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第9讲磁场性质及带电粒子在磁场中的运动-2-知识脉络梳理规律方法导引-3-知识脉络梳理规律方法导引1.知识规律(1)掌握“两个磁场力”。①安培力:F=BILsinθ,其中θ为B与I的夹角。②洛伦兹力:F=qvBsinθ,其中θ为B与v的夹角。(2)明确“两个公式”。①带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径公式:R=𝑚𝑣𝑞𝐵。②带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期公式:T=2π𝑅𝑣=2π𝑚𝑞𝐵。-4-知识脉络梳理规律方法导引(3)用准“两个定则”。①对电流的磁场用准安培定则。②对通电导线在磁场中所受的安培力和带电粒子在磁场中所受的洛伦兹力用准左手定则。(4)画好“两个图形”。①对安培力作用下的平衡、运动问题画好受力分析图。②对带电粒子的匀速圆周运动问题画好与圆有关的几何图形。2.思想方法(1)物理思想:对称思想、等效思想。(2)物理方法:理想化模型方法、对称法、临界法。-5-命题热点一命题热点二命题热点三对磁场性质和磁场力的理解常以选择题的形式考查通电导线周围的磁场的性质及磁场力的情况。例1如图所示,用绝缘细线悬挂一个导线框,导线框是由两同心半圆弧导线和直导线ab、cd(ab、cd在同一条水平直线上)连接而成的闭合回路,导线框中通有图示方向的电流,处于静止状态。在半圆弧导线的圆心处沿垂直于导线框平面的方向放置一根长直导线P。当P中通以方向向外的电流时()A.导线框将向左摆动B.导线框将向右摆动C.从上往下看,导线框将顺时针转动D.从上往下看,导线框将逆时针转动D-6-命题热点一命题热点二命题热点三思维导引解析:当直导线P中通以方向向外的电流时,由安培定则可判断出长直导线P产生的磁场方向为逆时针方向,磁感线是以P为圆心的同心圆,半圆弧导线与磁感线平行,不受安培力,由左手定则可判断出直导线ab所受的安培力方向垂直纸面向外,cd所受的安培力方向垂直纸面向里,从上往下看,导线框将逆时针转动,故D正确。-7-命题热点一命题热点二命题热点三规律方法分析磁场对电流的作用要做到“一明、一转、一分析”-8-命题热点一命题热点二命题热点三拓展训练1(2019·全国卷Ⅰ)如图所示,等边三角形线框LMN由三根相同的导体棒连接而成,固定于匀强磁场中,线框平面与磁感应强度方向垂直,线框顶点M、N与直流电源两端相接。已知导体棒MN受到的安培力大小为F,则线框LMN受到的安培力的大小为()A.2FB.1.5FC.0.5FD.0B-9-命题热点一命题热点二命题热点三解析:导体棒MN受到的安培力为F=BIl。根据串、并联电路的特点可知,导体棒ML与LN的电阻之和是导体棒MN电阻的2倍,导体棒MN的电流是导体棒ML与LN电流的2倍,导体棒处在同一磁场中,导体棒ML与LN的有效长度与导体棒MN相同,导体棒ML与LN受到安培力的合力为0.5F。根据左手定则,导体棒ML与LN受到安培力的合力方向与导体棒MN受到的安培力方向相同,线框LMN受到安培力的合力为1.5F,故选B。-10-命题热点三命题热点一命题热点二带电粒子在磁场中的圆周运动常以选择题、计算题的形式考查带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的情况。例2如图所示,直角△OAC的三个顶点的坐标分别为O(0,0)、A(l,0)、C(0,l),在△OAC区域内有垂直于xOy平面向里的匀强磁场。在t=0时刻,同时从三角形的OA边各处以沿y轴正向的相同速度将质量均为m、电荷量均为q的带正电粒子射入磁场,已知在t=t0时刻从OC边射出磁场的粒子的速度方向垂直于y轴。不计粒子重力和空气阻力及粒子间相互作用。3-11-命题热点三命题热点一命题热点二(1)求磁场的磁感应强度B的大小。(2)若从OA边两个不同位置射入磁场的粒子,先后从OC边上的同一点P(P点图中未标出)射出磁场,求这两个粒子在磁场中运动的时间t1与t2之间应满足的关系。(3)从OC边上的同一点P射出磁场的这两个粒子经过P点的时间间隔与P点位置有关,若该时间间隔最大值为,求粒子进入磁场时的速度大小。思维导引4𝑡03-12-命题热点三命题热点一命题热点二答案:(1)π𝑚2𝑞𝑡0(2)t1+t2=2t0(3)3π𝑙7𝑡0解析:(1)粒子在t0时间内,速度方向改变了90°,故周期T=4t0①由T=2π𝑚𝑞𝐵得B=π𝑚2𝑞𝑡0。②(2)在同一点射出磁场的两粒子轨迹如图所示,轨迹所对应的圆心角分别为θ1和θ2,由几何关系有θ1=180°-θ2③故t1+t2=𝑇2=2t0。④-13-命题热点三命题热点一命题热点二(3)由圆周运动知识可知,两粒子在磁场中运动的时间差Δt与Δθ成正比,即Δt=Δ𝜃360°T⑤由③式得Δθ=θ2-θ1=2θ2-180°⑥又知时间间隔最大值为Δtmax=43t0⑦粒子运动周期T=4t0⑧则由⑤⑥⑦⑧得θ2最大值θ=150°在磁场中运动时间最长的粒子轨迹如图所示,由几何关系α=180°-θ=30°tan∠A=3𝑙𝑙=3-14-命题热点三命题热点一命题热点二得∠A=60°β=90°-∠A=30°Rcosα+𝑅cos𝛽=l解得R=23𝑙7根据v=2π𝑅𝑇代入数据解得v=3π𝑙7𝑡0。-15-命题热点三命题热点一命题热点二规律方法带电粒子在磁场中运动的一般解题方法1.找圆心:用几何方法确定圆心的位置,画出运动轨迹。-16-命题热点三命题热点一命题热点二2.求半径:分析带电粒子在磁场中的运动,对于轨迹圆半径的求解是解决问题的瓶颈。求解半径一般来说有以下两种情况:(1)若题中已给出带电粒子的质量、电荷量、运动的速度、磁感应强度,由牛顿第二定律得Bqv=m𝑣2𝑅,解得R=𝑚𝑣𝐵𝑞,称为物理半径;(2)如图所示,若题中未给带电粒子的电荷量、质量等,而是给我们磁场的宽度、粒子的速度方向等,我们需要作出运动的轨迹,构造直角三角形,从几何角度求解半径,一般称为几何半径。3.找关系:规范作出带电粒子运动轨迹图线,并作适当辅助线,找出其中隐含的几何关系。4.用规律:一般应用牛顿运动定律求解,特别是半径及周期公式。-17-命题热点三命题热点一命题热点二拓展训练2如图所示,无限宽广的匀强磁场分布在xOy平面内,x轴上下方磁场均垂直xOy平面向里,x轴上方的磁场的磁感应强度为B,x轴下方的磁场的磁感应强度为B。现有一质量为m、电荷量为-q的粒子以速度v0从坐标原点O沿y轴正方向进入上方磁场。在粒子运动过程中,与x轴交于若干点。不计粒子的重力。43(1)求粒子在x轴上方磁场中做匀速圆周运动的半径。(2)设粒子在x轴上方的周期为T1,x轴下方的周期为T2,求T1∶T2。(3)如把x轴上方运动的半周与x轴下方运动的半周称为一周期的话,则每经过一周期,在x轴上粒子右移的距离。(4)在与x轴的所有交点中,粒子两次通过同一点的坐标位置。-18-命题热点三命题热点一命题热点二答案:(1)𝑚𝑣0𝐵𝑞(2)4∶3(3)𝑚𝑣02𝐵𝑞(4)(𝑘+3)𝑚𝑣02𝐵𝑞(k=1,2,3,…)解析:(1)设粒子在x轴上方磁场做匀速圆周运动的半径为r1,在下方磁场中做匀速圆周运动的半径为r2,由Bqv0=m𝑣02𝑟得r1=𝑚𝑣0𝐵𝑞,r2=3𝑚𝑣04𝑞𝐵。(2)由T=2π𝑚𝑞𝐵得T1=2π𝑚𝐵𝑞T2=3π𝑚2𝐵𝑞T1∶T2=4∶3。-19-命题热点三命题热点一命题热点二(3)在磁场中粒子的运动轨迹如图所示,如把x轴上方运动的半周与x轴下方运动的半周称为一周期的话,则每经过一周期,在x轴上粒子右移Δx=2r1-2r2=𝑚𝑣02𝐵𝑞。(4)则在第4周期刚结束时粒子第二次经过x1=2r1的这一点,以后每过一周期将会出现符合要求的点。故xk=2r1+(𝑘-1)𝑟12=𝑘+32r1=(𝑘+3)𝑚𝑣02𝐵𝑞(k=1,2,3,…)。-20-命题热点三命题热点二命题热点一带电粒子在匀强磁场中的临界和极值问题常以计算题的形式考查带电粒子在磁场中运动的轨迹及速度的临界和极值问题。例3如图所示,空间存在一个半径为R0的圆形匀强磁场区域,磁场的方向垂直于纸面向里,磁感应强度的大小为B。有一个粒子源在纸面内沿各个方向以一定速率发射大量粒子,粒子的质量为m、电荷量为+q。将粒子源置于圆心,则所有粒子刚好都不能离开磁场。不考虑粒子之间的相互作用。-21-命题热点三命题热点二命题热点一(1)求带电粒子的速率。(2)若粒子源可置于磁场中任意位置,且磁场的磁感应强度大小变为B,求粒子在磁场中最长的运动时间t。(3)若原磁场不变(磁感应强度依旧为B),再叠加另一个半径为R1(R1R0)的圆形匀强磁场,叠加磁场的磁感应强度的大小为,方向垂直于纸面向外,两磁场区域成同心圆,此时该离子源从圆心出发的粒子都能回到圆心,求R1的最小值和粒子运动的周期T。24𝐵2-22-命题热点三命题热点二命题热点一思维导引-23-命题热点三命题热点二命题热点一答案:(1)𝑞𝐵𝑅02𝑚(2)π𝑚2𝑞𝐵(3)(3+1)R028π𝑚3𝑞𝐵解析:(1)粒子离开出发点最远的距离为轨道半径的2倍,由几何关系,则有R0=2r,r=0.5R0根据Bqv=𝑚𝑣2𝑟,解得v=𝑞𝐵𝑅02𝑚。-24-命题热点三命题热点二命题热点一(2)磁场的磁感应强度大小变为24B,由半径公式r=𝑚𝑣𝑞𝐵,可知粒子的轨道半径变为原来的42=22倍,即为2R0。当弦最长时,运动的时间最长,根据几何关系可以得知,弦为2R0时最长,此时圆心角为90°,解得t=90°360°T=14×2π𝑚𝑞𝐵=π𝑚2𝑞𝐵。-25-命题热点三命题热点二命题热点一(3)根据矢量合成法则,叠加区域磁场的磁感应强度大小为𝐵2,方向垂直纸面向里;R0以外的区域磁场大小为𝐵2,方向垂直纸面向外。粒子运动的半径为2r=R0,根据对称性,由几何关系可得R1的最小值为(3+1)R0根据周期公式,则有T=π3+56π4𝑚𝑞·𝐵2=28π𝑚3𝑞𝐵。-26-命题热点三命题热点二命题热点一规律方法应用动态圆画临界轨迹的方法主要有以下两种情况(1)如图所示,一束带负电的粒子以速度v垂直进入匀强磁场,若初速度v方向相同,大小不同,所有粒子运动轨迹的圆心都在垂直于初速度方向的直线上,速度增大时,轨道半径随之增大,所有粒子的轨迹组成一组动态的内切圆,与右边界相切的圆即临界轨迹。-27-命题热点三命题热点二命题热点一(2)如图所示,一束带负电的粒子以速度v垂直进入匀强磁场,若初速度v大小相同,方向不同,则所有粒子运动的轨迹半径相同,但不同粒子的圆心位置不同,其共同规律是所有粒子的圆心都在以入射点为圆心、以粒子轨道半径为半径的圆上(图中虚线),从而可以找出动态圆的圆心轨迹。利用动态圆可以画出粒子打在边界上的最高点和最低点。-28-命题热点三命题热点二命题热点一拓展训练3(2019·山东威海模拟)如图所示,在xOy平面第一象限的区域Ⅰ内存在垂直纸面向外的匀强磁场。第四象限区域Ⅱ内有垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B0=2𝑚𝑣02𝑞𝑙,区域Ⅰ、Ⅱ的宽度均为2l,高度分别为DE=l,EF=2l,质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从左边为(0,-l)的A点以速度v0沿与y轴正方向成45°角的方向射入区域Ⅱ,经x轴上的C点(图中未画出)进入区域Ⅰ,不计粒子重力。(1)求OC的长度。(2)要使粒子从DE边界射出,区域Ⅰ磁感应强度的最小值B应为多大?-29-命题热点三命题热点二命题热点一答案:(1)(2-1)l(2)𝑚𝑣0𝑞𝑙解析:(1)粒子在磁场中做圆周运动,由洛伦兹力提供向心力,有qv0B0=m𝑣02𝑅2解得在区域Ⅱ的运动半径R2=2l画出其轨迹如图所示,由几何关系可知,粒子经过x轴时速度沿y轴正方向OC=R2-R2sin45°解得OC=(2-1)l。-30-命题热点三命题热点二命题热点一(2)当区域Ⅰ磁感应强度最小时,粒子从D点射出由几何关系知CE=DE=l运动半径R1=l由qv0B=m𝑣02𝑅1得B=𝑚𝑣