搜索
6.3直线与圆锥曲线-2-试题统计题型命题规律复习策略(2015全国Ⅱ,文20)(2016全国Ⅰ,文20)(2016全国Ⅱ,文5)(2016全国Ⅱ,文21)(2016全国Ⅲ,文12)(2016全国Ⅲ,文20)(2017全国Ⅰ,文20)(2017全国Ⅱ,文12)(2017全国Ⅱ,文20)(2017全国Ⅲ,文20)(2018全国Ⅰ,文20)(2018全国Ⅱ,文20)(2018全国Ⅲ,文20)(2019全国Ⅰ,文21)(2019全国Ⅱ,文20)(2019全国Ⅲ,文21)选择题解答题直线与椭圆、抛物线的位置关系是高考的重点,常常与平面向量、三角函数、函数的性质、不等式等知识交汇命题.直线与圆锥曲线相交,求其弦长、中点、定点、定值、最值、面积、对称、参数范围、存在性问题等是高考的热点,常用到一元二次方程根与系数的关系.本部分复习的重点是直线与圆锥曲线的位置关系、定点问题、定值问题、最值问题、范围问题、探索性问题.有一定的运算量,需通过题目加强训练.-3-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四直线与圆锥曲线的位置关系【思考】怎样用代数的方法判断直线与圆锥曲线的位置关系?例1已知椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(ab0)右顶点与右焦点的距离为3-1,短轴长为22.(1)求椭圆的方程;(2)过左焦点F的直线与椭圆分别相交于A,B两点,若△OAB的面积为324,求直线AB的方程.解(1)由题意可知𝑎-𝑐=3-1,𝑏=2,𝑎2=𝑏2+𝑐2,解得𝑎=3,𝑏=2,𝑐=1.所以椭圆方程为𝑥23+𝑦22=1.-4-(2)当直线AB与x轴垂直时,|AB|=43,此时S△AOB=12×1×43=233,不符合题意,故舍去;当直线AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=k(x+1),代入消去y,得(2+3k2)x2+6k2x+(3k2-6)=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则𝑥1+𝑥2=-6𝑘22+3𝑘2,𝑥1𝑥2=3𝑘2-62+3𝑘2,所以|AB|=43(𝑘2+1)2+3𝑘2.又原点到直线AB的距离d=|𝑘|1+𝑘2,所以△AOB的面积S△AOB=12|AB|d=12·|𝑘|1+𝑘2·43(𝑘2+1)2+3𝑘2.又S△AOB=324,所以5k4-4k2-12=0,解得k2=2,即k=±2.所以直线lAB:2x-y+2=0或lAB:2x+y+2=0.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四-5-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四题后反思设直线l:Ax+By+C=0,圆锥曲线C:f(x,y)=0,由𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶=0,𝑓(𝑥,𝑦)=0,消去y得ax2+bx+c=0(也可消去x).若a≠0,Δ=b2-4ac,Δ0⇔相交;Δ0⇔相离;Δ=0⇔相切.若a=0,得到一个一次方程:(1)C为双曲线,则l与双曲线的渐近线平行;(2)C为抛物线,则l与抛物线的对称轴平行.-6-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四对点训练1(2018全国Ⅰ,文20)设抛物线C:y2=2x,点A(2,0),B(-2,0),过点A的直线l与C交于M,N两点.(1)当l与x轴垂直时,求直线BM的方程;(2)证明:∠ABM=∠ABN.(1)解当l与x轴垂直时,l的方程为x=2,可得M的坐标为(2,2)或(2,-2).所以直线BM的方程为y=12x+1或y=-12x-1.-7-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四(2)证明当l与x轴垂直时,AB为MN的垂直平分线,所以∠ABM=∠ABN.当l与x轴不垂直时,设l的方程为y=k(x-2)(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),则x10,x20.由𝑦=𝑘(𝑥-2),𝑦2=2𝑥得ky2-2y-4k=0,可知y1+y2=2𝑘,y1y2=-4.直线BM,BN的斜率之和为kBM+kBN=𝑦1𝑥1+2+𝑦2𝑥2+2=𝑥2𝑦1+𝑥1𝑦2+2(𝑦1+𝑦2)(𝑥1+2)(𝑥2+2).①将x1=𝑦1𝑘+2,x2=𝑦2𝑘+2及y1+y2,y1y2的表达式代入①式分子,可得x2y1+x1y2+2(y1+y2)=2𝑦1𝑦2+4𝑘(𝑦1+𝑦2)𝑘=-8+8𝑘=0.所以kBM+kBN=0,可知BM,BN的倾斜角互补,所以∠ABM=∠ABN.综上,∠ABM=∠ABN.-8-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四圆锥曲线中的定值、定点问题【思考】求解圆锥曲线中的定值、定点问题的基本思想是什么?例2在直角坐标系xOy中,曲线y=x2+mx-2与x轴交于A,B两点,点C的坐标为(0,1).当m变化时,解答下列问题:(1)能否出现AC⊥BC的情况?说明理由;(2)证明过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.(1)解不能出现AC⊥BC的情况,理由如下:设A(x1,0),B(x2,0),则x1,x2满足x2+mx-2=0,所以x1x2=-2.又点C的坐标为(0,1),故AC的斜率与BC的斜率之积为-1𝑥1·-1𝑥2=-12,所以不能出现AC⊥BC的情况.-9-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四(2)证明BC的中点坐标为𝑥22,12,可得BC的中垂线方程为y-12=x2𝑥-𝑥22.由(1)可得x1+x2=-m,所以AB的中垂线方程为x=-𝑚2.联立𝑥=-𝑚2,𝑦-12=𝑥2𝑥-𝑥22,又𝑥22+mx2-2=0,可得𝑥=-𝑚2,𝑦=-12.所以过A,B,C三点的圆的圆心坐标为-𝑚2,-12,半径r=𝑚2+92.故圆在y轴上截得的弦长为2𝑟2-𝑚22=3,即过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.-10-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四题后反思1.求解定点和定值问题的基本思想是一致的,定值是证明求解的一个量与参数无关,定点问题是求解的一个点(或几个点)的坐标,使得方程的成立与参数值无关.解这类试题时要会合理选择参数(参数可能是直线的斜率、截距,也可能是动点的坐标等),使用参数表达其中变化的量,再使用这些变化的量表达需要求解的解题目标.当使用直线的斜率和截距表达直线方程时,在解题过程中要注意建立斜率和截距之间的关系,把双参数问题化为单参数问题解决.2.证明直线过定点的基本思想是使用一个参数表示直线方程,根据方程的成立与参数值无关得出x,y的方程组,以方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点.-11-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四对点训练2已知椭圆C:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(ab0)的长轴长为4,焦距为22.(1)求椭圆C的方程;(2)过动点M(0,m)(m0)的直线交x轴于点N,交C于点A,P(P在第一象限),且M是线段PN的中点.过点P作x轴的垂线交C于另一点Q,延长QM交C于点B.①设直线PM,QM的斜率分别为k,k',证明为定值;②求直线AB的斜率的最小值.𝑘'𝑘-12-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四(1)解设椭圆的半焦距为c.由题意知2a=4,2c=22,所以a=2,b=𝑎2-𝑐2=2.所以椭圆C的方程为𝑥24+𝑦22=1.(2)①证明设P(x0,y0)(x00,y00).由M(0,m),可得P(x0,2m),Q(x0,-2m).所以直线PM的斜率k=2𝑚-𝑚𝑥0=𝑚𝑥0,直线QM的斜率k'=-2𝑚-𝑚𝑥0=-3𝑚𝑥0.此时𝑘'𝑘=-3.所以𝑘'𝑘为定值-3.-13-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四②解设A(x1,y1),B(x2,y2).直线PA的方程为y=kx+m,直线QB的方程为y=-3kx+m.联立𝑦=𝑘𝑥+𝑚,𝑥24+𝑦22=1,整理得(2k2+1)x2+4mkx+2m2-4=0.由x0x1=2𝑚2-42𝑘2+1,可得x1=2(𝑚2-2)(2𝑘2+1)𝑥0,所以y1=kx1+m=2𝑘(𝑚2-2)(2𝑘2+1)𝑥0+m,同理x2=2(𝑚2-2)(18𝑘2+1)𝑥0,y2=-6𝑘(𝑚2-2)(18𝑘2+1)𝑥0+m.-14-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四所以x2-x1=2(𝑚2-2)(18𝑘2+1)𝑥0−2(𝑚2-2)(2𝑘2+1)𝑥0=-32𝑘2(𝑚2-2)(18𝑘2+1)(2𝑘2+1)𝑥0,y2-y1=-6𝑘(𝑚2-2)(18𝑘2+1)𝑥0+m-2𝑘(𝑚2-2)(2𝑘2+1)𝑥0-m=-8𝑘(6𝑘2+1)(𝑚2-2)(18𝑘2+1)(2𝑘2+1)𝑥0,所以kAB=𝑦2-𝑦1𝑥2-𝑥1=6𝑘2+14𝑘=146𝑘+1𝑘.由m0,x00,可知k0,所以6k+1𝑘≥26,等号当且仅当k=66时取得.此时𝑚4-8𝑚2=66,即m=147,符合题意.所以直线AB的斜率的最小值为62.-15-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四圆锥曲线中的参数范围与最值问题【思考】求解范围、最值问题的基本解题思想是什么?例3如图,已知抛物线x2=y,点A-12,14,B32,94,抛物线上的点P(x,y)−12x32.过点B作直线AP的垂线,垂足为Q.(1)求直线AP斜率的取值范围;(2)求|PA|·|PQ|的最大值.-16-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四解(1)设直线AP的斜率为k,k=𝑥2-14𝑥+12=x-12,因为-12x32,所以直线AP斜率的取值范围是(-1,1).(2)联立直线AP与BQ的方程𝑘𝑥-𝑦+12𝑘+14=0,𝑥+𝑘𝑦-94𝑘-32=0,解得点Q的横坐标是xQ=-𝑘2+4𝑘+32(𝑘2+1).因为|PA|=1+𝑘2𝑥+12=1+𝑘2(k+1),|PQ|=1+𝑘2(xQ-x)=-(𝑘-1)(𝑘+1)2𝑘2+1,-17-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四所以|PA|·|PQ|=-(k-1)(k+1)3.令f(k)=-(k-1)(k+1)3,因为f'(k)=-(4k-2)(k+1)2,所以f(k)在区间-1,12上单调递增,12,1上单调递减,因此当k=12时,|PA|·|PQ|取得最大值2716.-18-题后反思圆锥曲线中范围与最值问题的求解方法方法解读适合题型几何法利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解题设条件有明显的几何特征代数法把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式),然后利用函数、不等式等方法求解.常用的代数法有:①利用二次函数求最值或范围;②利用三角换元、利用正弦函数或余弦函数的有界性求最值或范围;③利用基本不等式求最值或范围;④利用判别式求最值或范围;⑤利用导数判断函数的单调性求最值或范围题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四-19-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四对点训练3(2019全国Ⅱ,文20)已知F1,F2是椭圆C:(ab0)的两个焦点,P为C上的点,O为坐标原点.(1)若△POF2为等边三角形,求C的离心率;(2)如果存在点P,使得PF1⊥PF2,且△F1PF2的面积等于16,求b的值和a的取值范围.𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1解(1)连接PF1.由△POF2为等边三角形,可知在△F1PF2中,∠F1PF2=90°,|PF2|=c,|PF1|=3c,于是2a=|PF1|+|PF2|=(3+1)c,故C的离心率e=𝑐𝑎=3-1.-20-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四(2)由题意可知,满足条件的点P(x,y)存在,当且仅当12|y|·2c=16,𝑦𝑥+𝑐·𝑦𝑥-𝑐=-1,𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1,即c|y|=16,①x2+y2=c2,②𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1.③由②③及a2=b2+c2得y2=𝑏4𝑐2,又由①知y2=162𝑐2,故b=4.由②③得x2=𝑎2𝑐2(c2-b2),所以c2≥b2,从