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第3课时整式及因式分解1.用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)连接数和字母组成的式子,叫做代数式.单独一个数或一个表示数的字母也叫代数式.2.列代数式:把问题中与数量有关的词语用含有数、字母和运算符号的式子表示出来.关键是找出问题中的数量关系及公式,如路程=速度×时间,售价=标价×折扣等;其次要抓住一些关键词语,如:多、少、大、小、增长、下降等.考点一代数式3.代数式求值的两种形式(1)直接代入法:把已知字母的值代入代数式,并按原来的运算顺序计算求值.(2)整体代入法:找出两个式子之间的共同部分,以此作为切入点,利用提公因式法、平方差公式、完全平方公式和降次等方法对所求代数式、已知等式进行恒等变形,使所求代数式变形成含有已知整式或部分项的形式,若涉及相反数、倒数需转化为两数和或积的形式,再整体代入求值.考点二整式的概念内容单项式多项式定义数或字母的①组成的式子叫做单项式.单独的一个数或一个字母也是单项式几个单项式的②叫做多项式次数一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数多项式中,次数最高项的次数,叫做这个多项式的次数系数单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数项多项式中,每个单项式叫做多项式的项积和1.同类项:所含字母③,并且相同字母的指数也④的项叫做同类项.几个常数项也是同类项.2.合并同类项:合并同类项后,所得项的系数是合并前各同类项的系数的和,且字母连同它的指数不变.考点三同类项、合并同类项相同相同【温馨提示】(1)同类项与系数无关,与字母的排列顺序无关,如-7xy与yx是同类项.(2)只有同类项才能合并,如x2与x3不能合并.考点四整式的运算类别法则整式的加减整式的加减实质就是⑤.一般地,几个整式相加减,如果有括号就先去括号,然后合并同类项幂的运算同底数幂相乘am·an=⑥(m,n都是整数)幂的乘方(am)n=⑦(m,n都是整数)积的乘方(ab)n=⑧(n为整数)同底数幂相除am÷an=⑨(a≠0,m,n都为整数)合并同类项am+namnanbnam-n(续表)整式的乘法单项式与单项式相乘把它们的系数、同底数幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式单项式与多项式相乘m(a+b+c)=⑩多项式与多项式相乘(m+n)(a+b)=⑪整式的除法单项式除以单项式单项式除以单项式,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式多项式除以单项式(ma+mb)÷m=a+bma+mb+mcma+mb+na+nb(续表)乘法公式平方差公式(a+b)(a-b)=⑫完全平方公式(a±b)2=⑬常用恒等变形(1)a2+b2=⑭=⑮;(2)(a-b)2=⑯-4aba2-b2a2±2ab+b2(a+b)2-2ab(a-b)2+2ab(a+b)21.定义:把一个多项式化为几个整式的⑰的形式,这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解.考点五因式分解积2.方法(1)提公因式法用字母表示:𝑚𝑎+𝑚𝑏+𝑚𝑐=𝑚(𝑎+𝑏+𝑐).公因式的确定:取各项系数的最大公约数,取各项相同的因式及其最低次幂.(2)公式法3.一般步骤图3-1考向一代数式及其求值(7年5考)1.[2018·河北12题]用一根长为a(单位:cm)的铁丝,首尾相接围成一个正方形.要将它按如图3-2的方式向外等距扩1(单位:cm),得到新的正方形,则这根铁丝需增加()A.4cmB.8cmC.(a+4)cmD.(a+8)cm图3-2[答案]B[解析]由题意可知,正方形的边长增加了2cm,则周长应该增加8cm.故选B.B2.[2017·河北4题]2×2×…×23+3+…+3𝑚个2𝑛个3=()A.2𝑚3𝑛B.2𝑚3𝑛C.2𝑚𝑛3D.𝑚23𝑛B3.[2013·河北9题]如图3-3,淇淇和嘉嘉做数学游戏:假设嘉嘉抽到牌的点数为x,淇淇猜中的结果为y,则y=()A.2B.3C.6D.x+3图3-34.[2016·河北18题]若mn=m+3,则2mn+3m-5nm+10=.[答案]1[解析]原式=3m-3mn+10=3(m-mn)+10=10-9=1.考向二整式的运算（7年8次单独考,2次涉及）5.[2019·宿迁]下列运算正确的是()A.a2+a3=a5B.(a2)3=a5C.a6÷a3=a2D.(ab2)3=a3b66.[2019·河北6题]小明总结了以下结论:①a(b+c)=ab+ac;②a(b-c)=ab-ac;③(b-c)÷a=b÷a-c÷a(a≠0);④a÷(b+c)=a÷b+a÷c(a≠0).其中一定成立的个数是()A.1B.2C.3D.4DC[答案]A[解析]2n+2n+2n+2n=4×2n=22×2n=2n+2=2,∴n+2=1,解得n=-1.故选A.[答案]C[解析]9.52=(10-0.5)2=102-2×10×0.5+0.52.7.[2018·河北13题]若2n+2n+2n+2n=2,则n=()A.-1B.-2C.0D.148.[2018·河北4题]将9.52变形正确的是()A.9.52=92+0.52B.9.52=(10+0.5)(10-0.5)C.9.52=102-2×10×0.5+0.52D.9.52=92+9×0.5+0.529.[2015·河北4题]下列运算正确的是()A.12-1=-12B.6×107=6000000C.(2a)2=2a2D.a3·a2=a5D10.[2016·河北2题]下列计算正确的是()A.(-5)0=0B.x2+x3=x5C.(ab2)3=a2b5D.2a2·a-1=2aD解:(1)设所捂的二次三项式为A.根据题意,得A=x2-5x+1+3x=x2-2x+1.(2)当x=6+1时,x2-2x+1=7+26-26-2+1=6.也可这样算:当x=6+1时,x2-2x+1=(x-1)2=(6+1-1)2=(6)2=6.11.[2015·河北21题]老师在黑板上书写了一个正确的演算过程,随后用手掌捂住了一个二次三项式,形式如图3-4.(1)求所捂的二次三项式;(2)若x=+1,求所捂的二次三项式的值.图3-4612.[2018·河北20题]嘉淇准备完成题目:化简:(x2+6x+8)-(6x+5x2+2).发现系数“”印刷不清楚.(1)他把“”猜成3,请你化简:(3x2+6x+8)-(6x+5x2+2);(2)他妈妈说:“你猜错了,我看到该题标准答案的结果是常数.”通过计算说明原题中“”是几?解:(1)(3x2+6x+8)-(6x+5x2+2)=3x2+6x+8-6x-5x2-2=-2x2+6.(2)(x2+6x+8)-(6x+5x2+2)=(-5)x2+6.∵最终结果是常数,∴=5.考向三因式分解（7年2考）13.[2019·株洲]下列各选项中因式分解正确的是()A.x2-1=(x-1)2B.a3-2a2+a=a2(a-2)C.-2y2+4y=-2y(y+2)D.m2n-2mn+n=n(m-1)2[答案]D[解析][解析]A.x2-1=(x+1)(x-1),故此选项错误;B.a3-2a2+a=a(a-1)2,故此选项错误;C.-2y2+4y=-2y(y-2),故此选项错误;D.m2n-2mn+n=n(m-1)2,故此选项正确.14.[2013·河北4题]下列等式从左到右的变形,属于因式分解的是()A.a(x-y)=ax-ayB.x2+2x+1=x(x+2)+1C.(x+1)(x+3)=x2+4x+3D.x3-x=x(x+1)(x-1)D15.[2014·河北3题]计算:852-152=()A.70B.700C.4900D.7000D16.[2019·南京]分解因式(a-b)2+4ab的结果是.[答案](a+b)2[解析](a-b)2+4ab=a2-2ab+b2+4ab=a2+2ab+b2=(a+b)2.17.[2019·绵阳]因式分解:m2n+2mn2+n3=.n(m+n)2考向四整式运算、因式分解与图形面积问题18.[2019·石家庄新华区一模]在多项式的乘法公式中,完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2是其中重要的一个.(1)请补全完全平方公式的推导过程;(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+++b2=a2++b2.(2)如图3-5,将边长为a+b的正方形分割成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四部分,请你结合图给出完全平方公式的几何解释.(3)用完全平方公式求5982的值.图3-5解:(1)(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2.18.[2019·石家庄新华区一模]在多项式的乘法公式中,完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2是其中重要的一个.(2)如图3-5,将边长为a+b的正方形分割成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四部分,请你结合图给出完全平方公式的几何解释.图3-5(2)边长为a+b的正方形的面积等于边长分别为a和b的两个小正方形面积的和,再加上两个长为a,宽为b的长方形的面积.18.[2019·石家庄新华区一模]在多项式的乘法公式中,完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2是其中重要的一个.(3)用完全平方公式求5982的值.图3-5(3)5982=[600+(-2)]2=6002+2×600×(-2)+(-2)2=360000-2400+4=357604.或5982=(600-2)2=6002-2×600×2+22=360000-2400+4=357604.