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7.2概率-2-试题统计题型命题规律复习策略(2015全国Ⅰ,文4)(2016全国Ⅰ,文3)(2016全国Ⅱ,文8)(2016全国Ⅲ,文5)(2017全国Ⅰ,文4)(2017全国Ⅱ,文11)(2017全国Ⅱ,文19)(2017全国Ⅲ,文18)(2018全国Ⅱ,文5)(2019全国Ⅱ,文4)(2019全国Ⅲ,文3)选择题解答题高考对概率的考查一般是一道客观题和一道解答题,在解答题中往往与统计及统计案例相结合进行综合考查.由此可以看出,试题逐步稳定,并成为高考卷中的主流实际问题,但难度不大,属于中档题.抓住考查的主要题目类型进行训练,重点是互斥事件与对立事件的概率,古典概型的概率,几何概型的概率,统计、统计案例与概率相结合的问题.-3-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四互斥事件与对立事件的概率【思考】概率与频率有什么联系?互斥事件与对立事件有怎样的关系?例1某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100名顾客的相关数据,如下表.已知这100名顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%.一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数/名x3025y10结算时间/(分钟/名)11.522.53(1)确定x,y的值,并估计一名顾客一次购物的结算时间的平均值;(2)求一名顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.(将频率视为概率)-4-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四解(1)由已知得25+y+10=55,x+y=100-65=35,所以x=15,y=20.一名顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计,其估计值为1×15+1.5×30+2×25+2.5×20+3×10100=1.9(分钟).(2)记A为事件“一名顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”,A1,A2,A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”.将频率视为概率,得P(A1)=15100=320,P(A2)=30100=310,P(A3)=25100=14.因为A=A1∪A2∪A3,且A1,A2,A3是互斥事件,所以P(A)=P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=320+310+14=710.故一名顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为710.-5-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四题后反思1.概率是频率的稳定值,也是一个确定的值,这个值是客观存在的,在大量试验中,可用事件发生的频率估计概率.2.互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生,对立事件是指事件A与事件B有且仅有一个发生,对立事件是互斥事件的特殊情形.即两个事件对立必互斥,但两个事件互斥却不一定对立.-6-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四对点训练1袋中有12个小球(这些球除颜色外其他均相同),分别为红球、黑球、黄球、绿球,从中任取一球,取到红球的概率为13,取到黑球或黄球的概率是512,取到黄球或绿球的概率也是512,试问取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少?解从袋中任取一球,记事件“取到红球”“取到黑球”“取到黄球”“取到绿球”分别为A,B,C,D,则有P(B∪C)=P(B)+P(C)=512;P(C∪D)=P(C)+P(D)=512;P(B∪C∪D)=P(B)+P(C)+P(D)=1-P(A)=1-13=23,解得P(B)=14,P(C)=16,P(D)=14.故取到黑球、黄球、绿球的概率分别是14,16,14.-7-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四古典概型的概率【思考】怎样判断一个概率模型是古典概型?如何查找古典概型的基本事件?例2(2019河南安阳二模,18)甲、乙两名大学生因为学习需要,欲各自选购一台笔记本电脑.他们决定在A,B,C三个品牌的五种型号产品中选择,这五款笔记本电脑在某电商平台的价格与销量数据如表所示:品牌ABC型号A-1A-2B-1B-2C-1价格/元600075001000080004500销量/台100010002008003000-8-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四(1)若甲选择某品牌的笔记本电脑的概率与该品牌的总销量成正比,求他选择B品牌的笔记本电脑的概率;(2)若甲、乙两人从五种型号产品中各选择一种,且两人选择的型号不相同,求他们两人购买的笔记本电脑的价格之和大于15000元的概率.解(1)根据题意,A,B,C三个品牌的总销量分别为2000台、1000台、3000台,销量的比为2∶1∶3.设甲选择B品牌的概率为p,则他选择A品牌和C品牌的概率分别为2p,3p.由p+2p+3p=1,解得p=16.∴甲选择B品牌的笔记本电脑的概率为16.-9-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四(2)甲、乙两人从五款笔记本电脑中各任选一台,价格有20种情况,分别为:(6000,7500),(6000,10000),(6000,8000),(6000,4500),(7500,6000),(7500,10000),(7500,8000),(7500,4500),(10000,6000),(10000,7500),(10000,8000),(10000,4500),(8000,6000),(8000,7500),(8000,10000),(8000,4500),(4500,6000),(4500,7500),(4500,10000),(4500,8000).设“他们两人购买的笔记本电脑的价格之和大于15000元”为事件M,则事件M包含的情况有8种,分别为(6000,10000),(10000,6000),(7500,10000),(10000,7500),(7500,8000),(8000,7500),(8000,10000),(10000,8000),∴他们两人购买的笔记本电脑的价格之和大于15000元的概率P(M)=820=25.-10-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四题后反思1.具有以下两个特点的概率模型简称古典概型:(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;(2)每个基本事件出现的可能性相等.2.用列举法写出所有基本事件时,可借助“树状图”列举,以便做到不重、不漏.-11-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四对点训练2(2019全国Ⅱ,文4)生物实验室有5只兔子,其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机取出3只,则恰有2只测量过该指标的概率为()A.23B.35C.25D.15B解析设测量过该指标的3只兔子为a,b,c,剩余2只为A,B,则从这5只兔子中任取3只的所有取法有{a,b,c},{a,b,A},{a,b,B},{a,c,A},{a,c,B},{a,A,B},{b,c,A},{b,c,B},{c,A,B},{b,A,B}共10种,其中恰有2只测量过该指标的取法有{a,b,A},{a,b,B},{a,c,A},{a,c,B},{b,c,A},{b,c,B}共6种,所以恰有2只测量过该指标的概率为,故选B.610=35-12-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四几何概型的概率【思考】几何概型有什么特点?解答几何概型问题的关键点是什么?例3(1)如图,在△ABC中,∠B=60°,∠C=45°,高,在∠BAC内作射线AM交BC于点M,则BM1的概率为.AD=325-13-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四(2)(2019四川内江三模,7)刘徽是我国魏晋时期的数学家,在其撰写的《九章算术注》中首创“割圆术”.所谓“割圆术”,就是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆的面积并以此求取圆周率的方法.如图,正十二边形的中心为圆心O,圆O的半径为2.现随机向圆O内投放a粒豆子,其中有b粒豆子落在正十二边形内(a,b∈N*,ba),则圆周率的近似值是()A.3𝑏𝑎B.3𝑎𝑏C.𝑎𝑏D.𝑏𝑎B-14-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四解析(1)因为∠B=60°,∠C=45°,所以∠BAC=75°.在Rt△ABD中,AD=3,∠B=60°,所以BD=𝐴𝐷tan60°=1,∠BAD=30°.记事件N为“在∠BAC内作射线AM交BC于点M,使BM1”,则可得∠BAM∠BAD时事件N发生.由几何概型的概率公式,得P(N)=30°75°=25.(2)由几何概型可得𝑆正十二边形𝑆圆=𝑏𝑎,所以12×12×2×2×sin30°4π=𝑏𝑎,即π=3𝑎𝑏.-15-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四题后反思几何概型考查的主要类型有线型几何概型、面型几何概型和体型几何概型.(1)线型几何概型:适用于基本事件只受一个连续的变量控制的几何概型.(2)面型几何概型:适用于基本事件受两个连续的变量控制的情况,一般是把两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标.这样基本事件就构成了平面上的一个区域,即可借助平面区域解决.(3)体型几何概型:若一个随机事件需要用三个连续变量来描述,则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件,利用空间直角坐标系即可建立与体积有关的几何概型.-16-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四对点训练3(1)在区间[0,2]上随机地取一个数x,则事件“-1≤log12𝑥+12≤1”发生的概率为()A.34B.23C.13D.14A-17-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四(2)(2019山东郓城三模,4)七巧板是一种古老的中国传统智力玩具,是由七块板组成的,而这七块板可拼成许多图形.例如,三角形、不规则多边形、各种人物、动物、建筑物等,清陆以湉《冷庐杂识》写道:近又有七巧图,其式五,其数七,其变化之式多至千余.在18世纪,七巧板流传到了国外,至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部《七巧新谱》.若用七巧板拼成一只雄鸡,在雄鸡平面图形上随机取一点,则恰好取自雄鸡鸡尾(阴影部分)的概率为()A.14B.17C.18D.116C-18-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四解析(1)由-1≤log12𝑥+12≤1,得log122≤log12𝑥+12≤log1212,所以12≤x+12≤2,所以0≤x≤32.由几何概型可知,事件发生的概率为32-02-0=34.(2)设包含7块板的正方形边长为4,其面积为4×4=16,则雄鸡鸡尾的面积为标号为6的板块的面积,为S=2×1=2,所以在雄鸡平面图形上随机取一点,则恰好取自雄鸡鸡尾(阴影部分)的概率为216=18.-19-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四统计、统计案例与概率的综合应用【思考】求解统计与概率的综合问题的基本思路是怎样的?例4某学校就某岛有关常识随机抽取了16名学生进行测试,用“10分制”以茎叶图方式记录了他们对该岛的了解程度,分别以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶.(1)指出这组数据的众数和中位数;(2)若所得分数不低于9.5分,则称该学生对该岛“非常了解”,从所抽取的对该岛“非常了解”的学生中再随机抽取2人,求此2人分数相差不到0.2分的概率.-20-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四解(1)众数:8.6;中位数:8.7+8.82=8.75.(2)设对该岛“非常了解”的学生分别为A,B,C,D,所得分数依次为9.7,9.6,9.5,9.5,抽2人共有(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D)6组,符合此2人分数相差不到0.2分的有(A,B),(B,C),(B,D),(C,D)4组,故其概率P=46=23.题后反思有关古典概型与统计结合的题型,求解的关键是由概率分布表、分布直方图、茎叶图等图表提炼信息,结合列表或树状图直观写出试验结果,确定包括的基本事件.-21-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四对点训练4(2019四川成都外国语学校月考,20)在某次考试中,成都外国语学校共有250名高三文科学生参加考试,数学成绩的频率分布直方图如图所示.-22-命题热点一命题热点二命题热点三命