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第16课时几何初步及平行线、相交线(含命题)考点一直线和线段考点聚焦1.直线的基本事实:经过两点有一条直线,并且只有一条直线(两点确定一条直线).2.线段的基本事实:两点的所有连线中,①最短(两点之间,线段最短).3.线段的和与差:如图16-1,在线段AC上取一点B,则有:AB+②=AC;AB=③-BC;BC=AC-④.图16-1线段BCACAB4.线段的中点:如图16-2,点M把线段AB分成相等的两条线段AM与MB,点M叫做线段AB的中点.几何语言:AM=⑤=12AB.图16-25.两点间的距离:连接两点间的线段的长度.MB考点二相交线1.三线八角(1)对顶角性质:对顶角相等.举例:∠1与∠3,∠2与∠4,∠5与∠7,∠6与⑥.(2)邻补角性质:互为邻补角的两个角之和等于180°.举例:∠1与∠2、∠4,∠2与∠1、∠3,∠8与∠5、∠7,∠7与∠6、∠8等.(3)同旁内角举例:∠2与∠5,∠3与⑦.图16-3∠8∠8(4)同位角举例:∠1与⑧,∠2与∠6,∠4与∠8,∠3与∠7.(5)内错角举例:∠2与⑨,∠3与∠5.图16-3∠5∠82.垂线(1)垂线的性质①在同一平面内,过一点有且只有⑩条直线与已知直线垂直.②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,⑪最短.简单说成:垂线段最短.③点到直线的距离:直线外一点到这条直线的⑫的长度,叫做点到直线的距离.如图16-4,点P与直线l上各点连接的所有线段中,PB最短,点P到直线l的距离是PB的长度.图16-4一垂线段垂线段(2)垂直平分线定理:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.如图16-5,若l⊥AB,OA=OB,则AP=BP.逆定理:与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.图16-5考点三角量角器的使用量角器的中心和角的顶点对齐,量角器的零刻度线和角的一条边对齐,做到两对齐后看角的另一边与刻度线对应的度数度分秒的换算1周角=360°,1平角=180°,1°=⑬',1'=⑭″两角间的关系互余α+β=⑮⇔α,β互为余角同角(等角)的余角⑯互补α+β=⑰⇔α,β互为补角同角(等角)的补角⑱606090°相等180°相等（续表）角平分线定义一般地,从一个角的顶点出发,把这个角分成两个相等的角的射线,叫做这个角的平分线定理角的平分线上的点到角的两边的距离⑲,即∠1=∠2PE⊥OA,PF⊥OB⇒PE⑳PF逆定理角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上,即PE⊥OA,PF⊥OBPE=PF⇒∠1=∠2相等=考点四平行线的性质与判定平行公理经过直线外一点,有且只有㉑条直线与这条直线平行平行公理的推论如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也㉒平行线的性质和判定(1)同位角㉓两直线平行.如图,∠1=㉔a∥b.(2)内错角㉕两直线平行.如图,∠3=∠4㉖.(3)同旁内角㉗两直线平行.如图,∠2+∠3=㉘a∥b一互相平行相等∠2相等a∥b互补180°（续表）两平行线间的距离定义两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的㉙,叫做这两条平行线之间的距离性质两条平行线之间的距离处处㉚距离相等考点五命题定义在日常生活中,为了交流方便,我们就要对名称和术语的含义加以描述,作出明确的规定,也就是给它们下定义命题定义能够进行肯定或者否定判断的语句,叫做命题分类正确的命题叫做㉛不正确的命题叫做㉜组成命题都是由㉝和㉞两部分组成的基本事实公认的真命题称为基本事实真命题假命题条件结论（续表）定理要说明一个命题是真命题,则要从命题的条件出发,根据已学过的基本事实、定义、性质和定理等,进行有理有据的推理,这种推理的过程叫做㉟.有些真命题,它们的正确性已经过演绎推理得到证实,并被作为判定其他命题真假的依据,这些命题叫做㊱互逆命题一个命题的条件和结论分别为另一个命题的结论和条件的两个命题,称为互逆命题,如果我们把其中一个命题称为㊲,那么另一个命题就是这个原命题的㊳互逆定理如果一个定理的逆命题经过证明是正确的,那么这个逆命题也可以称为原定理的㊴,一个定理和它的逆定理是互逆定理证明定理原命题逆命题逆定理1.如图16-6,直线a,b被直线c所截,∠1与∠2是()A.同位角B.内错角C.内角D.对顶角题组一必会题对点演练图16-6A2.如图16-7,已知∠1=120°,则∠2的度数是()A.120°B.90°C.60°D.30°图16-7A3.如图16-8,点O为直线AB上一点,OC⊥OD.如果∠1=35°,那么∠2的度数是()A.35°B.45°C.55°D.65°C图16-84.[2019·常州]如图16-9,在线段PA,PB,PC,PD中,长度最小的是()A.线段PAB.线段PBC.线段PCD.线段PD图16-9B5.[2019·铜仁]如图16-10,如果∠1=∠3,∠2=60°,那么∠4的度数为()A.60°B.100°C.120°D.130°C图16-10题组二易错题【失分点】求两点之间距离时忽略分类讨论;对平行线的性质理解不透彻;混淆余角和补角的概念.6.已知点A,B,C都是直线l上的点,且AB=5cm,BC=3cm,那么点A与点C之间的距离是()A.8cmB.2cmC.8cm或2cmD.4cmC7.已知∠1与∠2是同旁内角,若∠1=50°,则∠2的度数是()A.40°B.50°C.130°D.不能确定8.如果一个角等于它的余角的2倍,那么这个角的补角是度.D120考向一用量角器量角（7年1考）例1如图16-11所示,用量角器度量∠AOB,可以读出∠AOB的度数为()A.45°B.55°C.125°D.135°图16-11B|考向精练|1.[2017·河北3题]用量角器测量∠MON的度数,下列操作正确的是()图16-12C2.[2019·唐山丰润区二模]下面四幅图中,用量角器测得∠AOB的度数是40°的图是()图16-13A3.[2019·唐山路南区三模]如图16-14所示,用量角器度量几个角的度数,下列结论正确的是()A.∠BOC=60°B.∠AOD与∠COE互补C.∠AOC=∠BODD.∠COA是∠EOD的余角图16-14B考向二与角度相关的计算例2如图16-15,已知直线AB,CD,MN相交于O,若∠1=22°,∠2=46°,则∠3的度数为()A.112°B.102°C.68°D.46°图16-15[答案]A[解析]∵∠1=22°,∠2=46°,∴∠4=180°-∠1-∠2=180°-22°-46°=112°,∴∠3=∠4=112°.故选A.1.[2019·湖州]已知∠α=60°32',则∠α的余角是()A.29°28'B.29°68'C.119°28'D.119°68'|考向精练|AB2.如图16-16,∠AOB=120°,∠BOC=30°,OD是∠AOC的平分线,则∠BOD=()A.45°B.75°C.85°D.90°图16-163.[2018·凉山州]已知两个角的和是67°56',差是12°40',则这两个角的度数分别是.[答案]40°18‘,27°38’[解析]设这两个角的度数分别为x,y,则𝑥+𝑦=67°56',𝑥-𝑦=12°40',解得𝑥=40°18',𝑦=27°38'.考向三与垂线有关的计算图16-17例3如图16-17,直线AB,CD相交于点O,EO⊥AB于点O,且∠COE=3∠DOE,则∠COB的度数为.[答案]135°[解析]∵∠DOE+∠COE=180°,∠COE=3∠DOE,∴4∠DOE=180°,解得∠DOE=45°.又EO⊥AB,∴∠AOE=90°.∴∠AOD=∠AOE+∠DOE=90°+45°=135°.又∵∠COB与∠AOD是对顶角,∴∠COB=135°.|考向精练|1.[2019·邯郸校级模拟]如图16-18,已知直线AB,CD相交于点O,OE⊥AB,∠EOC=28°,则∠BOD的度数为()A.28°B.52°C.62°D.118°D图16-182.[2019·石家庄模拟]如图16-19,AB,CD相交于点O,OE⊥AB,则∠1与∠2的关系是()A.对顶角B.相等C.互补D.互余图16-19[答案]D[解析]∵OE⊥AB,∴∠EOA=90°.∴∠1+∠AOC=90°.∵∠2=∠AOC,∴∠1+∠2=90°,∴∠1与∠2互为余角.3.[2019·张家口模拟]如图16-20,已知OA⊥OB,OC⊥OD,∠BOA∶∠AOD=2∶3,则∠BOD的度数为.[答案]135°图16-20[解析]∵OA⊥OB,OC⊥OD,∴∠AOB=∠DOC=90°,∵∠BOA∶∠AOD=2∶3,∴∠AOD=90°×32=135°,∴∠BOD=360°-∠AOB-∠AOD=135°.故答案为:135°.考向四平行线的判定与性质（7年3次单独考,2次涉及）图16-21例4[2019·陕西]如图16-21,OC是∠AOB的平分线,l∥OB,若∠1=52°,则∠2的度数为()A.52°B.54°C.64°D.69°[答案]C[解析]∵l∥OB,∴∠1+∠AOB=180°,∴∠AOB=128°.∵OC平分∠AOB,∴∠BOC=64°.又l∥OB,且∠2与∠BOC为同位角,∴∠2=64°.故选C.|考向精练|1.[2019·河北7题]下面是投影屏上出示的抢答题,需要回答横线上符号代表的内容.已知:如图16-22,∠BEC=∠B+∠C.求证:AB∥CD.证明:延长BE交※于点F,则∠BEC=◎+∠C(三角形的外角等于与它不相邻两个内角之和).又∠BEC=∠B+∠C,得∠B=▲,故AB∥CD(@相等,两直线平行).则回答正确的是()A.◎代表∠FECB.@代表同位角C.▲代表∠EFCD.※代表AB图16-22[答案]C[解析]从图上看,延长BE交CD于点F,所以※代表AB不正确,选项D不正确;利用“三角形的外角等于与它不相邻两个内角之和”判断∠BEC=∠EFC+∠C,所以◎代表∠FEC不正确,选项A不正确;利用“等量代换”判断∠B=∠EFC,所以选项C正确;∠B和∠EFC是内错角,所以选项B不正确.因此正确的选项是C.2.[2015·河北8题]如图16-23,AB∥EF,CD⊥EF,∠BAC=50°,则∠ACD等于()A.120°B.130°C.140°D.150°图16-23[答案]C[解析]方法一:如图①,过点C作CM∥AB,则∠ACM=∠BAC=50°.∵CD⊥EF,∴∠CDF=90°.∵AB∥EF,∴CM∥EF,∴∠DCM=∠CDF=90°,∴∠ACD=∠DCM+∠ACM=90°+50°=140°.故选C.方法二:如图②,延长AC交EF于点G.∵AB∥EF,∴∠DGC=∠BAC=50°.∵CD⊥EF,∴∠CDG=90°,∴∠ACD=90°+50°=140°.故选C.3.[2018·唐山路北区二模]如图16-24,a∥b,将一块三角板的直角顶点放在直线a上,若∠1=42°,求∠2的度数.以下是排乱的推理过程:①∵∠1=42°,②∵a∥b,③∴∠3=90°-42°=48°.④∴∠2=48°.⑤∴∠2=∠3.推理步骤正确的顺序是()A.①→③→②→④→⑤B.①→③→②→⑤→④C.①→⑤→②→③→④D.②→③→①→④→⑤图16-24[答案]B[解析]根据直角的定义求出∠3,根据平行线的性质得出∠2=∠3,代入求出即可.①∵∠1=42°,③∴∠3=90°-42°=48°.②∵a∥b,⑤∴∠2=∠3.④∴∠2=48°.故推理步骤正确的顺序是①→③→②→⑤→④.故选B.