3-3-二维连续型随机变量

一、二维连续型随机变量的分布二、常见二维连续型随机变量的分布三、小结§3.3二维连续型随机变量.,),(),(,),(,dd),(),(,),(),,(),(的联合概率密度和机变量或称为随的概率密度称为二维随机变量函数量是连续型的二维随机变则称有使对于任意如果存在非负的函数的分布函数对于二维随机变量YXYXyxfYXvuvufyxFyxyxfyxFYXyx1.联合概率密度(P63-定义1)一、二维连续型随机变量的分布.1),(dd),()2(Fyxyxf.dd),(}),{(GyxyxfGYXP.0),()1(yxf2.性质(P64-性质(1)-(4))内的概率为落在点平面上的一个区域是设GYXxoyG),(,)3(.),(),(,),(),()4(2yxfyxyxFyxyxf则有连续在若非负性规范性表示介于f(x,y)和xoy平面之间的空间区域的全部体积等于1.,dd),(}),{(GyxyxfGYXP,1dd),(yxyxf3.说明.),(,}),({为顶面的柱体体积以曲面为底的值等于以yxfzGGYXP.),(,表示空间的一个曲面几何上yxfz(,)()XYfxy设二维连续型随机变量的联合概率度,密为，()()(,)xXFxFxfuvdvdu，X分量是一个连续型随机变量，且其概率密度为()(,)XfxfxydyY同理，分量亦是一个连续型随机变量，其概率密度为()(,)Yfyfxydx2.边缘概率密度(P64-定义2)(,)()XYfxy设二维连续型随机变量的联合概率密度为,，分别称()(,)Xfxfxydy()(,)Yfyfxydx(,)XYXY为二维连续型随机变量关于和边缘概率密度关于的，简称边缘密度．例1设二维随机变量(X,Y)的密度函数为,0,,,0,.yCexyxfxy其他求(1)常数C;(2)P{X2};(3)(X,Y)关于X,Y的边缘概率密度.P65-例11()00fxy（）利用二维随机变量联合概率密度的规范性，在阴影部分不为，其余均为,解，从而01(,)yxfxydxdydxCedyC1C,0,,,0,.yexyxfxy其他22222(2,)xyxxPXfxydxdydxedyedxe（）．()(,),0,00,00,03Xyxxfxfxydyedyxexxx（）0,0,0()(,)0,00,0yyyYedxyyeyfyfxydxyy例2设二维随机变量(X,Y)的密度函数为,01,01,,0,.Cxyxyfxy其他P65-例2解（1）()fxy,在阴影部分不为0，其余均为0，从而11001(,)4CfxydxdydxCxydy故4C1求（）常数；C例2设二维随机变量(X,Y)的密度函数为,01,01,,0,.xyxyfxy其他{1}{}22}{PXYPYXPYX（），，；11001{1}46xPXYdxxydy11027{2}48yPYXdyxydx1002{}43xPYXdxxydy例2设二维随机变量(X,Y)的密度函数为,01,01,,0,.xyxyfxy其他104,010,xydyx其它3（）边缘概率密度；()(,)Xfxfxydy2,010,xx其它例2设二维随机变量(X,Y)的密度函数为,01,01,,0,.xyxyfxy其他4（）联合分布函数．00(,)0xyFxy当时，有或01,01xy当时，有2200(,)4xyFxydtstdsxy例2设二维随机变量(X,Y)的密度函数为,01,01,,0,.xyxyfxy其他4（）联合分布函数．01,1xy当时，有1200(,)4xFxydtstdsx1,01xy当时，有21004),(ystdsdtyxFy11(,)1xyFxy当时，有,22220,00,01,01,01,1(,)=,1,011,1,1或　　　　　xyxyxyxxyFxyyxyxy1.均匀分布定义设G是平面上的有界区域,其面积为SG,若二维随机变量(X,Y)具有概率密度则称(X,Y)在G上服从均匀分布.1,(,),(,)0,.GxyGSfxy其他二、常见的二维连续型随机变量若(X,Y)服从区域G上的二维均匀分布,则(X,Y)落入G内任意平面区域D中的概率为1,,DGGDDSPXYDfxydxdydxdySS可见,(X,Y)落入G内任意平面区域D内的概率只与子区域的面积有关,而与子区域的形状及位置无关.P682(,)(,)3} 12{GyxyxXYGXYPYX设为曲线与围成的平面区域，在区域上服从均匀分布．求（）的两个边缘概率例密度；（）．解1201()3GSxxdx3,(,)(,)0,(,)xyGfxyxyG23,01()(,)0,其它xxXdyxfxfxydy23(),010,其它xxx23,01()(,)0,其它yyYdxyfyfxydx23(),010,其它yyyP682(,)(,)3} 12{GyxyxXYGXYPYX设为曲线与围成的平面区域，在区域上服从均匀分布．求（）的两个边缘概率例密度；（）．解(,)1{}22DGXYGSPYXS（）因为服从区域上的均匀分布，2.二维正态分布(了解)若二维随机变量(X,Y)具有概率密度2222212121212)())((2)()1(21221e1π21),(σμyσσμyμxρσμxρρσσyxf.11,0,0,,,,,212121ρσσρσσμμ且均为常数其中),,(yx记为正态分布的二维服从参数为则称.,,,,),(2121ρσσμμYX),,,,(~),(222121ρσσμμNYX三、小结连续型随机变量()Fx(,)Fxy()fx(,)fxy定义x为任意实数(){}FxPXx任意实数yx、(){}FxyPXxYy,,()fx非负可积，任意实数x()()xFxftdt.(,)fxy非负可积，任意实数yx、()(,)xyFxyfuvdudv,性质1）)(xF是单调不减函数2）0()1Fx，()lim()0,xFFx()lim()1xFFx.3）)()0(xFxF，右连续的.4）{}()()PaXbFbFa{}()(){}PaXbFbFaPXa1）有界性0()1Fxy,，且有()0Fy,()0Fx,()0F，()1F，2）单调性()Fxy,是单调不减函数3）右连续性(0)()FxyFxy,,，(0)()FxyFxy,,．4）对任意的2121,yyxx22211211()()()()0FxyFxyFxyFxy，，，，边缘分布函数()()()XxFxFxfuvdvdu，，()(,)()YyFyFyfuvdudv，1）定义域(,)2）非负性：()0fx．3）规范性：()1fxdx．4）任意实数ba,，且ba，有{}()baPaXbfxdx；5）)(xf在点x处连续，()()Fxfx；6）对任意实数a有{}0PXa．{}{}PaXbPaXb{}{}PaXbPaXb()bafxdx1）非负性：(,)0fxy；2）规范性：(,)1fxydxdy；3）(,)fxy在点(,)xy处连续，则2()(,)Fxyfxyxy，；4）D是xoy平面上区域，则点),(yx落在D内的概率为()()DPXYDfxydxdy,,边缘概率密度()(,)Xfxfxydy()(,)Yfyfxydx作业习题3.3-P71—1，2，3课后练习设随机变量(X,Y)的概率密度是6,02,24,,0,.kxyxyfxy其它(1)确定常数;k1,3PXY(2)求概率.解(1)xyo2421,Rfxydxdy24026kdxxydy24026kdxxydy2023kxdx8k故18.k2xyo132421,3PXY(2).13,dxfxydy1302168dxxydy101782xdx38