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第6课时分式方程及其应用考点一分式方程的概念及解法考点聚焦1.分式方程:分母中含有①的方程.2.分式方程的解法(1)基本思想:把分式方程转化为整式方程.(2)一般步骤:3.增根:使分式方程的最简公分母为③的根.未知数图6-1最简公分母0【温馨提示】(1)产生增根的原因:分式方程本身隐含着分母不为0的条件,将其转化为整式方程后没有此条件限制了.(2)分式方程的增根与无解的区别:分式方程无解,可能是解为增根,也可能是去分母后的整式方程无解.分式方程的增根是去分母后的整式方程的根,也是使分式方程的分母为0的根.考点二分式方程的实际应用列分式方程解应用题的步骤与列整式方程解应用题的步骤基本相同,不同的是要检验两次:(1)检验求出的解是否为原分式方程的解;(2)检验求出的解是否符合变量的实际意义.1.方程2𝑥+1𝑥-1=3的解是()A.x=-45B.x=45C.x=-4D.x=4题组一必会题对点演练D2.解分式方程2𝑥-1+𝑥+21-𝑥=3时,去分母后变形正确的为()A.2+(x+2)=3(x-1)B.2-x+2=3(x-1)C.2-(x+2)=3D.2-(x+2)=3(x-1)D3.若分式方程𝑥2𝑥-1=1𝑥-1有增根,则增根为()A.x=-1B.x=1C.x=±1D.x=0B4.[2019·辽阳]某施工队承接了60千米的修路任务,为了提前完成任务,实际每天的工作效率比原计划提高了25%,结果提前60天完成了这项任务.设原计划每天修路x千米,根据题意列出的方程正确的是()A.60×(1+25%)𝑥-60𝑥=60B.60𝑥-60×(1+25%)𝑥=60C.60(1+25%)𝑥-60𝑥=60D.60𝑥-60(1+25%)𝑥=60D题组二易错题【失分点】解分式方程,去分母时漏乘常数项,忽略符号变化;混淆增根和无解.5.解分式方程1𝑥-2-3=42-𝑥时,去分母可得()A.1-3(x-2)=4B.1-3(x-2)=-4C.-1-3(2-x)=-4D.1-3(2-x)=4B6.若关于x的分式方程𝑥+𝑚4-𝑥2+𝑥𝑥-2=1有增根,则m的值是()A.m=2或m=6B.m=2C.m=6D.m=2或m=-6[答案]A[解析]去分母得:-x-m+x(x+2)=(x+2)(x-2),由分式方程有增根,得到x=2或x=-2,把x=2代入整式方程得:m=6;把x=-2代入整式方程得:m=2.故选A.7.若关于y的方程𝑚𝑦-1+3𝑦-2=1(𝑦-1)(𝑦-2)无解,则m的取值可以为.[答案]-1或-3[解析]去分母,可得m(y-2)+3(y-1)=1,(1)当分式方程有增根时,增根为y=1,把y=1代入,可得m(1-2)+3(1-1)=1,解得m=-1;(2)原方程去分母后整理得,(m+3)y-2m-4=0,此时若m+3=0,这个整式方程无解,即m=-3时,原分式方程也无解.考向一解分式方程例1以下是小明同学解方程1-𝑥𝑥-3=13-𝑥-2的过程.(1)小明同学的解法从第步开始出现错误;(2)写出解方程1-𝑥𝑥-3=13-𝑥-2的正确过程.解:(1)一(2)去分母,得1-x=-1-2x+6,解得x=4.经检验,x=4是分式方程的解.图6-2|考向精练|1.[2019·石家庄一模]解分式方程2𝑥𝑥-2=1-12-𝑥,去分母后得到的方程正确的是()A.-2x=1-(2-x)B.-2x=(2-x)+1C.2x=(x-2)-1D.2x=(x-2)+1D2.[2019·烟台]若关于x的分式方程3𝑥𝑥-2-1=𝑚+3𝑥-2有增根,则m的值为.[答案]3[解析]方程两边都乘(x-2),得3x-x+2=m+3.∵原方程有增根,∴最简公分母x-2=0,解得x=2,当x=2时,m=3.3.[2019·徐州]解方程:𝑥-2𝑥-3+1=23-𝑥.解:去分母,得:x-2+x-3=-2,解得x=32,检验:当x=32时,x-3≠0,所以原方程的解为x=32.考向二分式方程的应用（7年2考）例2[2019·唐山滦南二模]如图6-3是学习分式方程时,老师板书的问题和两名同学所列的方程.根据以上信息,解答下列问题:(1)冰冰同学所列方程中的x表示,庆庆同学所列方程中的y表示;(2)两个方程中任选一个,并写出它的等量关系;(3)解(2)中你所选择的方程,并回答老师提出的问题.小红家到学校的路程是38km,小红从家去学校总是先乘公共汽车,下车后步行2km,才能到校,路上所用的时间是1h,已知公共汽车的速度是小红步行速度的9倍.求小红步行的速度.冰冰:38-29𝑥+2𝑥=1庆庆:38-21-𝑦=9×2𝑦图6-3解:(1)小红步行的速度小红步行的时间例2[2019·唐山滦南二模]如图6-3是学习分式方程时,老师板书的问题和两名同学所列的方程.根据以上信息,解答下列问题:(2)两个方程中任选一个,并写出它的等量关系;小红家到学校的路程是38km,小红从家去学校总是先乘公共汽车,下车后步行2km,才能到校,路上所用的时间是1h,已知公共汽车的速度是小红步行速度的9倍.求小红步行的速度.冰冰:38-29𝑥+2𝑥=1庆庆:38-21-𝑦=9×2𝑦图6-3(2)冰冰用的等量关系是:小红乘公共汽车的时间+小红步行的时间=小红上学路上所用的时间.庆庆用的等量关系是:公共汽车的速度=9×小红步行的速度.(上述等量关系式,任选一个就可以);例2[2019·唐山滦南二模]如图6-3是学习分式方程时,老师板书的问题和两名同学所列的方程.根据以上信息,解答下列问题:(3)解(2)中你所选择的方程,并回答老师提出的问题.小红家到学校的路程是38km,小红从家去学校总是先乘公共汽车,下车后步行2km,才能到校,路上所用的时间是1h,已知公共汽车的速度是小红步行速度的9倍.求小红步行的速度.冰冰:38-29𝑥+2𝑥=1庆庆:38-21-𝑦=9×2𝑦图6-3(3)选冰冰的方程:38-29𝑥+2𝑥=1,去分母,得:36+18=9x,系数化为1,得x=6,经检验:x=6是原分式方程的解,答:小红步行的速度是6km/h;选庆庆的方程:38-21-𝑦=9×2𝑦,去分母,得:36y=18(1-y),解这个整式方程,得:y=13,经检验:y=13是原分式方程的解,∴小红步行的速度是:2÷13=6(km/h),答:小红步行的速度是6km/h.|考向精练|1.[2016·河北12题]在求3x的倒数的值时,嘉淇同学将3x看成了8x,她求得的值比正确答案小5.依上述情形,所列关系式成立的是()A.13𝑥=18𝑥-5B.13𝑥=18𝑥+5C.13𝑥=8x-5D.13𝑥=8x+5B2.[2013·河北7题]甲队修路120m与乙队修路100m所用天数相同,已知甲队比乙队每天多修10m,设甲队每天修路xm.依题意,下面所列方程正确的是()A.120𝑥=100𝑥-10B.120𝑥=100𝑥+10C.120𝑥-10=100𝑥D.120𝑥+10=100𝑥A