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第8课时一元一次不等式(组)及其应用考点一不等式的有关概念考点聚焦1.不等式:用符号“”“”表示大小关系的式子,以及用“≠”表示不等关系的式子,叫做不等式.2.不等式的解:使不等式成立的未知数的值.3.不等式的解集:一个含有未知数的不等式的所有的解,组成这个不等式的解集.4.不等式组的解集:不等式组中所有不等式的解集的公共部分.5.一元一次不等式:含有一个未知数,未知数的次数是①的不等式,叫做一元一次不等式.1性质1:如果ab,那么a±c②b±c;性质2:如果ab,c0,那么ac③bc,𝑎𝑐④𝑏𝑐;性质3:如果ab,c0,那么ac⑤bc,𝑎𝑐⑥𝑏𝑐.考点二不等式的性质考点三一元一次不等式(组)的解法1.解一元一次不等式的一般步骤:(1)去分母;(2)去括号;(3)移项;(4)合并同类项;(5)系数化为1.2.一元一次不等式组的解法先分别求出不等式组中各个不等式的解集,并表示在同一个数轴上,再找出它们的公共部分,即得不等式组的解集.不等式组的解集情况类型(ab)在数轴上的表示解集口诀x≥a,x𝑏⑦同大取大x≤a,x𝑏⑧同小取小x≥a,x𝑏⑨大小小大中间找x≤a,x𝑏⑩大大小小没有解xbx≤aa≤xb无解考点四不等式的实际问题求解步骤:认真审题,找出题目中的不等关系,根据题目中的不等关系列出不等式,解不等式,检验作答.【温馨提示】列不等式解应用题时,应紧紧抓住“至多”“至少”“不大于”“不小于”“不超过”“大于”“小于”等关键词.题组一必会题对点演练D1.若xy,则下列不等式中不一定成立的是()A.x+1y+1B.2x2yC.𝑥2𝑦2D.x2y22.[2019·大连]不等式5x+1≥3x-1的解集在数轴上表示正确的是()B图8-13.不等式组2𝑥0,2+𝑥≥1的解集在数轴上表示为()图8-2A4.[2019·南充]关于x的不等式2x+a≤1只有2个正整数解,则a的取值范围为()A.-5a-3B.-5≤a-3C.-5a≤-3D.-5≤a≤-3C5.已知关于x的分式方程3𝑥-𝑎𝑥-3=13的解是非负数,那么a的取值范围是()A.a1B.a≥1C.a≥1且a≠9D.a≤1C6.一次智力测验,有20道选择题,评分标准是:对1题给5分,错1题扣2分,不答题不给分也不扣分.小明有2道题未答,则至少答对几道题,总分才不会低于60分()A.11道B.12道C.13道D.14道D题组二易错题【失分点】注意不等式两边同时乘或除以一个负数,不等号的方向要改变;在数轴上表示不等式的解集时,注意实心点与空心圈的区别;注意所求结果应符合生活实际.7.[2019·上海]如果mn,那么下列结论错误的是()A.m+2n+2B.m-2n-2C.2m2nD.-2m-2nDC8.[2019·赤峰]不等式组𝑥+1≥2,9-𝑥2𝑥的解集在数轴上表示正确的是()图8-3[答案]A9.为有效开展“阳光体育”活动,某校计划购买篮球和足球共50个,购买资金不超过3000元.若每个篮球80元,每个足球50元,则篮球最多可购买()A.16个B.17个C.33个D.34个[解析]设买篮球m个,则买足球(50-m)个.根据题意得,80m+50(50-m)≤3000,解得m≤1623.∵m为整数,∴m最大可取16,∴最多可以买16个篮球.考向一一元一次不等式的解法及解集表示(7年2考)解:去分母,得3(1+x)-2(2x+1)≤1,…①去括号,得3+3x-4x+1≤1,……………②移项,得3x-4x≤1-3-1,………………③合并同类项,得-x≤-3,…………………④两边都除以-1,得x≤3.…………………⑤例1[2017·舟山]小明解不等式1+𝑥2-2𝑥+13≤1的过程如图8-4,请指出他的解答过程中错误步骤的序号,并写出正确的解答过程.图8-4解:错误的步骤是①②⑤.正确的解答过程如下:去分母,得3(1+x)-2(2x+1)≤6,去括号,得3+3x-4x-2≤6,移项,得3x-4x≤6-3+2,合并同类项,得-x≤5,两边都除以-1,得x≥-5.【方法点析】(1)在去分母,方程两边同乘各分母的最小公倍数时,注意不要漏乘不含分母的项;(2)当含未知数的项的系数为负数,化系数为1时,要改变不等号的方向.|考向精练|1.[2019·白银]不等式2x+9≥3(x+2)的解集是()A.x≤3B.x≤-3C.x≥3D.x≥-3A解:去分母得2(x-2)-5(x+4)-30,去括号得2x-4-5x-20-30,整理得-3x-6,解得x2.不等式的解集在数轴上表示为:2.[2019·攀枝花]解不等式𝑥-25-𝑥+42-3,并把它的解集在如图8-5所示的数轴上表示出来.图8-53.[2013·河北21题]定义新运算:对于任意实数a,b,都有a⊕b=a(a-b)+1,等式右边是通常的加法、减法及乘法运算,比如:2⊕5=2×(2-5)+1=2×(-3)+1=-6+1=-5.(1)求(-2)⊕3的值;(2)若3⊕x的值小于13,求x的取值范围,并在图8-6所示的数轴上表示出来.图8-6解:(1)∵a⊕b=a(a-b)+1,∴(-2)⊕3=-2×(-2-3)+1=10+1=11.3.[2013·河北21题]定义新运算:对于任意实数a,b,都有a⊕b=a(a-b)+1,等式右边是通常的加法、减法及乘法运算,比如:2⊕5=2×(2-5)+1=2×(-3)+1=-6+1=-5.(2)若3⊕x的值小于13,求x的取值范围,并在图8-6所示的数轴上表示出来.图8-6(2)∵3⊕x13,∴3(3-x)+113,9-3x+113,-3x3,x-1.在数轴上表示x的取值范围如下图:考向二一元一次不等式组的解法及解集表示解:2𝑥≤6①,3𝑥+12𝑥②,解不等式①得x≤3;解不等式②得x-1.所以原不等式组的解集为-1x≤3.在数轴上表示如下:例2[2019·湘潭]解不等式组2𝑥≤6,3𝑥+12𝑥,并把它的解集在如图8-7所示的数轴上表示出来.图8-7|考向精练|[2019·扬州]解不等式组4(𝑥+1)≤7𝑥+13,𝑥-4𝑥-83,并写出它的所有负整数解.解:解不等式4(x+1)≤7x+13,得x≥-3;解不等式x-4𝑥-83,得x2.则不等式组的解集为-3≤x2,所以不等式组的所有负整数解为-3,-2,-1.考向三一元一次不等式的实际应用（7年4次涉及）例3[2019·桂林]为响应国家“足球进校园”的号召,某校购买了50个A类足球和25个B类足球共花费7500元,已知购买一个B类足球比购买一个A类足球多花30元.(1)求购买一个A类足球和一个B类足球各需多少元?(2)通过全校师生的共同努力,今年该校被评为“足球特色学校”,学校计划用不超过4800元的经费再次购买A类足球和B类足球共50个,若单价不变,则本次至少可以购买多少个A类足球?解:(1)设购买一个A类足球需要x元,购买一个B类足球需要y元.根据题意得:50𝑥+25𝑦=7500,𝑦-𝑥=30,解得𝑥=90,𝑦=120.答:购买一个A类足球需要90元,购买一个B类足球需要120元.例3[2019·桂林]为响应国家“足球进校园”的号召,某校购买了50个A类足球和25个B类足球共花费7500元,已知购买一个B类足球比购买一个A类足球多花30元.(2)通过全校师生的共同努力,今年该校被评为“足球特色学校”,学校计划用不超过4800元的经费再次购买A类足球和B类足球共50个,若单价不变,则本次至少可以购买多少个A类足球?(2)设购买m个A类足球,则购买(50-m)个B类足球.依题意,得90m+120(50-m)≤4800,解得m≥40.答:本次至少可以购买40个A类足球.|考向精练|1.[2019·河北4题]语句“x的18与x的和不超过5”可以表示为()A.𝑥8+x≤5B.𝑥8+x≥5C.8𝑥+5≤5D.8𝑥+x=5A2.[2019·泰安]端午节是我国的传统节日,人们素有吃粽子的习俗.某商场在端午节来临之际用3000元购进A,B两种粽子1100个,购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同.已知A种粽子的单价是B种粽子单价的1.2倍.(1)求A,B两种粽子的单价各是多少?(2)若计划用不超过7000元的资金再次购进A,B两种粽子共2600个,已知A,B两种粽子的进价不变.求A种粽子最多能购进多少个?解:(1)设B种粽子单价为x元,则A种粽子单价为1.2x元.因为购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同,共花费3000元,所以两种粽子都花费1500元,根据题意得:1500𝑥+15001.2𝑥=1100,解得x=2.5.经检验,x=2.5是原分式方程的解.1.2x=3.答:A种粽子单价为3元,B种粽子单价为2.5元.2.[2019·泰安]端午节是我国的传统节日,人们素有吃粽子的习俗.某商场在端午节来临之际用3000元购进A,B两种粽子1100个,购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同.已知A种粽子的单价是B种粽子单价的1.2倍.(2)若计划用不超过7000元的资金再次购进A,B两种粽子共2600个,已知A,B两种粽子的进价不变.求A种粽子最多能购进多少个?(2)设购进A种粽子y个,则购进B种粽子(2600-y)个.根据题意得3y+2.5(2600-y)≤7000,解得y≤1000.∴y的最大值为1000,故A种粽子最多能购进1000个.