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第15课时二次函数的实际应用考点一建立二次函数模型解决问题考点聚焦常见类型关键步骤抛物线形问题建立方便求解析式的平面直角坐标系,找到图象上三点的坐标,用待定系数法求二次函数的解析式销售利润问题理清各个量之间的关系,找出等量关系求得解析式,根据要求确定函数的最值或建立方程求解图形面积问题利用几何知识用变量x表示出图形的面积y,根据要求确定函数的最值或建立方程求解【温馨提示】(1)求函数的最值时,要注意实际问题中自变量的取值限制对最值的影响.若对称轴的取值不在自变量的取值范围内,则最值在自变量取值的端点处取得.(2)建立平面直角坐标系的原则是易于求二次函数的解析式.考点二图象信息类问题1.表格类观察点的特征,验证满足条件的二次函数的解析式及其图象,利用二次函数的性质求解.2.图文类根据图文,借助图形上的关键点,提取信息,建立二次函数模型解题.题组一必会题对点演练1.苹果熟了,从树上落下所经过的路程s与下落时间t满足s=12gt2(g=9.8),则s与t的函数图象大致是()图15-1B2.某品牌钢笔每支进价8元,按10元1支出售时每天能卖出20支,市场调查发现,如果每支涨价1元,每天就少卖出2支,为了每天获得最大利润,其售价应定为()A.11元B.12元C.13元D.14元[答案]D[解析]设每天的利润为w元,涨价x元.由题意得,每天利润为:w=(2+x)(20-2x)=-2x2+16x+40=-2(x-4)2+72.所以当涨价4元(即售价为14元)时,每天利润最大,最大利润为72元.3.如图15-2,一边靠校园围墙,其他三边用总长为80米的铁栏杆围成一个矩形花圃,设矩形ABCD的边AB的长为x米,面积为S平方米,要使矩形ABCD的面积最大,则x为()A.40米B.30米C.20米D.10米C图15-2[答案]B4.[2019·房山一模]加工爆米花时,爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:分钟)满足的函数关系为p=at2+bt+c(a,b,c是常数),如图15-3记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为()A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟图15-3[解析]根据题意,将(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5)分别代入p=at2+bt+c,得9𝑎+3𝑏+𝑐=0.7,16𝑎+4𝑏+𝑐=0.8,25𝑎+5𝑏+𝑐=0.5.解得𝑎=-0.2,𝑏=1.5,𝑐=-2,即p=-0.2t2+1.5t-2,当t=-1.5-0.2×2=3.75时,p取得最大值.5.一个小球向斜上方抛出,它的行进高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)之间的关系是y=-x2+4x+1,则小球能到达的最大高度是m.5题组二易错题【失分点】求实际问题中的最值时,忽略自变量取值范围的限制.6.飞机着陆后滑行的距离y(单位:m)关于滑行时间t(单位:s)的函数解析式是y=60t-32t2.在飞机着陆滑行中,最后4s滑行的距离是m.[答案]24[解析]∵y=-32(t-20)2+600,∴当t=20时,滑行到最大距离600m时停止;当t=16时,y=576,所以最后4s滑行24m.7.春节期间,物价局规定某种蔬菜的最低价格为4.1元/千克,最高价格为4.5元/千克,小王按4.1元/千克购入,若原价出售,则每天平均可卖出200千克,若价格每上涨0.1元,则每天少卖出20千克,则蔬菜售价定为元/千克时,每天获利最大,最大利润为元.[答案]4.548[解析]设售价定为x元/千克,则每千克获利(x-4.1)元.∵价格每上涨0.1元,每天少卖出20千克,∴每天的销售量为200-20(x-4.1)÷0.1=-200x+1020(千克).设每天获利W元,则W=(-200x+1020)(x-4.1)=-200x2+1840x-4182=-2(100x2-920x+2116)+4232-4182=-2(10x-46)2+50.∵a=-20,∴当x≤4.6时W随x的增大而增大.∵物价局规定该种蔬菜的最低价格为4.1元/千克,最高价格为4.5元/千克,∴4.1≤x≤4.5,∴当x=4.5时,W有最大值,即获利最大,最大获利=-2(10×4.5-46)2+50=-2+50=48(元).考向一利用二次函数解决抛物线形问题（7年1考）例1[2019·石家庄质检]跳绳是大家喜闻乐见的一项体育运动,集体跳绳时,需要两人同频甩动绳子,当绳子甩到最高处时,其形状可近似看作抛物线.如图15-4是小明和小亮甩绳子到最高处时的示意图,两人拿绳子的手之间的距离为4m,离地面的高度为1m,以小明的手所在位置为原点,建立平面直角坐标系.(1)当身高为1.5m的小红站在绳子的正下方,且距小明拿绳子的手1m处时,绳子刚好通过小红的头顶,求绳子所对应的抛物线的表达式;图15-4(2)若身高为1.65m的小丽也站在绳子的正下方.①当小丽在距小亮拿绳子的手1.5m处时,绳子能碰到小丽的头吗?请说明理由;②设小丽与小亮拿绳子的手之间的水平距离为dm,为保证绳子不碰到小丽的头顶,求d的取值范围.(参考数据:10取3.16)图15-4解:(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx(a≠0),∵1.5-1=0.5,∴抛物线经过点(4,0)和(1,0.5),∴16𝑎+4𝑏=0,𝑎+𝑏=0.5,解得𝑎=-16,𝑏=23,∴绳子对应的抛物线的解析式为y=-16x2+23x.例1[2019·石家庄质检]跳绳是大家喜闻乐见的一项体育运动,集体跳绳时,需要两人同频甩动绳子,当绳子甩到最高处时,其形状可近似看作抛物线.如图15-4是小明和小亮甩绳子到最高处时的示意图,两人拿绳子的手之间的距离为4m,离地面的高度为1m,以小明的手所在位置为原点,建立平面直角坐标系.(2)若身高为1.65m的小丽也站在绳子的正下方.①当小丽在距小亮拿绳子的手1.5m处时,绳子能碰到小丽的头吗?请说明理由;②设小丽与小亮拿绳子的手之间的水平距离为dm,为保证绳子不碰到小丽的头顶,求d的取值范围.(参考数据:10取3.16)图15-4(2)①绳子能碰到小丽的头.理由如下:∵小丽在距小亮拿绳子的手1.5m处,∴小丽距原点4-1.5=2.5(m),当x=2.5时,y=-16×2.52+23×2.5=0.625.∵1+0.625=1.6251.65,∴绳子能碰到小丽的头.②∵1.65-1=0.65,∴当y=0.65时,0.65=-16x2+23x,即10x2-40x+39=0,解得x=20±1010.∵10取3.16,∴x1=2.316,x2=1.684,∴4-2.316=1.684,4-1.684=2.316,∴1.684≤d≤2.316.考向二利用二次函数解决销售利润问题（7年1考）例2[2019·武汉]某商店销售一种商品,经市场调查发现,该商品的周销售量y(件)是售价x(元/件)的一次函数,其售价、周销售量、周销售利润w(元)的三组对应值如下表:注:周销售利润=周销售量×(售价-进价)售价x(元/件)506080周销售量y(件)1008040周销售利润w(元)100016001600(1)①求y关于x的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围);②该商品进价是元/件;当售价是元/件时,周销售利润最大,最大利润是元;(2)由于某种原因,该商品进价提高了m元/件(m0),物价部门规定该商品售价不得超过65元/件,该商店在今后的销售中,周销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系.若周销售最大利润是1400元,求m的值.解:(1)①设y与x的函数关系式为y=kx+b.依题意,有50𝑘+𝑏=100,60𝑘+𝑏=80,解得𝑘=-2,𝑏=200,∴y与x的函数关系式是y=-2x+200.例2[2019·武汉]某商店销售一种商品,经市场调查发现,该商品的周销售量y(件)是售价x(元/件)的一次函数,其售价、周销售量、周销售利润w(元)的三组对应值如下表:注:周销售利润=周销售量×(售价-进价)(1)②该商品进价是元/件;当售价是元/件时,周销售利润最大,最大利润是元;售价x(元/件)506080周销售量y(件)1008040周销售利润w(元)100016001600[答案]40701800[解析]设进价为t元/件,由题意知,1000=100×(50-t),解得t=40,∴进价为40元/件;周销售利润w=(x-40)y=(x-40)(-2x+200)=-2(x-70)2+1800,故当售价是70元/件时,周销售利润最大,最大利润是1800元.故答案为40,70,1800.例2[2019·武汉]某商店销售一种商品,经市场调查发现,该商品的周销售量y(件)是售价x(元/件)的一次函数,其售价、周销售量、周销售利润w(元)的三组对应值如下表:注:周销售利润=周销售量×(售价-进价)(2)由于某种原因,该商品进价提高了m元/件(m0),物价部门规定该商品售价不得超过65元/件,该商店在今后的销售中,周销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系.若周销售最大利润是1400元,求m的值.售价x(元/件)506080周销售量y(件)1008040周销售利润w(元)100016001600(2)依题意有,w=(-2x+200)(x-40-m)=-2x2+(2m+280)x-8000-200m=-2x-𝑚+14022+12m2-60m+1800.∵m0,∴对称轴x=𝑚+140270.∵-20,∴抛物线开口向下.∵x≤65,∴w随x的增大而增大,∴当x=65时,w有最大值(-2×65+200)(65-40-m),∴(-2×65+200)(65-40-m)=1400,∴m=5.|考向精练|[2019·随州]某食品厂生产一种半成品食材,成本为2元/千克,每天的产量p(百千克)与销售价格x(元/千克)满足函数关系式p=12x+8,从市场反馈的信息发现,该半成品食材每天的市场需求量q(百千克)与销售价格x(元/千克)满足一次函数关系,部分数据如下表:已知按物价部门规定销售价格x不低于2元/千克且不高于10元/千克.(1)直接写出q与x的函数关系式,并注明自变量x的取值范围.销售价格x(元/千克)24…10市场需求量q(百千克)1210…4(2)当每天的产量小于或等于市场需求量时,这种半成品食材能全部售出,而当每天的产量大于市场需求量时,只能售出符合市场需求量的半成品食材,剩余的食材由于保质期短而只能废弃.①当每天的半成品食材能全部售出时,求x的取值范围;②求厂家每天获得的利润y(百元)与销售价格x的函数关系式.(3)在(2)的条件下,当x为元/千克时,利润y有最大值;若要使每天的利润不低于24(百元),并尽可能地减少半成品食材的浪费,则x应定为元/千克.解:(1)设q与x的函数解析式为q=kx+b.由表格可知函数图象经过点(2,12),(4,10),∴2𝑘+𝑏=12,4𝑘+𝑏=10,解得𝑘=-1,𝑏=14,∴q与x的函数解析式为q=-x+14,x的取值范围为2≤x≤10.[2019·随州]某食品厂生产一种半成品食材,成本为2元/千克,每天的产量p(百千克)与销售价格x(元/千克)满足函数关系式p=12x+8,从市场反馈的信息发现,该半成品食材每天的市场需求量q(百千克)与销售价格x(元/千克)满足一次函数关系,部分数据如下表:已知按物价部门规定销售价格x不低于2元/千克且不高于10元/千克.(2)当每天的产量小于或等于市场需求量时,这种半成品食材能全部售出,而当每天的产量大于市场需求量时,只能售出符合市场需求量的半成品食材,剩余的食材由于保质期短而只能废弃.销售价格x(元/千克)24…10市场需求量q(百千克)1210…4①当每天的半成品食材能全部售出时,求x的取值范围;(2)①由题意可知当每天的半成品食材能全部售出时,有p≤q,即12x+8≤-x+14,解得x≤4.又因为2≤x≤10,所以2≤x≤4.[2019·随州]某食品厂