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第11课时一次函数的实际应用考点一次函数的应用考点聚焦1.建立函数模型解决实际问题的步骤:(1)审题,明确变量x和y;(2)根据等量关系,建立函数解析式;(3)确定x的取值范围;(4)在x的取值范围内解决实际问题.2.利用一次函数的图象解决实际问题的一般步骤:(1)观察图象,获取有效信息;(2)对获取的信息进行加工、处理,理清各数量之间的关系;(3)选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等),通过建模解决问题.【温馨提示】注意根据实际情况确定变量的取值范围.题组一必会题对点演练1.油箱中有油20升,油从管道中匀速流出,100分钟流完.油箱中剩余油量Q(升)与流出的时间t(分)之间的函数表达式是()A.Q=20-5tB.Q=15t+20C.Q=20-15tD.Q=15tC2.今年五一节,小明外出爬山,他从山脚爬到山顶的过程中,中途休息了一段时间.设他从山脚出发后所用的时间为t(分),所走的路程为s(米),s与t之间的函数关系如图11-1所示,下列说法错误的是()A.小明中途休息用了20分钟B.小明休息前爬山的速度为每分钟70米C.小明在上述过程中所走的路程为6600米D.小明休息前爬山的平均速度大于休息后爬山的平均速度图11-1C[答案]3.6[解析]由题意知,甲的速度为6km/h.当甲开始运动时甲、乙相距36km,2小时后,乙开始运动,经过2.5小时两人相遇.设乙的速度为xkm/h,则2.5×(6+x)=36-12,解得x=3.6.3.甲、乙两人分别从A,B两地相向而行,他们距B地的距离s(km)与时间t(h)的函数关系图象如图11-2所示,那么乙的速度是km/h.图11-2题组二易错题【失分点】在描述函数图象或解析式时,忽视自变量的取值范围.4.一根蜡烛长30cm,点燃后每小时燃烧5cm,燃烧时蜡烛剩余的长度h(cm)和燃烧时间t(h)之间的函数关系用图象可以表示为图11-3中的()图11-3[答案]B[解析]由题意,得h=30-5t.∵h≥0,t≥0,∴30-5t≥0,∴t≤6,∴0≤t≤6,∴h=30-5t是减函数且图象是一条线段.5.超市有A,B两种型号的瓶子,其容量和价格如下表,小张买瓶子用来分装15升油(瓶子都装满,且无剩油).当日促销活动:购买A型瓶3个或以上,一次性返还现金5元,设购买A型瓶x(个),所需总费用为y(元),则下列说法不一定成立的是()A.购买B型瓶的个数是5-23x为正整数时的值B.购买A型瓶最多为6个C.y与x之间的函数关系式为y=x+30D.小张一次性买瓶子的最少费用是28元型号AB单个瓶子容量(升)23单价(元)56[答案]C[解析]∵买瓶子用来分装15升油,瓶子都装满,且无剩油,∴购买B型瓶的个数是15-2𝑥3=5-23x.∵瓶子的个数为自然数,∴当x=0时,5-23x=5;当x=3时,5-23x=3;当x=6时,5-23x=1.∴购买B型瓶的个数是5-23x为正整数时的值,故A成立;由上可知,购买A型瓶的个数为0个或3个或6个,∴购买A型瓶的个数最多为6个,故B成立;①当0≤x3时,y=5x+6×5-23x=x+30.∵k=10,∴y随x的增大而增大,∴当x=0时,y有最小值,最小值为30元;②当x≥3时,y=5x+6×5-23x-5=25+x.∵k=10,∴y随x的增大而增大,∴当x=3时,y有最小值,最小值为28元.综合①②可得,购买瓶子所需要最少费用为28元.故C不成立,D成立.考向一次函数的实际应用（7年4考）例1一列快车从甲地匀速驶往乙地,一列慢车从乙地匀速驶往甲地.设先发车辆行驶的时间为xh,两车之间的距离为ykm,图中的折线表示y与x之间的函数关系,根据图象解决以下问题:(1)慢车的速度为km/h,快车的速度为km/h;(2)解释图中点C的实际意义,并求出点C的坐标;(3)求当x为多少时,两车之间的距离为500km.图11-4[答案](1)80,120[解析]由图象可知,甲、乙两地相距720km,快车与慢车是同时出发的,快车与慢车相遇时所用时间为3.6h,慢车从乙地行驶到甲地所用时间为9h,所以慢车的速度为7209=80(km/h),快车的速度为7203.6-80=120(km/h).例1一列快车从甲地匀速驶往乙地,一列慢车从乙地匀速驶往甲地.设先发车辆行驶的时间为xh,两车之间的距离为ykm,图中的折线表示y与x之间的函数关系,根据图象解决以下问题:(2)解释图中点C的实际意义,并求出点C的坐标;图11-4(2)图中点C的实际意义为快车到达乙地.因为快车走完全程所用的时间为720120=6(h),所以点C的横坐标为6,纵坐标为80×6=480,所以点C的坐标为(6,480).例1一列快车从甲地匀速驶往乙地,一列慢车从乙地匀速驶往甲地.设先发车辆行驶的时间为xh,两车之间的距离为ykm,图中的折线表示y与x之间的函数关系,根据图象解决以下问题:(3)求当x为多少时,两车之间的距离为500km.图11-4(3)由题意,可知两车行驶的过程中有两次两车之间的距离为500km.相遇前:(80+120)x=720-500,解得x=1.1.相遇后:因为点C(6,480),所以当两车行驶了6h后,快车已到达乙地,慢车再行驶20km,两车相距500km,所以x=6+2080=6.25.所以当x=1.1h或6.25h时,两车之间的距离为500km.例2[2019·天津]甲、乙两个批发店销售同一种苹果,在甲批发店,不论一次购买数量是多少,价格均为6元/千克,在乙批发店,一次购买数量不超过50千克时,价格为7元/千克;一次购买数量超过50千克时,其中有50千克的价格仍为7元/千克,超出50千克部分的价格为5元/千克.设小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为x千克(x0).(1)根据题意填表:一次购买数量/千克3050150…甲批发店花费/元300…乙批发店花费/元350…(2)设在甲批发店花费y1元,在乙批发店花费y2元,分别求y1,y2关于x的函数解析式;(3)根据题意填空:①若小王在甲批发店和在乙批发店一次购买苹果的数量相同,且花费相同,则他在同一个批发店一次购买苹果的数量为千克;②若小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为120千克,则他在甲、乙两个批发店中的批发店购买花费少;③若小王在同一个批发店一次购买苹果花费了360元,则他在甲、乙两个批发店中的批发店购买数量多.解:(1)一次购买30千克,不超过50千克,∴在甲批发店花费180元,在乙批发店花费210元;一次购买150千克,超过50千克,∴在甲批发店花费900元,在乙批发店花费850元.例2[2019·天津]甲、乙两个批发店销售同一种苹果,在甲批发店,不论一次购买数量是多少,价格均为6元/千克,在乙批发店,一次购买数量不超过50千克时,价格为7元/千克;一次购买数量超过50千克时,其中有50千克的价格仍为7元/千克,超出50千克部分的价格为5元/千克.设小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为x千克(x0).(2)设在甲批发店花费y1元,在乙批发店花费y2元,分别求y1,y2关于x的函数解析式;(2)y1=6x(x0).当0x≤50时,y2=7x;当x50时,y2=5x+100.例2[2019·天津]甲、乙两个批发店销售同一种苹果,在甲批发店,不论一次购买数量是多少,价格均为6元/千克,在乙批发店,一次购买数量不超过50千克时,价格为7元/千克;一次购买数量超过50千克时,其中有50千克的价格仍为7元/千克,超出50千克部分的价格为5元/千克.设小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为x千克(x0).(3)根据题意填空:①若小王在甲批发店和在乙批发店一次购买苹果的数量相同,且花费相同,则他在同一个批发店一次购买苹果的数量为千克;②若小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为120千克,则他在甲、乙两个批发店中的批发店购买花费少;③若小王在同一个批发店一次购买苹果花费了360元,则他在甲、乙两个批发店中的批发店购买数量多.(3)①当y1=y2时,6x=5x+100,解得x=100.②当x=120时,y1=6x=720;y2=5x+100=700.∵720700,∴在乙批发店购买花费少.③当y1=360时,x=60;当y2=360时,x=52.∵6052,∴在甲批发店购买数量多.|考向精练|1.[2019·河北24题]长为300m的春游队伍,以v(m/s)的速度向东行进.如图11-5①和图②,当队伍排尾行进到位置O时,在排尾处的甲有一物品要送到排头,送到后立即返回排尾,甲的往返速度均为2v(m/s),当甲返回排尾后,他及队伍均停止行进,设排尾从位置O开始行进的时间为t(s),排头与O的距离为S头(m).①②图11-5(1)当v=2时,解答:①求S头与t的函数关系式(不写t的取值范围);②当甲赶到排头位置时,求S头的值;在甲从排头返回到排尾过程中,设甲与位置O的距离为S甲(m),求S甲与t的函数关系式(不写t的取值范围).(2)设甲这次往返队伍的总时间为T(s),求T与v的函数关系式(不写v的取值范围),并写出队伍在此过程中行进的路程.①②图11-5解:(1)①排头走的路程为2t,则S头=2t+300.②甲从排尾赶到排头时,有4t=2t+300.解得t=150.此时,S头=2×150+300=600(米).S甲=600-4(t-150)=-4t+1200.1.[2019·河北24题]长为300m的春游队伍,以v(m/s)的速度向东行进.如图11-5①和图②,当队伍排尾行进到位置O时,在排尾处的甲有一物品要送到排头,送到后立即返回排尾,甲的往返速度均为2v(m/s),当甲返回排尾后,他及队伍均停止行进,设排尾从位置O开始行进的时间为t(s),排头与O的距离为S头(m).(2)设甲这次往返队伍的总时间为T(s),求T与v的函数关系式(不写v的取值范围),并写出队伍在此过程中行进的路程.①②图11-5(2)设甲从排尾赶到排头用时为t1,则2vt1=vt1+300,∴t1=300𝑣.设甲从排头返回到排尾用时为t2,则t2=100𝑣,∴T=t1+t2=400𝑣.∴队伍行进的路程是Tv=400𝑣·v=400(m).2.[2016·河北24题]某商店通过调低价格的方式促销n个不同的玩具,调整后的价格y(元)与调整前的价格x(元)满足一次函数关系,如下表:已知这n个玩具调整后的价格都大于2元.(1)求y与x的函数表达式,并确定x的取值范围.(2)某个玩具调整前价格是108元,顾客购买这个玩具省了多少钱?(3)这n个玩具调整前、后的平均价格分别为猜想与的关系式,并写出推导过程.第1个第2个第3个第4个…第n个调整前价格x(元)x1x2=6x3=72x4…xn调整后价格y(元)y1y2=4y3=59y4…yn𝑥,𝑦,𝑥𝑦解:(1)设y与x的函数表达式为y=kx+b.将x=6,y=4;x=72,y=59分别代入函数表达式,得4=6𝑘+𝑏,59=72𝑘+𝑏,解得𝑘=56,𝑏=-1,∴y=56x-1.依题意,得56x-12,解得x185.故y=56x-1x185.2.[2016·河北24题]某商店通过调低价格的方式促销n个不同的玩具,调整后的价格y(元)与调整前的价格x(元)满足一次函数关系,如下表:已知这n个玩具调整后的价格都大于2元.(2)某个玩具调整前价格是108元,顾客购买这个玩具省了多少钱?第1个第2个第3个第4个…第n个调整前价格x(元)x1x2=6x3=72x4…xn调整后价格y(元)y1y2=4y3=59y4…yn(2)将x=108代入y=56x-1,得y=56×108-1=89.108-89=19.答:顾客购买这个玩具省了19元.2.[2016·河北24题]某商店通过调低价格的方式促销n个不同的玩具,调整后的价格y(元)与调整前的价格x(元)满足一次函数关系,如下表:已知这n个玩具调整后的价格都大于2元.(3)这n个玩具调整前、后的平均价格分别为猜想与的关系式,并写出推导过程.