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第14课时二次函数的综合应用考点二次函数的综合应用考点聚焦1.与其他函数结合(1)与一次函数结合:一次函数y=kx+n(k≠0)的图象与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的交点个数,由方程组𝑦=𝑘𝑥+𝑛,𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐解的数目确定.方程组有两组不同的解,则两个函数图象有两个交点;方程组只有一组解,则两个函数图象只有一个交点;方程组无解时,两个函数图象没有交点.(2)与反比例函数结合:主要涉及二次函数与反比例函数图象的交点问题.已知自变量的取值范围,结合函数图象及解析式,判断函数值的取值范围.2.与几何图形结合二次函数常常与三角形、四边形、圆等几何图形综合,考查以下几类问题:(1)线段数量关系、最值问题;(2)面积数量关系、最值问题;(3)存在性问题:包含特殊三角形、特殊四边形、直线与圆相切等.考向一二次函数与其他函数综合（7年2考）例1已知二次函数y1=x2+mx+n的图象经过点P(-3,1),对称轴是经过(-1,0)且平行于y轴的直线.(1)求m,n的值;(2)如图14-1,一次函数y2=kx+b的图象经过点P,与x轴相交于点A,与二次函数的图象相交于另一点B,点B在点P的右侧,PA∶PB=1∶5,求一次函数的解析式;(3)直接写出y1y2时x的取值范围.图14-1解:(1)∵对称轴是经过(-1,0)且平行于y轴的直线,∴-𝑚2=-1,∴m=2.∵二次函数y1=x2+mx+n的图象经过点P(-3,1),∴9-3m+n=1,∴n=3m-8=-2.例1已知二次函数y1=x2+mx+n的图象经过点P(-3,1),对称轴是经过(-1,0)且平行于y轴的直线.(2)如图14-1,一次函数y2=kx+b的图象经过点P,与x轴相交于点A,与二次函数的图象相交于另一点B,点B在点P的右侧,PA∶PB=1∶5,求一次函数的解析式;图14-1(2)∵m=2,n=-2,∴二次函数的解析式为y1=x2+2x-2.过点P作PC⊥x轴于点C,过点B作BD⊥x轴于点D,如图,则PC∥BD,∴𝑃𝐶𝐵𝐷=𝐴𝑃𝐴𝐵.∵P(-3,1),∴PC=1.∵PA∶PB=1∶5,∴PA∶AB=1∶6,∴BD=6,∴点B的纵坐标为6.将y1=6代入二次函数解析式y1=x2+2x-2中,得6=x2+2x-2,解得x1=2,x2=-4(舍去),∴B(2,6).∵一次函数图象过点P,∴-3𝑘+𝑏=1,2𝑘+𝑏=6,解得𝑘=1,𝑏=4,∴一次函数的解析式为y2=x+4.例1已知二次函数y1=x2+mx+n的图象经过点P(-3,1),对称轴是经过(-1,0)且平行于y轴的直线.(3)直接写出y1y2时x的取值范围.(3)由图象可知,当x-3或x2时,y1y2.图14-1|考向精练|[2017·石家庄十八县联考]如图14-2,已知抛物线y=-x2+9的顶点为A,曲线DE是双曲线y=𝑘𝑥(3≤x≤12)的一部分,记作G1,且D(3,m),E(12,m-3),将抛物线y=-x2+9水平向右移动a个单位,得到抛物线G2.(1)求双曲线的解析式;(2)设抛物线y=-x2+9与x轴的交点为B、C,且B在C的左侧,则线段BD的长为;(3)点(6,n)为G1与G2的交点坐标,求a的值;(4)在移动过程中,若G1与G2有两个交点,设G2的对称轴分别交线段DE和G1于M、N两点,若MN23,直接写出a的取值范围.图14-2解:(1)把D(3,m),E(12,m-3)分别代入y=𝑘𝑥,得𝑚=𝑘3,𝑚-3=𝑘12,解得𝑚=4,𝑘=12,∴y=12𝑥(3≤x≤12).[2017·石家庄十八县联考]如图14-2,已知抛物线y=-x2+9的顶点为A,曲线DE是双曲线y=𝑘𝑥(3≤x≤12)的一部分,记作G1,且D(3,m),E(12,m-3),将抛物线y=-x2+9水平向右移动a个单位,得到抛物线G2.(2)设抛物线y=-x2+9与x轴的交点为B、C,且B在C的左侧,则线段BD的长为;图14-2213[2017·石家庄十八县联考]如图14-2,已知抛物线y=-x2+9的顶点为A,曲线DE是双曲线y=𝑘𝑥(3≤x≤12)的一部分,记作G1,且D(3,m),E(12,m-3),将抛物线y=-x2+9水平向右移动a个单位,得到抛物线G2.(3)点(6,n)为G1与G2的交点坐标,求a的值;图14-2(3)把(6,n)代入y=12𝑥得6n=12,解得n=2,即交点坐标为(6,2),设抛物线G2的解析式为y=-(x-a)2+9.把(6,2)代入y=-(x-a)2+9得-(6-a)2+9=2,解得a=6±7,即a的值为6±7.[2017·石家庄十八县联考]如图14-2,已知抛物线y=-x2+9的顶点为A,曲线DE是双曲线y=𝑘𝑥(3≤x≤12)的一部分,记作G1,且D(3,m),E(12,m-3),将抛物线y=-x2+9水平向右移动a个单位,得到抛物线G2.(4)在移动过程中,若G1与G2有两个交点,设G2的对称轴分别交线段DE和G1于M、N两点,若MN23,直接写出a的取值范围.图14-2(4)9a≤12-22考向二二次函数与几何图形综合图14-3例2[2019·唐山丰润区二模]如图14-3,在平面直角坐标中,直线y=x+3分别交x轴,y轴于A,C两点,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0),经过A,C两点,与x轴交于点B(1,0).(1)求抛物线的解析式;(2)点D为直线AC上一点,点E为抛物线上一点,且D,E两点的横坐标都为2,点F为x轴上的点,若四边形ADFE是平行四边形,请直接写出点F的坐标,并直接回答四边形ADFE是什么特殊的四边形;(3)若点P是线段AC上的一个动点,过点P作x轴的垂线,交抛物线于点Q,连接AQ,CQ,求△ACQ的面积的最大值.解:(1)将x=0代入y=x+3,得y=3,∴点C的坐标为(0,3).将y=0代入y=x+3,得x=-3,∴点A的坐标为(-3,0).∵抛物线y=ax2+bx+c过点C(0,3),∴c=3.又∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-3,0),B(1,0),∴9𝑎-3𝑏+3=0,𝑎+𝑏+3=0,解得𝑎=-1,𝑏=-2,∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3.图14-3例2[2019·唐山丰润区二模]如图14-3,在平面直角坐标中,直线y=x+3分别交x轴,y轴于A,C两点,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0),经过A,C两点,与x轴交于点B(1,0).(2)点D为直线AC上一点,点E为抛物线上一点,且D,E两点的横坐标都为2,点F为x轴上的点,若四边形ADFE是平行四边形,请直接写出点F的坐标,并直接回答四边形ADFE是什么特殊的四边形;(2)点F的坐标为(7,0),四边形ADFE是正方形.图14-3例2[2019·唐山丰润区二模]如图14-3,在平面直角坐标中,直线y=x+3分别交x轴,y轴于A,C两点,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0),经过A,C两点,与x轴交于点B(1,0).(3)若点P是线段AC上的一个动点,过点P作x轴的垂线,交抛物线于点Q,连接AQ,CQ,求△ACQ的面积的最大值.(3)如图所示.设点P的坐标为(m,m+3),则点Q的坐标为(m,-m2-2m+3),∴QP=-m2-2m+3-(m+3)=-m2-3m.∵△ACQ的面积=S△AQP+S△CQP=12AO·QP,∴△ACQ的面积=12×3×(-m2-3m)=-32m2-92m=-32m+322+278,∴△ACQ的面积的最大值为278.|考向精练|[2019·石家庄十八县摸底考试]如图14-4,已知四边形OABC的顶点A,C分别在x轴,y轴的正半轴上,且面积为16,点H是正方形OABC的中心,反比例函数y=𝑘𝑥的图象经过点H,与AB,BC分别交于点E,F,过点H作HD⊥OA于点D,以DH为对称轴,且经过点E的抛物线L与反比例函数的图象交于点P.(1)求k的值;(2)若抛物线经过点F,求此时抛物线L的函数解析式;(3)设抛物线L的顶点的纵坐标为m,点P的坐标为(x0,y0),当83≤y0≤8,求m的取值范围.图14-4解:(1)∵四边形OABC是正方形,面积为16,∴OA=OC=4.∵点H是正方形OABC的中心,∴点H的坐标为(2,2).∵反比例函数y=𝑘𝑥的图象经过点H,∴k=2×2=4.[2019·石家庄十八县摸底考试]如图14-4,已知四边形OABC的顶点A,C分别在x轴,y轴的正半轴上,且面积为16,点H是正方形OABC的中心,反比例函数y=𝑘𝑥的图象经过点H,与AB,BC分别交于点E,F,过点H作HD⊥OA于点D,以DH为对称轴,且经过点E的抛物线L与反比例函数的图象交于点P.(2)若抛物线经过点F,求此时抛物线L的函数解析式;图14-4(2)∵反比例函数图象与AB交于点E,与BC交于点F,∴点E的横坐标为4,点F的纵坐标为4.∴点E,F的坐标为(4,1),(1,4).∵抛物线L经过点E,F,且对称轴为DH,∴可设抛物线L的函数解析式为y=a(x-2)2+h.将点E,F的坐标分别代入得𝑎(4-2)2+ℎ=1,𝑎(1-2)2+ℎ=4,解得𝑎=-1,ℎ=5.∴抛物线L的函数解析式为y=-(x-2)2+5,即y=-x2+4x+1.[2019·石家庄十八县摸底考试]如图14-4,已知四边形OABC的顶点A,C分别在x轴,y轴的正半轴上,且面积为16,点H是正方形OABC的中心,反比例函数y=𝑘𝑥的图象经过点H,与AB,BC分别交于点E,F,过点H作HD⊥OA于点D,以DH为对称轴,且经过点E的抛物线L与反比例函数的图象交于点P.(3)设抛物线L的顶点的纵坐标为m,点P的坐标为(x0,y0),当83≤y0≤8,求m的取值范围.图14-4(3)∵点P在反比例函数y=4𝑥的图象上,且83≤y0≤8,∴当y0=83时,x0=32;当y0=8时,x0=12.根据题意,设抛物线L的解析式为y=a(x-2)2+m.∵点E在抛物线L上,∴a(4-2)2+m=1,解得m=1-4a.即y=a(x-2)2+1-4a=ax2-4ax+1,∴当点12,8在抛物线L上时,得14a-2a+1=8,解得a=-4,∴m=17;当点32,83在抛物线L上时,得94a-6a+1=83,解得a=-49,则m=259.综上可知,m的取值范围是259≤m≤17.