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第9课时平面直角坐标系与函数考点一平面直角坐标系内点的坐标特征考点聚焦1.各象限内点的坐标的符号特征(如图9-1):图9-1(-,+)(-,-)(+,-)2.坐标轴上的点的特征:(1)点P(x,y)在x轴上⇔y=④;(2)点P(x,y)在y轴上⇔⑤=0;(3)点P(x,y)既在x轴上,又在y轴上⇔⑥.0xx=y=0【温馨提示】坐标轴上的点不属于任何象限.3.平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征(1)平行于x轴的直线上的点⇔⑦坐标相同,⑧坐标为不相等的实数.(2)平行于y轴的直线上的点⇔⑨坐标相同,⑩坐标为不相等的实数.4.象限角平分线上点的坐标特征(1)点P(x,y)在第一、三象限的角平分线上⇔x=y;(2)点P(x,y)在第二、四象限的角平分线上⇔⑪.纵横横纵y=-x5.对称点的坐标特征点P(x,y)关于x轴对称的点P1的坐标为⑫;点P(x,y)关于y轴对称的点P2的坐标为⑬;点P(x,y)关于原点对称的点P3的坐标为⑭.规律可简记为:关于谁对称,谁不变,另一个变号;关于原点对称都变号.图9-2(x,-y)(-x,y)(-x,-y)6.点平移的坐标特征P(x,y)P'(x-a,y)(或(x+a,y));P(x,y)P″⑮(x,y+b)(或(x,y-b))考点二点到坐标轴的距离1.点P(x,y)到x轴的距离为⑯;到y轴的距离为|x|;到原点的距离为⑰.2.若P(x1,y1),Q(x2,y2),则PQ=⑱.特别地,PQ∥x轴⇔PQ=⑲;PQ∥y轴⇔PQ=⑳.|y|𝒙𝟐+𝒚𝟐(𝒙𝟏-𝒙𝟐)𝟐+(𝒚𝟏-𝒚𝟐)𝟐|x1-x2||y1-y2|考点三位置的确定1.平面直角坐标系法.2.方向角+距离.考点四函数基础知识1.函数的概念:一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与之对应,那么我们就说x是自变量,y是x的函数.如果当x=a时y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的函数值.2.函数的三种表示方法:㉑法、㉒法和㉓法.3.描点法画函数图象的一般步骤:㉔→㉕→㉖.解析式列表图象列表描点连线函数表达式的形式自变量的取值范围举例分式型使分母㉗的实数若y=1x,则x≠0二次根式型使被开方数㉘的实数若y=x,则x≥0分式与二次根式结合型使分母不为0且使被开方数大于或等于0的实数若y=xx-1,则x≥0且x≠1不等于0大于或等于04.自变量的取值范围【温馨提示】实际问题中自变量的取值还要符合变量的实际意义.题组一必会题对点演练51.[2019·常州]平面直角坐标系中,点P(-3,4)到原点的距离是.2.[2019·株洲]在平面直角坐标系中,点A(2,-3)位于哪个象限()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.点P(2,-5)关于x轴对称的点的坐标为()A.(-2,5)B.(2,5)C.(-2,-5)D.(-5,2)DB4.[2019·滨州]在平面直角坐标系中,将点A(1,-2)向上平移3个单位长度,再向左平移2个单位长度,得到点B,则点B的坐标是()A.(-1,1)B.(3,1)C.(4,-4)D.(4,0)A5.函数y=1𝑥-1中,自变量x的取值范围是()A.x≠1B.x0C.x≥1D.x1D6.“龟兔赛跑”这则寓言故事讲述的是比赛中兔子开始领先,但它因为骄傲在途中睡觉,而乌龟一直坚持爬行最终赢得比赛,下列函数图象可以体现这一故事过程的是()图9-3B题组二易错题【失分点】忽略横、纵坐标特征导致出错;在根据对称写点的坐标时,将x轴、y轴混淆;求函数自变量的取值范围时考虑不全.7.直角坐标系中有一点M(a,b),其中ab=0,则点M的位置在()A.原点B.y轴上C.x轴上D.坐标轴上[答案]D[解析]由ab=0,得a=0或b=0或a,b均为0.故选D.[答案]D[解析]由点A(a-2,3)和点B(-1,b+5)关于y轴对称,得a-2=1,b+5=3.解得a=3,b=-2,则点C(a,b)在第四象限.8.若点A(a-2,3)和点B(-1,b+5)关于y轴对称,则点C(a,b)在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限9.在函数y=𝑥-11-𝑥中,自变量x的取值范围是()A.x≥1B.x1C.x1D.x≤1[答案]B[解析]根据题意得x-1≥0,1-x≠0,解得x1.[答案](2,1)或(2,-1)或(-2,1)或(-2,-1)[解析]∵点P到x轴的距离为1,到y轴的距离为2,∴点P的纵坐标绝对值为1,横坐标绝对值为2,则点P的坐标为(2,1)或(2,-1)或(-2,1)或(-2,-1),故答案为:(2,1)或(2,-1)或(-2,1)或(-2,-1).10.在平面直角坐标系xOy中,点P到x轴的距离为1,到y轴的距离为2.写出符合条件的点P的坐标.考向一坐标平面内点的坐标特征[答案]A[解析]①当m-30,即m3时,-2m-6,4-2m-2,所以点P(m-3,4-2m)在第四象限,不可能在第一象限;②当m-30,即m3时,-2m-6,4-2m-2,点P(m-3,4-2m)可以在第二或第三象限.综上所述,点P不可能在第一象限.例1(1)在平面直角坐标系中,点P(m-3,4-2m)不可能在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限例1(2)下列说法正确的有.①(3,2)和(2,3)表示同一个点;②点(,0)在x轴的正半轴上;③点(-2,4)在第四象限;④点(-3,1)到x轴的距离为3;⑤点(1,-a)一定在第四象限;⑥坐标轴上的点不属于任一象限;⑦若点(a,b)在坐标轴的角平分线上,则a=b;⑧直角坐标系中,在y轴上且到原点的距离为5的点的坐标是(0,5).3[答案]②⑥[解析]①(3,2)和(2,3)表示两个点,所以错误;②点(,0)在x轴的正半轴上,所以正确;③点(-2,4)在第二象限,所以错误;④点(-3,1)到x轴的距离为1,所以错误;⑤点(1,-a)一定在第四象限,错误,因为-a不一定是负数;⑥坐标轴上的点不属于任一象限,正确;⑦若点(a,b)在坐标轴的角平分线上,则a=b,错误,应该是a=b或a=-b;⑧在平面直角坐标系中,在y轴上且到原点的距离为5的点的坐标是(0,5),错误,点的坐标为(0,5)或(0,-5).3|考向精练|1.已知点P位于y轴右侧,距y轴3个单位长度,位于x轴上方,距离x轴4个单位长度,则点P的坐标是()A.(-3,4)B.(3,4)C.(-4,3)D.(4,3)[答案]B[解析]∵点P位于y轴右侧,x轴上方,∴点P在第一象限.又∵点P距y轴3个单位长度,距x轴4个单位长度,∴点P的横坐标为3,纵坐标为4,即点P的坐标为(3,4).2.在平面直角坐标系中,已知线段AB∥x轴,端点A的坐标是(-1,4)且AB=4,则端点B的坐标是()A.(-5,4)B.(3,4)C.(-1,0)D.(-5,4)或(3,4)[答案]D[解析]由线段AB∥x轴,端点A的坐标是(-1,4),得点B的纵坐标是4.由AB=4,得点B的坐标是(-5,4)或(3,4).3.已知点A(2a+1,5a-2)在第一、三象限的角平分线上,点B(2m+7,m-1)在第二、四象限的角平分线上,则()A.a=1,m=-2B.a=1,m=2C.a=-1,m=-2D.a=-1,m=2[答案]A[解析]由已知条件知,点A位于第一、三象限的角平分线上,∴有2a+1=5a-2,解得a=1.∵点B(2m+7,m-1)在第二、四象限的角平分线上,∴(2m+7)+(m-1)=0,解得m=-2.考向二平面直角坐标系中的平移、旋转与对称例2点A(3,-2)关于x轴对称的点的坐标是;关于y轴对称的点的坐标是;关于原点对称的点的坐标是;把点A向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度得到的点的坐标是;把点A绕着原点顺时针旋转90°得到的点的坐标是.(3,2)(-3,-2)(-3,2)(1,-5)(-2,-3)|考向精练|1.[2019·荆州]在平面直角坐标系中,点A的坐标为(1,3),以原点为中心,将点A顺时针旋转30°得到点A',则点A'的坐标为()A.(3,1)B.(3,-1)C.(2,1)D.(0,2)[答案]A[解析]如图,过点A作AE⊥y轴于E,过点A'作A'F⊥x轴于F.∵∠AEO=∠OFA'=90°,∠AOE=∠AOA'=∠A'OF=30°,∴∠AOE=∠A'OF.∵OA=OA',∴△AOE≌△A'OF(AAS),∴OF=OE=3,A'F=AE=1,∴A'(3,1).故选A.2.已知直角坐标系中的点A,点B的坐标分别为A(-2,6),B(0,-4),且P为AB的中点,若将线段AB向右平移3个单位长度后,与点P对应的点为Q,则点Q的坐标为.[答案](2,1)[解析]根据中点坐标的求法可知点P的坐标为(-1,1).因为左右平移点的纵坐标不变,由题意可知向右平移3个单位,则各点的横坐标加3,所以点Q的坐标是(2,1).3.[2019·临沂]在平面直角坐标系中,点P(4,2)关于直线x=1的对称点的坐标是.[答案](-2,2)[解析]∵点P(4,2),∴点P到直线x=1的距离为4-1=3,∴点P关于直线x=1的对称点P'到直线x=1的距离为3,∴点P'的横坐标为1-3=-2,∴对称点P'的坐标为(-2,2).故答案为(-2,2).考向三平面直角坐标系中点的规律探究例3[2019·娄底]如图9-4,在单位长度为1米的平面直角坐标系中,曲线是由半径为2米,圆心角为120°的𝐴𝐵多次复制并首尾连接而成.现有一点P从A(A为坐标原点)出发,以每秒23π米的速度沿曲线向右运动,则在第2019秒时点P的纵坐标为()A.-2B.-1C.0D.1图9-4[解析]半径为2米,圆心角为120°的弧长为:120×π×2180=4π3.∵点P从原点A出发,沿这条曲线向右运动,速度为每秒23π个单位长度,∴当点P从原点O出发,沿这条曲线向右运动,运动时间为1秒时,点P的坐标为(3,1),当点P从原点O出发,沿这条曲线向右运动,运动时间为2秒时,点P的坐标为(23,0),当点P从原点O出发,沿这条曲线向右运动,运动时间为3秒时,点P的坐标为(33,-1),[答案]B当点P从原点O出发,沿这条曲线向右运动,运动时间为4秒时,点P的坐标为(43,0),当点P从原点O出发,沿这条曲线向右运动,运动时间为5秒时,点P的坐标为(53,1),当点P从原点O出发,沿这条曲线向右运动,运动时间为6秒时,点P的坐标为(63,0),……,根据图象可得每移动4秒完成一个循环,从而可得出点P2019的坐标.∵2019÷4=504……3,∴P2019的坐标是(20193,-1),∴在第2019秒时,点P的纵坐标为-1.故选B.|考向精练|[2019·菏泽]在平面直角坐标系中,一个智能机器人接到的指令是:从原点O出发,按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动,每次移动1个单位长度,其移动路线如图9-5所示,第一次移动到点A1,第二次移动到点A2……,第n次移动到点An,则点A2019的坐标是()A.(1010,0)B.(1010,1)C.(1009,0)D.(1009,1)图9-5[答案]C[解析]根据图象可得每移动4次完成一个循环,从而可得出点A2019的坐标.A1(0,1),A2(1,1),A3(1,0),A4(2,0),A5(2,1),A6(3,1),…,2019÷4=504……3,所以点A2019的坐标为(504×2+1,0),则点A2019的坐标是(1009,0).故选C.例4x≥-4且x≠0,x≠2考向四函数自变量的取值范围例4在函数y=𝑥+4𝑥-2+x-2中,自变量x的取值范围是.x≥-4且x≠0,x≠2|考向精练|[2019·包头]在函数y=3𝑥-2-𝑥+1中,自变量x的取值范围是.[答案]x≥-1且x≠2[解析]根据题意,x必须满足𝑥-2≠0,𝑥+1≥0,解得x≥-1且x≠2.考向五函数图象的判断与分析（7年5考）例5数学文化[2019