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二、填空题的解法-2-高考命题聚焦方法思路概述从历年高考成绩看,填空题得分率一直不是很高,因为填空题的结果必须是数值准确、形式规范、表达式最简,稍有不足,便是零分;再者填空题不需要写出具体的推理、计算过程,因此要想“快速”解答填空题,则千万不可“小题大做”,而要达到“准确”,则必须合理灵活地运用恰当的方法,在“巧”字上下功夫.-3-高考命题聚焦方法思路概述解填空题的基本原则是“小题不能大做”,基本策略是“巧做”.解填空题的常用方法有:直接法、数形结合法、特例法、等价转化法、构造法、合情推理法等.-4-一二三四一、直接法直接法就是从题干给出的条件出发,运用定义、定理、公式、性质、法则等知识,通过变形、推理、计算等,直接得出结论.例1(2018全国Ⅱ,文16)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB互相垂直,SA与圆锥底面所成角为30°.若△SAB的面积为8,则该圆锥的体积为.答案8π解析∵SA⊥SB,∴S△SAB=12·SA·SB=8.∴SA=4.过点S连接底面圆心O,则∠SAO=30°.∴SO=2,OA=23.∴V=13πr2h=13×π×(23)2×2=8π.-5-一二三四对点训练1设向量a=(1,0),b=(-1,m).若a⊥(ma-b),则m=.-1解析由题意,得ma-b=(m,0)-(-1,m)=(m+1,-m).∵a⊥(ma-b),∴a·(ma-b)=0,即m+1=0,∴m=-1.-6-一二三四二、特例法当填空题已知条件中含有某些不确定的量,但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时,可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值进行处理,从而得出待求的结论.这样可大大地简化推理、论证的过程.-7-一二三四例2(1)如图,在△ABC中,点M是BC的中点,过点M的直线与直线AB,AC分别交于不同的两点P,Q,若𝐴𝑃=λ𝐴𝐵,𝐴𝑄=μ𝐴𝐶,则1𝜆+1𝜇=.(2)若函数f(x)=2𝑥+1+𝑚2𝑥-1是奇函数,则m=.答案(1)2(2)2-8-一二三四解析(1)由题意可知,1𝜆+1𝜇的值与点P,Q的位置无关,而当直线BC与直线PQ重合时,有λ=μ=1,所以1𝜆+1𝜇=2.(2)显然f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),∴令x=1,x=-1,则f(-1)+f(1)=20+𝑚2-1-1+22+𝑚21-1=0,m=2.-9-一二三四对点训练2(1)如图,在平行四边形ABCD中,AP⊥BD,垂足为P,且AP=3,则𝐴𝑃·𝐴𝐶=.(2)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a,b,c成等差数列,则cos𝐴+cos𝐶1+cos𝐴cos𝐶=.1845-10-一二三四解析(1)(方法一)𝐴𝑃·𝐴𝐶=𝐴𝑃·(𝐴𝐵+𝐵𝐶)=𝐴𝑃·𝐴𝐵+𝐴𝑃·𝐵𝐶=𝐴𝑃·𝐴𝐵+𝐴𝑃·(𝐵𝐷+𝐷𝐶)=𝐴𝑃·𝐵𝐷+2𝐴𝑃·𝐴𝐵,∵AP⊥BD,∴𝐴𝑃·𝐵𝐷=0.∵𝐴𝑃·𝐴𝐵=|𝐴𝑃||𝐴𝐵|cos∠BAP=|𝐴𝑃|2,∴𝐴𝑃·𝐴𝐶=2|𝐴𝑃|2=2×9=18.(方法二)把平行四边形ABCD看成正方形,则点P为对角线的交点,AC=6,则𝐴𝑃·𝐴𝐶=18.(2)令a=3,b=4,c=5,则△ABC为直角三角形,且cosA=45,cosC=0,代入所求式子,得cos𝐴+cos𝐶1+cos𝐴cos𝐶=45+01+45×0=45,故填45.-11-一二三四三、数形结合法对于一些含有几何背景的填空题,若能数中思形,以形助数,则往往可以借助图形的直观性迅速做出判断,简捷地解决问题,得出正确的结果,Venn图、三角函数线、函数的图象及方程的曲线等,都是常用的图形.例3已知实数x,y满足x2+y2≤1,则|2x+y-4|+|6-x-3y|的最大值是.答案15-12-一二三四解析画出直线2x+y-4=0和x+3y-6=0以及圆x2+y2=1,如图.由于整个圆在两条直线的左下方,所以当x2+y2≤1时,有2𝑥+𝑦-40,𝑥+3𝑦-60,所以|2x+y-4|+|6-x-3y|=-2x-y+4+6-x-3y=-3x-4y+10.令t=-3x-4y+10,则3x+4y+t-10=0,所以x2+y2≤1与直线3x+4y+t-10=0有公共点,所以圆心(0,0)到直线的距离解得5≤t≤15.所以t的最大值为15,即|2x+y-4|+|6-x-3y|的最大值为15.d=|𝑡-10|5≤1,-13-一二三四对点训练3某网店统计了连续三天售出商品的种类情况:第一天售出19种商品,第二天售出13种商品,第三天售出18种商品;前两天都售出的商品有3种,后两天都售出的商品有4种.则该网店(1)第一天售出但第二天未售出的商品有种;(2)这三天售出的商品最少有种.1629-14-一二三四解析(1)由于前两天都售出的商品有3种,因此第一天售出但第二天未售出的商品有19-3=16(种).(2)同理可知第三天售出但第二天未售出的商品有18-4=14(种).当前两天都售出的3种商品与后两天都售出的4种商品有3种是一样的,剩下的1种商品在第一天未售出;且第三天售出但第二天未售出的14种商品都在第一天售出的商品中,此时商品总数最少,为29种.如图,分别用A,B,C表示第一、二、三天售出的商品种数.-15-一二三四四、构造法填空题的求解,需要利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型,从而简化推理与计算过程,使较复杂的数学问题得到简捷的解决,它来源于对基础知识和基本方法的积累,需要从一般的方法原理中进行提炼概括,积极联想,横向类比,从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感,构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型,使问题快速解决.-16-一二三四例4如图,已知球O的球面上有四点A,B,C,D,DA⊥平面ABC,AB⊥BC,DA=AB=BC=,则球O的体积等于.2答案6π-17-一二三四解析如图,以DA,AB,BC为棱长构造正方体,设正方体的外接球球O的半径为R,则正方体的体对角线长即为球O的直径,所以|CD|=(2)2+(2)2+(2)2=2R,所以R=62,故球O的体积V=4π𝑅33=6π.-18-一二三四对点训练4(1)定义在区间(1,+∞)内的函数f(x)满足lnx·f'(x),f(2)=-ln2,则不等式f(ex)+x0的解集为.(2)已知a,b为不垂直的异面直线,α是一个平面,则a,b在α上的射影有可能是:①两条平行直线;②两条互相垂直的直线;③同一条直线;④一条直线及其外一点.在上面的结论中,正确结论的序号是.(写出所有正确结论的序号)𝑓(𝑥)𝑥(ln2,+∞)①②④-19-一二三四解析(1)构造函数g(x)=𝑓(𝑥)ln𝑥(x1),则g'(x)=ln𝑥·𝑓'(𝑥)-𝑓(𝑥)𝑥(ln𝑥)2.∵lnx·f'(x)𝑓(𝑥)𝑥,∴g'(x)0,即g(x)在区间(1,+∞)内是增函数.不等式f(ex)+x0可化为𝑓(e𝑥)𝑥-1=𝑓(2)ln2,即g(ex)g(2)且ex1,故ex2,解得xln2.(2)用长方体ABCD-A1B1C1D1说明A1D与BC1在平面ABCD上的射影互相平行,AB1与BC1在平面ABCD上的射影互相垂直,BC1与DD1在平面ABCD上的射影是一条直线及其外一点.-20-解题策略小结1.解填空题的一般方法是直接法,除此以外,对于带有一般性命题的填空题可采用特例法,和图形、曲线等有关的命题可考虑数形结合法.解题时,常常需要几种方法综合使用,才能迅速得到正确的结果.2.解填空题不要求求解过程,从而结论是判断是否正确的唯一标准,因此解填空题时要注意如下几个方面:(1)要认真审题,明确要求,思维严谨、周密,计算有据、准确;(2)要尽量利用已知的定理、性质及已有的结论;(3)要重视对所求结果的检验.