二阶加滞后系统的PID稳定性参数

摘要——这篇文章着眼于使用PID控制器来控制有一对复杂极点的加滞后的二阶系统的稳定性，参数约束控制系统存在的PID控制首先提供了稳定。然后按适用于准多项式的Hermite-Biehler定理推导出比例增益的稳定性范围。然后，基于滞后系统的图像稳定性判据，然后确定并画出积分环节区域的稳定区间,然后一个用来寻找PID稳定参数集的算法也被开发出来。最后举例说明设计的步骤和稳定区域的图形。1.介绍PID控制器由于其简单的结构和许多实际过程中的稳定而广泛的应用于工业过程控制。对于PID控制器传统的研究注重于参数的协调，例如，著名的Ziegler-Nichols定则适用于S型反应曲线的过程。最近对于PID控制器研究的趋势转变成确定所有的稳定性参数，自从作者使用Pontrayagin适用于准多项式Hermite-Biehler定理的推论研究一阶加滞后装置。运用传统的奈奎斯特稳定性判据，作者获得了相似的结果。使用的方法是普通的二阶滞后积分过程。对于一阶加上空白时间的不稳定过程，微分分离技术适用于分别描绘稳定域的过程参数和控制器参数。笔者在研究二阶时滞装置有两个真正的时间常数，用图解法绘制了PID控制器的稳定区域。在文献[11]中，只有一个零点的二阶延时装置的传递函数详细的描述了过程参数平面的稳定区域。在最近的研究中，许多作者用不同的分析方法研究用pid控制的任意时序延时设备控制，包括Hermite-Biehler理论，线性规划，和微分方法。在本文，我们着重于有一对复杂极点的二阶延时系统，它与我们之前考虑的在文献[10]中的不同，那里只提出了实数极点的模型。我们的工作重点在于在许多过程中控制引擎能接近二阶加滞后模型，特别是高阶系统控制一对明显的复杂极点。我们的图解法简单而直接的决定了pid控制器的稳定区域，避免了分析方法的复杂的数学计算。2比例系数的范围单输入单输出反馈配置在图一中表现出来，G（s）和C（s）分别描绘了过程控制的传递函数和控制器，他们由二阶过程给出，其中ζ是阻尼系数，ωn是无阻尼固有频率，L是延时，Kp、Ki、Kd是PID控制器参数。已知当-1ζ1时，G（s）在s平面有一对复杂的极点，他们有负的（0ζ1）或正的（-1ζ0）实部，当ζ≤-1或ζ≥1时，G（s）的实数极点向左或右移动。这篇文章感兴趣的问题是确定图1中闭环系统Kp、Ki、Kd的参数稳定性范围是稳定的。为此，闭环特性准多项式先计算（3）的两边都乘以e-Ls。得到代入s=jω到（4）得把上面分成实部和虚部的形式得到其中接下来，我们考虑无延时稳态的目的是给Kp一个稳定范围，因为对于任何一个延时系统的最低要求是无延时闭环特征多项式稳定。当不存在延时因素时，闭环特性多项式（3）变为使用赫维茨稳定性判据的稳定条件再给出比例系数的稳定范围的结果前，证明下面的论点，他给出了pid控制器的参数约定。论点1：若那么二阶系统（1）存在一个稳定的pid控制器。证明：依照文献[10]里的思路（其中论点1和注意2，还允许σ趋近于0），通过观察图像能够得到条件（10）.注意1：根据条件（8）得出条件（10）相当于不等式（11）就是有稳定pid控制器的二阶系统的参数约束。现在我们得出了Kp的稳定范围。定理1：Kp范围的必要条件是传函为（1）的系统能被pid控制器稳定满足参数约束（11），和等式α1属于（0，π）然后Kp不在范围内就没有稳定的pid控制器。下面我们给出两个命题来证明定理1。命题1：让Δ（z）=P(z,ez),其中P（z，w）是一个有主项的多项式。假设Δ（jy），y∈R，的实部与虚部分离。Δ（jy）=Δr(y)+jΔi(y)。如果所有Δ（z）的零点的实部都是负的，那么Δr(y)和Δi(y)的有且只有一个零点。命题2：用p和q分别表示Δ（z）中的z和ez，让一个合适的常量ε使得当y=ε时Δr(y)和Δi(y)的最高次项不为零。等式Δr(y)=0和Δi(y)=0有实根，这是区间-2lπ+ε≤y≤2lπ+ε，l=1，2,3，……的充要条件，当有一个充分大的l时Δr(y)和Δi(y)为NΔ=4lq+p的实根。证明定理1：显然，从论点1和注意1中，被控系统（1）的约束参数（11）应该满足pid控制器的稳定性。用换元法使z=lω，（6）中的Δi（ω）可以表示成对于要求（14），我们先证明（14）中Δi（ω）有且只有一个实根的充要条件。令(4)中的z=lω，一个最高次的z和ez有p=3，q=1。Δi(z)必须满足有且只有一个稳定控制器。命题2中，l足够大，Δi(z)=0恰好是4lq+p=4l+3在区间-2lπ+ε≤y≤2lπ+ε里的实根。注意Δi(z)=0的根是唯一的。现在让Δi(z)=0，根据（15）z=0或。我们有一个根在原点另一个有（16）得出。等式16为非线性，用图解法得到根的分布。根据(16),得到函数（17）两边的图像在图2中对应了不同的kp值。交叉部分用Zj表示，j=1,2,3。在递增的顺序的排列的两条曲线的幅度表示17有正的实根。现在，让ε=0来满足Δi(z)最高项系数的要求但不能z=ε=0，和cos（ε）≠0。接下来我们考虑Kp的两个不同情况。情况1：-1KpKpu,在这种情况下，在图2（a）中的两个曲线在区间[0,2π]Δi(z)有4个根。包括一个原点。（17）两边的函数都是奇函数，推断出在[-2π，2π]上，Δi(z)有4l+3=4*1+3=7个根。继续观察，在区间[-2lπ，2lπ]，对任意正整数l0，Δi(z)有4l+3个根。因此，命题2若-1KpKpu,Δi(z)有且只有一个实根。情况2：Kp≥Kpu，若Kp=Kpu，在图2（b）的两条曲线相切，根的分布否定了命题2。若KpKpu，那么图2（b）中的根z1就没有了，这也违背了命题2。结合1，2两种情况，Kp的最大值是由Kpu给出的。:然后,Kp的最大值由（14）给出，从图2（b）中，两个曲线相切于α1=z1在区间（0，π）中。有给出了另一方面，从（17）中，令z=α1∈（0，π），有排除了（18）和（19）的Kp值，α1是（13）在（0，π）的值。一旦α1确定了，（14）中的Kpu最大值能在（19）中使用。因此我们证明Δi(z)有且只有一个实根的充要条件由（14）给出。最后，我们证明结论的定理。在命题1中，存在一个稳定pid控制器的必要条件是Δi(z)有唯一实数零点，相当于（14）的判断。这就完成了定力的证明。注意2：定理1只给出了Kp稳定的必要条件。你能证明，在下个部分使用这个算法，当Kp在（19）或（22）给出的范围中时,稳定区域在（Ki，Kd）平面为非空。3.图解稳定性判据在这部分，（Ki，Kd）平面上的稳定区域的绘图为了修正Kp在由定理1给出的稳定性范围，图解稳定性判据适用于延时系统。为了这个目的，定义换元。把s平面的虚数轴转为z平面的z=σ垂直线，把（20）代入（4），随后z的特征多项式得到让z=jy，沿着z平面的虚数轴，划分相应的Δ*（jy，Ki，Kd，Kp，σ）实部或虚部，其中假如，为了修正Kp和σ，一个确定了，以某种方式，点（y,Ki0，Kd0，Kp，σ）在虚轴上，x=0。有一个根在z平面的虚轴上，根据隐函数定理，如果雅克比矩阵是非奇异的，等式（24）有唯一的局部曲线解（Ki（y），Kd（y）），下面的问题保留。命题3：关键的根在平面右侧的参数区间，在曲线（Ki（y），Kd（y））的左侧当我们沿Y增加的方向延伸，无论如何行列式J0，在右面行列式J0。这就是（25）中定义的J。从（22），（23）和（25）得到然后解决（24）中Ki，Kd和Kp，σ，y的关系，得到因为特征多项式系数和L为实数，如果jy是（21）的一个根，所以这是一个复杂的结合。因此他充分考虑到y∈[0,+∞﹚。当y=0（x=0）时,(21)给出了Ki和Kd的线性关系。他给出了一个稳定的界限。当y∈[0,+∞﹚，后面部分表示（27）决定了其他的边界，然后稳定性区域能被定义为在（Ki，Kd）平面使用命题3来展示例子。4稳定区域在这部分，一格为了确定PID控制器稳定性参数的算法被开发出来。下面与一个例子来展示设计过程和稳定性区域的图像。算法1：用来确定PID控制器的稳定性参数。步骤1：对于一个已给出的二阶系统（1），检查约束条件（11）是否满足。若满足进行下一步，否则系统（1）不能被稳定的控制。步骤2：根据定理1计算Kp的范围.步骤3：根据（14）选择范围内Kp的值，在（Ki，Kd）平面上画出稳定分界线，使用了线性关系（28）对于足够小的σ0。步骤4：对于步骤3中的相同的Kp和σ，画出对于足够大的y在y∈[0,+∞﹚由（27）给出的曲线，然后定义基于命题3的稳定性区域。对于更多的细节，请看下面的例子。例1：考虑由（1）给出的二阶系统，让L=0.2，ζ=0.5，ωn=2，相当于一对稳定的极点。设置这个系统的参数，通过参数约束（11）计算得因此，稳定的PID控制器存在。给句定理1,使用（13）和（14），得到α1=1.25，Kpu=5.73，取Kp=1.00，对于不同的σ0，在图3中画出（Ki，Kd）平面上稳定分界线。曲线的箭头代表y增加的方向，根据（26）中的行列式J和命题3,稳定性区域被定义在整个平面。很明显，当σ减小，稳定性区域增加，对于充分小的σ0，σ=0.0001，稳定区域恢复成图3（c）中的三角区域。用这个方法，用网格化Kp的范围-1Kp5.73,3D稳定区域显示在图4中。接下来，让L=0.2，ζ=-0.1，ωn=2，相当于一对不稳定的极点，这种情况下，计算得，稳定的PID控制器存在。3D稳定区域显示在图5中,这种情况比ζ=0.5的稳定性区域小。5总结在这篇文章里，我们讨论了有一对复杂极点的二阶加延时系统的PID控制器稳定性参数。推导出这种控制系统的参数约束，它保证了稳定的PID控制器的存在。然后，PID控制器3个参数的稳定性区域用Hermite-Biehler定理和准多项式的图像稳定判据来确定。这篇文章的图解法简单而直接的描述了稳定性区域，避免了对于稳定分界线复杂的数学计算。参考文献[1]K.Astrom,andT.Hagglund,PIDcontrollers:Theory,Design,andTuning.ResearchTrianglePark,NC:InstrumentSocietyofAmerican,1995[2]G.J.Silva,A.Datta,andS.P.Bhattacharyya,PIDControllersforTime-DelaySystems.Berlin,Germany:Birkhauser,2004.[3]J.G.Ziegler,andN.B.Nichols,Optimumsettingforautomaticcontroller.Trans.ASME,vol.64,pp.759-768,1942[4]G..F.Franklin,J.D.Powell,andA.Emami-Naeini,FeedbackControlofDynamicSystems.3rdEdition,NewYork:Addison-WesleyPublishingCompany,1995[5]G.J.Silva,A.Datta,andS.P.Bhattacharyya,NewresultsonthesynthesisofPIDcontrollers.IEEETran.Autom.Control,vol.47,no.2,pp.241-252,2002.[6]I.S.Pontryagin,Onthezerosofsomeelementarytranscendentalfunction.Amer.Math.Soc.Transl.vol.2,pp.95-110,1955.[7]G.Martelli,Commentson:“NewresultsonthesynthesisofPIDcontrollers.”IEEETrans.Autom.Control,vol.50,no.9,pp.1468-