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第1课时实数1.按定义分实数有理数整数分数:①小数或无限②小数无理数正无理数负无理数无限③小数考点一实数及其分类有限循环不循环2.按大小分(1)实数可分为正实数、0和负实数,0既不是正数,也不是负数.(2)正负数的意义:一般地,对于具有相反意义的量,我们可以把其中一种意义的量规定为正的,并在表示这个量的前面放上“+”;把与它意义相反的量规定为负的,并在表示这个量的前面放上“-”.如规定向东为“+”,则向西为“-”;规定零上为“+”,则零下为“-”.【温馨提示】1.常见的4种无理数类型:(1)根号型:等开方开不尽的数;(2)三角函数型:如sin60°,tan30°等;(3)构造型:如0.1010010001…(每相邻两个1之间依次多一个0)等;(4)与π有关的数:如,π-1等.判断一个数是不是无理数,不要只看形式,要看化简结果是不是无限不循环小数.2.判断实数的正负,一定要先化简,再根据定义判断,如-(-2)=2是正数;注意-a不一定是负数,要对a进行分类讨论.2,53𝜋31.数轴:规定了原点、④和⑤的直线.数轴上的点与实数一一对应.2.相反数:a的相反数是⑥,0的相反数是0.3.倒数:乘积是⑦的两个数互为倒数.0没有倒数,倒数等于本身的数是±1.图1-1考点二实数的有关概念正方向单位长度-a14.绝对值:一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离,叫做数a的绝对值,记作|a|,离原点越远的数的绝对值越大.|a|=𝑎(𝑎0),0(𝑎=0),⑧(𝑎0).-a5.近似数:一个近似数四舍五入到哪一位,那么就说这个近似数精确到哪一位.有计数单位的近似数,由近似数的数位和后面的单位共同确定.如3.618万,数字8实际上是十位上的数字,即精确到十位.1.定义:把一个数写成a×10n的形式,其中,1≤|a|10,n为整数.2.n的确定(1)对于绝对值大于10的数,n为正数,n等于原数的整数位数减1;(2)对于绝对值大于0且小于1的数,n为负数,n的绝对值等于原数左起第一个非零数前所有零的个数(包括小数点前的零).3.常考的计数单位和计量单位:1亿=⑨,1万=⑩;1mm=10-3m,1nm=10-9m等.考点三科学记数法1081044.科学记数法的还原(1)绝对值大于10的数的还原:将数a的小数点向移动n位;(2)绝对值大于0且小于1的数的还原:将数a的小数点向移动|n|位.右左⑪⑫考点四实数的大小比较数轴比较法数轴上的两个点表示的数,右边的数总比左边的数性质比较法(1)正数0负数;(2)两个正数,绝对值大的较大;两个负数,绝对值大的反而;(3)若一组数据中有正数,0,负数,求最大的数时在正数中找,求最小的数时在负数中找差值比较法对于任意实数a,b:a-b0⇔;a-b=0⇔;a-b0⇔大小ababa=b（续表）平方比较法a2b⇔ab(a0,b≥0),ab⇔ab≥0(主要用于含有二次根式的无理数的大小比较或无理数的估算)求商比较法当b0时,ab1⇔ab;ab1⇔ab;当b≠0时,ab=1⇔a=b运算律交换律a+b=,ab=结合律(a+b)+c=,(ab)c=分配律a(b+c)=几种常见的运算乘方an=a·a·…·a(n个a相乘)零次幂任何非零实数的零次幂都为1,即a0=(a≠0)考点五实数的运算b+abaa+(b+c)a(bc)ab+ac1（续表）几种常见的运算负整数次幂规定a-n=1an(a≠0,n为正整数),特别地,a-1=(a≠0)-1的整数次幂(-1)n=㉕,n为奇数;㉖,n为偶数运算顺序先算乘方,再算乘除,最后算加减;同级运算,从左到右进行;如有括号,先进行运算,一般按小括号、中括号、大括号依次进行𝟏𝒂-11括号内的【温馨提示】在进行负整数指数幂的运算时,防止出现以下错误:(1)3-2=-19;(2)2a-2=12𝑎2.1.[2019·河北2题]规定:(→2)表示向右移动2,记作+2,则(←3)表示向左移动3,记作()A.+3B.-3C.-13D.+13考向一实数的相关概念（7年7考）B2.[2014·河北1题]-2是2的()A.倒数B.相反数C.绝对值D.平方根BAB3.[2015·河北2题]下列说法正确的是()A.1的相反数是-1B.1的倒数是-1C.1的立方根是±1D.-1是无理数4.[2017·河北6题]如图1-2为张小亮的答卷,他的得分应是()A.100分B.80分C.60分D.40分姓名张小亮得分?填空(每小题20分,共100分)①-1的绝对值是1;②2的倒数是-2;③-2的相反数是2;④1的立方根是1;⑤-1和7的平均数是3.图1-25.[2018·河北10题]图1-3中的手机截屏内容是某同学完成的作业,他做对的题数是()A.2个B.3个C.4个D.5个图1-3[答案]B[解析]5个小题中判断正确的是①④⑤.故选B.6.[2015·河北17题]若|a|=20180,则a=.7.[2018·河北18题]若a,b互为相反数,则a2-b2=.±10考向二科学记数法(7年5次单独考,1次涉及)8.[2013·河北2题]截至2013年3月底,某市人口总数已达到4230000人.将4230000用科学记数法表示为()A.0.423×107B.4.23×106C.42.3×105D.423×104B9.[2019·成都]2019年4月10日,人类首张黑洞照片面世,该黑洞位于室女座一个巨椭圆星系M87的中心,距离地球约5500万光年.将数据5500万用科学记数法表示为()A.5500×104B.55×106C.5.5×107D.5.5×108[答案]C[解析]科学记数法表示:5500万=55000000=5.5×107.10.[2018·河北2题]一个整数815550…0用科学记数法表示为8.1555×1010,则原数中0的个数为()A.4B.6C.7D.1011.[2017·河北2题]把0.0813写成a×10n(1≤a10,n为整数)的形式,则a为()A.1B.-2C.0.813D.8.13BD12.[2019·河北8题]一次抽奖活动特等奖的中奖率为150000,把150000用科学记数法表示为()A.5×10-4B.5×10-5C.2×10-4D.2×10-5D13.[2014·河北20题]如图1-4,点O,A在数轴上表示的数分别是0,0.1.将线段OA分成100等份,其分点由左向右依次为M1,M2,…,M99;再将线段OM1分成100等份,其分点由左向右依次为N1,N2,…,N99;继续将线段ON1分成100等份,其分点由左向右依次为P1,P2,…,P99.则点P37所表示的数用科学记数法表示为.3.7×10-6图1-4考向三实数的大小比较(7年2考)14.[2019·安徽]在-2,-1,0,1这四个数中,最小的数是()A.-2B.-1C.0D.1A15.[2016·河北11题]点A,B在数轴上的位置如图1-5所示,其对应的数分别是a和b.对于以下结论:甲:b-a0;乙:a+b0;丙:|a||b|;丁:0.其中正确的是()A.甲乙B.丙丁C.甲丙D.乙丁图1-5C16.5-1212.(填“”“”或“=”)[答案][解析]用作差法:5-12−12=5-22.因为2=4,所以5-220,即5-1212.考向四实数的运算(7年11次单独考,3次涉及)17.[2017·河北1题]下列运算结果为正数的是()A.(-3)2B.-3÷2C.0×(-2017)D.2-318.[2016·河北1题]计算:-(-1)=()A.±1B.-2C.-1D.1AD19.[2015·河北1题]计算:3-2×(-1)=()A.5B.1C.-1D.6A20.[2013·河北1题]气温由-1℃上升2℃后是()A.-1℃B.1℃C.2℃D.3℃21.[2013·河北5题]若x=1,则|x-4|=()A.3B.-3C.5D.-5BA22.[2017·河北12题]如图1-6是国际数学日当天淇淇和嘉嘉的微信对话,根据对话内容,下列选项错误的是()A.4+4-4=6B.4+40+40=6C.4+4+43=6D.4-1÷4+4=6D23.[2019·河北17题]若7-2×7-1×70=7p,则p的值为.-3图1-6解:(1)1+2-6-9=3-6-9=-3-9=-12.(2)∵1÷2×6□9=3□9=-6,∴□内填“-”.(3)要使1□2□6-9计算所得的数最小,两个□内依次可以填“-”“×”,此时最小数为-20.解:原式=33+4-33+1=5.24.[2019·山西]计算:27+-12-2-3tan60°+π-20.25.[2019·河北20题]有个填写运算符号的游戏:在“1□2□6□9”中的每个□内,填入+,-,×,÷中的某一个(可重复使用),然后计算结果.(1)计算:1+2-6-9;(2)若1÷2×6□9=-6,请推算□内的符号;(3)在“1□2□6-9”的□内填入符号后,使计算所得数最小,直接写出这个最小数.··26.[2016·河北20题]请你参考黑板中老师的讲解,用运算律简便计算:(1)999×(-15);(2)999×11845+999×-15-999×1835.解:(1)999×(-15)=(1000-1)×(-15)=15-15000=-14985.(2)999×11845+999×-15-999×1835=999×11845+-15-1835=999×100=99900.图1-727.[2017·河北20题]在一条不完整的数轴上从左到右有点A,B,C,其中AB=2,BC=1,如图1-8所示.设点A,B,C所对应数的和是p.(1)若以B为原点,写出点A,C所对应的数,并计算p的值;若以C为原点,p的值又是多少?(2)若原点O在图中数轴上点C的右边,且CO=28,求p的值.图1-8解:(1)若以B为原点,则点A表示-2,点C表示1,∴p=-2+0+1=-1.若以C为原点,则点A表示-3,点B表示-1,∴p=-3-1+0=-4.27.[2017·河北20题]在一条不完整的数轴上从左到右有点A,B,C,其中AB=2,BC=1,如图1-8所示.设点A,B,C所对应数的和是p.(2)若原点O在图中数轴上点C的右边,且CO=28,求p的值.图1-8(2)若原点O在图中数轴上点C的右边,且CO=28,则点C表示-28,点B表示-29,点A表示-31,∴p=-31-29-28=-88.28.[2019·保定定兴一模]老师在黑板上写出算式:7×□-5×◇=38.(1)嘉嘉在“□”中填入-6,请帮他计算“◇”中填入的数字;(2)淇淇说,“□”和“◇”中填入的一定是两个不同的数,淇淇的说法对吗?请说明理由.解:(1)设“◇”中填入的数字是x,依题意有7×(-6)-5x=38,解得x=-16.故“◇”中填入的数字是-16.(2)淇淇的说法不对.理由如下:设“□”和“◇”中填入的数字是y,依题意有7y-5y=38,解得y=19.故“□”和“◇”中填入的可能是两个相同的数19.