联考】已知三棱锥SABC的各顶点在一个表面积为4的球面上，球心O在AB上，SO平面ABC，2AC,则三棱锥SABC的体积为__________.【答案】13【解析】如图所示,设球的半径为r,则244r，解得r=1.∵OC2+OA2=2=AC2，∴OC⊥OA.∵球心O在AB上，SO⊥平面ABC，则三棱锥的底面积：12112ABCS，三棱锥的体积：11111333ABCVSSO.故答案为：13.【趁热打铁】【2018届贵州省遵义航天高级中学高三第五次模拟】如图1，在平面ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=2,BDCD,将其对角线BD折成四面体ABCD,如图2，使平面ABD平面BCD,若四面体ABCD的顶点在同一球面上，则该球的体积为____________【答案】823【解析】因为BD中点O到A距离为22，O到C距离为62，所以22262222RRR，体积为348233R【例3】有人由“追求”联想到“锥、球”并构造了一道名为《追求2017》的题目，请你解答此题：球O的球心为点O，球O内切于底面半径为3、高为3的圆锥，三棱锥V﹣ABC内接于球O，已知OA⊥OB，AC⊥BC，则三棱锥V﹣ABC的体积的最大值为_____．【答案】2212【解析】圆锥的母线长为39=23，设球O的半径为r，则3323rr，解得r=1．∵OA⊥OB，OA=OB=1，∴AB=2，∵AC⊥BC，∴C在以AB为直径的圆上，∴平面OAB⊥平面ABC，∴O到平面ABC的距离为22，故V到平面ABC的最大距离为212．又C到AB的最大距离为22，∴三棱锥V﹣ABC的体积的最大值为1122213222=2212．故答案为：2212．【趁热打铁】在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是()A.4πB.C.6πD.[来【答案】B【解析】由题意知要使球的体积最大,则它与直三棱柱的若干个面相切.设球的半径为R,易得△ABC的内切圆的半径为=2,则R≤2.因为2R≤3,即R≤,所以Vmax=,故选B.【方法总结☆全面提升】1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球的内接长方体、正四棱柱等问题的关键是把握球的直径即棱柱的体对角线长.2.涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系．3.球心与截面圆心的连线垂直圆面，其距离为d，常利用直角三角形建立量的关系，R2＝d2＋r2.【规范示例☆避免陷阱】【典例】如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB＝AC，侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则