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第10课时一次函数的图象与性质考点一一次函数的概念考点聚焦1.一般地,形如y=kx(k是常数,k≠0)的函数,叫做正比例函数,其中k叫做比例系数.2.一般地,形如y=kx+b(k,b是常数,k≠0)的函数,叫做一次函数.当b=0时,y=kx+b即y=kx,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.考点二一次函数的图象与性质k0k0图象经过的象限b0b=0b0b0b=0b0一、二、三一、三①②③二、三、四一、三、四一、二、四二、四k0k0增减性y随x的增大而④y随x的增大而⑤总结(1)直线y=kx+b(k≠0)均可由直线y=kx(k≠0)平移得到;(2)一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线,k决定函数的增减性,b决定了直线与y轴交点的纵坐标;(3)直线y=k1x+b1与直线y=k2x+b2平行⇔k1=k2且b1≠b2（续表）增大减小【温馨提示】一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过点(0,⑥)和(⑦,0)的一条直线,所以直线y=kx+b(k≠0,b≠0)与坐标轴围成的三角形的面积为S=12-𝑏𝑘·|b|.b-𝒃𝒌考点三一次函数的解析式的确定1.方法:待定系数法2.步骤:(1)设:设一般式y=kx+b(k≠0);(2)列:找出直线上两点的坐标,分别代入y=kx+b,得到关于k,b的方程组;(3)解:解方程组,求得k,b的值;(4)依据k,b的值,写出一次函数的解析式.考点四一次函数图象的平移简记为“左加右减”,“上加下减”(左右平移只给x加减,上下平移等号右边整体加减)考点五一次函数与一次方程(组)、一元一次不等式的关系1.一次函数与一次方程(组)的关系(1)一次函数的解析式本身就是一个二元一次方程.(2)方程kx+b=0的解⇔函数y=kx+b(k≠0)的图象与⑧轴交点的横坐标⇔函数y=kx+b(k≠0)中,y=⑨时x的值;(3)如图10-1,已知两个一次函数y=k1x+b1,y=k2x+b2,则二元一次方程组𝑦=𝑘1𝑥+𝑏1,𝑦=𝑘2𝑥+𝑏2的解𝑥=𝑚,𝑦=𝑛⇔两个一次函数图象的交点B的坐标,即B(m,n).图10-1x02.一次函数与不等式的关系(1)不等式kx+b0(kx+b0)的解集⇔函数y=kx+b(k≠0)的图象在x轴上方(下方)的部分对应的x的取值范围⇔函数y=kx+b(k≠0)中,y⑩0(y⑪0)时x的取值;(2)如图10-1,不等式k1x+b1k2x+b2的解集是xm;不等式k1x+b1≤k2x+b2的解集是⑫.x≤m图10-1题组一必会题对点演练B1.已知函数y=x+k+1是关于x的正比例函数,则k的值为()A.1B.-1C.0D.±12.下列描述一次函数y=-2x+5的图象与性质错误的是()A.y随x的增大而减小B.直线与x轴交点坐标是(0,5)C.点(1,3)在此图象上D.直线经过第一、二、四象限B3.下列一次函数的图象中,直线与两坐标轴所围成的三角形的面积等于3的是()B图10-2[答案]C4.已知一次函数y=kx+b的图象经过点(1,1),(2,-4),则k,b的值分别为()A.3,-2B.-3,4C.-5,6D.6,-5[解析]把(1,1),(2,-4)分别代入一次函数y=kx+b,得𝑘+𝑏=1,2𝑘+𝑏=-4,解得𝑘=-5,𝑏=6.故选C.[答案]D[解析]直线y=3x+1向下平移2个单位,所得直线的解析式是y=3x+1-2=3x-1.故选D.5.[2019·梧州]直线y=3x+1向下平移2个单位,所得直线的解析式是()A.y=3x+3B.y=3x-2C.y=3x+2D.y=3x-1[答案]C6.下面四条直线,其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程x-2y=2的解的是()图10-3[解析]∵x-2y=2,∴y=12x-1.当x=0时,y=-1;当y=0时,x=2,∴一次函数y=12x-1的图象与y轴交于点(0,-1),与x轴交于点(2,0),即可得出选项C符合要求.故选C.7.如图10-4,直线y=x+b与直线y=kx+6相交于点P(3,5),则(1)关于x的方程x+b=kx+6的解是;(2)方程组𝑦=𝑥+𝑏,𝑦=𝑘𝑥+6的解为;(3)关于x的不等式x+bkx+6的解集是;(4)关于x的不等式x+bkx+6的解集是.x=3x3图10-4𝒙=𝟑,𝒚=𝟓x3题组二易错题【失分点】忽视分类讨论或分类讨论不全而致错.8.已知一次函数y=kx+b,当0≤x≤2时,对应的函数值y的取值范围是-2≤y≤4,则kb的值为()A.12B.-6C.-6或-12D.6或12[解析]根据一次函数的性质,分k0和k0两种情况讨论求解.①当k0时,y随x的增大而增大,∴当x=0时,y=-2;当x=2时,y=4,代入一次函数表达式y=kx+b得𝑏=-2,2𝑘+𝑏=4,解得𝑘=3,𝑏=-2,∴kb=3×(-2)=-6.②当k0时,y随x的增大而减小,∴当x=0时,y=4;当x=2时,y=-2,代入一次函数表达式y=kx+b得𝑏=4,2𝑘+𝑏=-2,解得𝑘=-3,𝑏=4,∴kb=-3×4=-12.综上,kb的值为-6或-12.[答案]C[答案]B[解析]由题意得:①若k的值为1或-1,将(-1,-3)代入A选项得:y=-1-2=-3,符合题意;将(-1,-3)代入D选项得:y=-(-1)-4=-3,符合题意;②k≠±1,b=0.将(-1,-3)代入C选项得:y=(-1)×3=-3,符合题意.只有B选项k既不等于±1,b也不为0,不符合题意.9.若一次函数y=kx+b的图象经过点(-1,-3),且与x轴和y轴的交点到原点的距离相等,那么它的解析式不可能是()A.y=x-2B.y=-3x-6C.y=3xD.y=-x-4[答案]y=3x+12或y=3x-1210.若一次函数y=3x+b的图象与两坐标轴围成的三角形面积为24,则这个一次函数的解析式为.[解析]当x=0时,y=b;当y=0时,x=-𝑏3,∴一次函数图象与两坐标轴的交点为(0,b),-𝑏3,0,∴三角形面积为:12×|b|×-𝑏3=24,即b2=144,解得b=±12,∴这个一次函数的解析式为y=3x+12或y=3x-12.考向一一次函数的图象与性质(7年3考)[答案]A[解析]因为函数y=-2x+2,所以当x1时,y0,故①正确;它的图象经过第一、二、四象限,故②错误;当x=-2时,y=-2×(-2)+2=6≠2,③错误;y的值随x的增大而减小,故④错误.例1(1)对于函数y=-2x+2,下列结论:①当x1时,y0;②它的图象经过第一、二、三象限;③它的图象必经过点(-2,2);④y的值随x的增大而增大.其中正确结论的个数是()A.1B.2C.3D.4例1(2)[2019·邯郸永年区一模]若一次函数y=(2m-3)x-1+m的图象不经过第三象限,则m的取值范围是()A.1m32B.1≤m32C.1m≤32D.1≤m≤32[答案]B[解析]∵一次函数y=(2m-3)x-1+m的图象不经过第三象限,∴2𝑚-30,-1+𝑚≥0,解得1≤m32.故选B.|考向精练|1.[2016·河北5题]若k≠0,b0,则y=kx+b的图象可能是()图10-5B2.[2014·河北6题]如图10-6,直线l经过第二、三、四象限,直线l的函数表达式是y=(m-2)x+n,则m的取值范围在数轴上表示为()图10-6图10-7C[答案]D3.[2015·河北14题]如图10-8,直线l:y=-23x-3与直线y=a(a为常数)的交点在第四象限,则a的取值范围可能是()A.1a2B.-2a0C.-3≤a≤-2D.-10a-4图10-8[解析]直线y=-23x-3与直线y=a的交点坐标为-32a-92,a.∵交点在第四象限,∴-32a-920且a0,解得a-3,∴a的取值范围可能是-10a-4.故选D.例2(1)点(0,1)向下平移2个单位长度后,所得点的坐标是,直线y=2x+1向下平移2个单位长度后,所得直线的函数表达式是;(2)点-12,0向右平移2个单位长度后,所得点的坐标是,直线y=2x+1向右平移2个单位长度后,所得直线的函数表达式是;(3)如图10-9,已知C为直线y=x上在第一象限内的一点,直线y=2x+1交y轴于点A,交x轴于点B,将直线AB沿射线OC方向平移32个单位长度,求平移后的直线的函数表达式.考向二一次函数的图象的平移及旋转(0,-1)y=2x-1y=2x-3图10-9𝟑𝟐,𝟎例2(3)如图10-9,已知C为直线y=x上在第一象限内的一点,直线y=2x+1交y轴于点A,交x轴于点B,将直线AB沿射线OC方向平移32个单位长度,求平移后的直线的函数表达式.图10-9(3)设平移后的直线的函数表达式为y=2x+n.因为C为直线y=x上在第一象限内的一点,所以OC是第一、三象限的角平分线,所以点C到x轴和y轴的距离相等.设将直线AB沿射线OC方向平移32个单位长度后,沿水平方向和竖直方向移动的距离都是a,根据勾股定理,得a2+a2=(32)2,解得a=3.因为直线y=2x+1过点-12,0,所以点-12,0沿射线OC方向平移32个单位长度后所得点的横坐标是3-12=52,纵坐标是3.把x=52,y=3代入y=2x+n,得3=2×52+n,解得n=-2.所以平移后的直线的函数表达式是y=2x-2.|考向精练|1.[2018·石家庄长安区一模]将一次函数y=-2x-2的图象先向左平移3个单位,再向下平移2个单位,得到的函数图象的表达式为()A.y=-2x+7B.y=-2x-7C.y=-2x-10D.y=-2x+10C2.[2019·盐城]如图10-10,在平面直角坐标系中,一次函数y=2x-1的图象分别交x轴,y轴于点A,B,将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°,交x轴于点C,则直线BC的函数表达式是.图10-10[答案]y=13x-1[解析]∵一次函数y=2x-1的图象分别交x轴,y轴于点A,B,∴点A的坐标为12,0,点B的坐标为(0,-1).如图,过点A作AB的垂线AD,交BC于点D.∵∠ABC=45°,∠BAD=90°,∴△ABD为等腰直角三角形.过点D作x轴的垂线交x轴于点E,易证△AED≌△BOA.∴AE=OB=1,DE=OA=12,∴点D的坐标为32,-12.设直线BC的表达式为y=kx+b,∵直线BC过点B(0,-1),D32,-12,∴𝑏=-1,32𝑘+𝑏=-12,解得𝑘=13,𝑏=-1.∴直线BC的函数表达式为y=13x-1.考向三一次函数的综合题（7年3考）例3[2019·石家庄质检]如图10-11,在直角坐标系中,矩形OABC的顶点O与坐标原点重合,顶点A,C分别在坐标轴的正半轴上,OA=6,点B在直线y=34x上,直线l:y=kx+92与折线AB-BC有公共点.(1)点B的坐标是;(2)若直线l经过点B,求直线l的解析式:(3)对于一次函数y=kx+92(k≠0),当y随x的增大而减小时,直接写出k的取值范围.图10-11[解析]∵OA=6,在矩形OABC中,BC=OA,∴BC=6.∵点B在直线y=34x上,∴6=34x,解得x=8,故点B的坐标为(8,6).[答案](1)(8,6)例3[2019·石家庄质检]如图10-11,在直角坐标系中,矩形OABC的顶点O与坐标原点重合,顶点A,C分别在坐标轴的正半轴上,OA=6,点B在直线y=34x上,直线l:y=kx+92与折线AB-BC有公共点.(2)若直线l经过点B,求直线l的解析式:图10-11(2)将B(8,6)代入y=kx+92得,6=8k+92,解得k=316,∴直线l的解析式为y=316x+92.例3[2019·石家庄质检]如图10-11,在直角坐标系中,矩形OABC的顶点O与坐标原点重合,顶点A,C分别在坐标轴的正半轴上,OA=6,点B在直线y=34x上,直线l:y=kx+92与折线