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6.2椭圆、双曲线、抛物线-2-试题统计题型命题规律复习策略(2015全国Ⅰ,文5)(2015全国Ⅰ,文16)(2015全国Ⅱ,文15)(2016全国Ⅰ,文5)(2016全国Ⅲ,文12)(2016全国Ⅲ,文20)(2017全国Ⅰ,文12)(2017全国Ⅱ,文5)(2017全国Ⅱ,文12)(2017全国Ⅲ,文11)(2017全国Ⅲ,文14)(2018全国Ⅰ,文4)(2018全国Ⅱ,文6)(2018全国Ⅱ,文11)(2018全国Ⅲ,文10)(2019全国Ⅰ,文10)(2019全国Ⅰ,文12)(2019全国Ⅱ,文9)(2019全国Ⅱ,文12)(2019全国Ⅲ,文10)(2019全国Ⅲ,文15)选择题填空题解答题从近五年的高考试题来看,圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质等是高考考查的重点,也是高考命题的基本元素.考查的角度有:对圆锥曲线的定义的理解及定义的应用,求圆锥曲线的标准方程,求圆锥曲线的离心率,以及向量、直线、圆锥曲线的小综合.抓住考查的主要题目类型进行训练,重点是依据圆锥曲线的几何性质求离心率;根据圆锥曲线的定义求标准方程;圆锥曲线与向量的小综合;两种圆锥曲线间的小综合;直线与圆锥曲线的小综合;圆锥曲线的综合应用等.-3-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四圆锥曲线的定义的应用【思考】什么问题可考虑应用圆锥曲线的定义?求圆锥曲线标准方程的基本思路是什么?例1(2019全国Ⅲ,文15)设F1,F2为椭圆C:的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.若△MF1F2为等腰三角形,则点M的坐标为.𝑥236+𝑦220=1(3,15)-4-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四解析∵a2=36,b2=20,∴c2=a2-b2=16,∴c=4.由题意得,|MF1|=|F1F2|=2c=8.∵|MF1|+|MF2|=2a=12,∴|MF2|=4.设点M的坐标为(x0,y0)(x00,y00),则𝑆△𝑀𝐹1𝐹2=12×|F1F2|×y0=4y0.又𝑆△𝑀𝐹1𝐹2=12×4×82-22=415,∴4y0=415,解得y0=15.又点M在椭圆C上,∴𝑥0236+(15)220=1,解得x0=3或x0=-3(舍去).∴点M的坐标为(3,15).-5-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四题后反思1.涉及椭圆(或双曲线)两焦点间的距离或焦点弦的问题,以及到抛物线焦点(或准线)距离的问题,可优先考虑圆锥曲线的定义.2.求圆锥曲线标准方程时“先定型,后计算”,即先确定是何种曲线,焦点在哪个轴上,然后利用条件求a,b,p的值.-6-对点训练1(2019安徽蚌埠第三次质检,11)设抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,点M在抛物线C上,|MF|=2.若以MF为直径的圆经过点(0,1),则抛物线C的焦点到准线的距离为()A.8B.4或8C.2D.2或4C解析∵抛物线C的方程为y2=2px(p0),∴焦点F𝑝2,0,准线方程为x=-𝑝2.设M(x,y),由抛物线定义得|MF|=x+𝑝2=2,可得x=2-𝑝2.因为圆心是MF的中点,根据中点坐标公式可得圆心横坐标为2-𝑝2+𝑝22=1,可知圆的半径也为1,所以该圆与y轴相切于点(0,1),故圆心纵坐标为1.则M点纵坐标为2,即M2-𝑝2,2,代入抛物线方程得p2-4p+4=0,解得p=2.所以C的焦点到准线的距离为2.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四-7-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四求圆锥曲线的离心率【思考】求圆锥曲线离心率的基本思路是什么?例2(2019安徽示范高中皖北协作区联考,7)已知点F1,F2为双曲线C:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a0,b0)的左、右焦点,点P为其渐近线上一点,PF2⊥x轴,且∠PF1F2=45°,则双曲线C的离心率为()A.2B.5C.2+1D.5+1B解析由PF2⊥x轴,可得点P的横坐标为c.又双曲线的渐近线方程为y=𝑏𝑎x,可得点P的纵坐标为𝑏𝑐𝑎.因为∠PF1F2=45°,所以𝑏𝑐𝑎=2c,即b=2a.所以e=𝑐𝑎=1+𝑏2𝑎2=5.-8-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四题后反思解决椭圆和双曲线的离心率的求值或范围问题,其关键就是确立一个关于a,b,c(a,b,c均为正数)的方程或不等式,再根据a,b,c的关系消掉b得到a,c的关系式.建立关于a,b,c的方程或不等式,要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.-9-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四对点训练2(2019全国Ⅱ,文12)设F为双曲线C:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a0,b0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为()A.2B.3C.2D.5A解析如图,设PQ与x轴交于点A,由对称性可知PQ⊥x轴.∵|PQ|=|OF|=c,∴|PA|=𝑐2.∴PA为以OF为直径的圆的半径,A为圆心,∴|OA|=𝑐2.∴P(𝑐2,𝑐2).又点P在圆x2+y2=a2上,∴𝑐24+𝑐24=a2,即𝑐22=a2,∴e2=𝑐2𝑎2=2,∴e=2,故选A.-10-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四求轨迹方程【思考】求轨迹方程的基本策略是什么?例3已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ;(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.解由题设知F12,0.设l1:y=a,l2:y=b,则ab≠0,且A𝑎22,𝑎,B𝑏22,𝑏,P-12,𝑎,Q-12,𝑏,R-12,𝑎+𝑏2.记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.-11-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四(1)证明:由于F在线段AB上,故1+ab=0.记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,则k1=𝑎-𝑏1+𝑎2=𝑎-𝑏𝑎2-𝑎𝑏=1𝑎=-𝑎𝑏𝑎=-b=k2.所以AR∥FQ.(2)设l与x轴的交点为D(x1,0),则S△ABF=12|b-a||FD|=12|b-a|𝑥1-12,S△PQF=|𝑎-𝑏|2.由题设可得2×12|b-a|𝑥1-12=|𝑎-𝑏|2,所以x1=0(舍去),x1=1.设满足条件的AB的中点为E(x,y).(分类讨论)当AB与x轴不垂直时,由kAB=kDE可得2𝑎+𝑏=𝑦𝑥-1(x≠1).而𝑎+𝑏2=y,所以y2=x-1(x≠1).当AB与x轴垂直时,E与D重合.所以,所求轨迹方程为y2=x-1.-12-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四题后反思1.求轨迹方程时,先看轨迹的形状能否预知,若能预先知道轨迹为何种圆锥曲线,则可考虑用定义法求解或用待定系数法求解;否则利用直接法或代入法.2.讨论轨迹方程的解与轨迹上的点是否对应,要注意字母的取值范围.-13-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四对点训练3设O为坐标原点,动点M在椭圆C:𝑥22+y2=1上,过点M作x轴的垂线,垂足为点N,点P满足𝑁𝑃=2𝑁𝑀.(1)求点P的轨迹方程;(2)设点Q在直线x=-3上,且𝑂𝑃·𝑃𝑄=1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.-14-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四(1)解设P(x,y),M(x0,y0),则N(x0,0),𝑁𝑃=(x-x0,y),𝑁𝑀=(0,y0).由𝑁𝑃=2𝑁𝑀得x0=x,y0=22y.因为M(x0,y0)在C上,所以𝑥22+𝑦22=1.因此点P的轨迹方程为x2+y2=2.(2)证明由题意知F(-1,0).设Q(-3,t),P(m,n),则𝑂𝑄=(-3,t),𝑃𝐹=(-1-m,-n),𝑂𝑄·𝑃𝐹=3+3m-tn,𝑂𝑃=(m,n),𝑃𝑄=(-3-m,t-n).由𝑂𝑃·𝑃𝑄=1得-3m-m2+tn-n2=1.又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0.所以𝑂𝑄·𝑃𝐹=0,即𝑂𝑄⊥𝑃𝐹.又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.-15-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四圆锥曲线与圆相结合的问题【思考】圆锥曲线与圆相结合的题目经常用到圆的哪些性质?例4(2019安徽黄山第三次质检,20)已知点A为圆B:(x+2)2+y2=32上任意一点,点C(2,0),线段AC的垂直平分线交AB于点M.(1)求动点M的轨迹方程;(2)若动直线l与圆O:相切,且与动点M的轨迹相交于点E,F,求△OEF面积的最大值.(O为坐标原点)x2+y2=83解(1)由题知|MA|=|MC|,∵|MA|+|MB|=42,∴|MB|+|MC|=424=|BC|.∴点M的轨迹是以点B,C为焦点的椭圆,其方程为𝑥28+𝑦24=1.-16-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四(2)①当直线l的斜率存在时,设E(x1,y1),F(x2,y2),直线l的方程为y=kx+m.由𝑦=𝑘𝑥+𝑚,𝑥28+𝑦24=1,得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-8=0,∴𝑥1+𝑥2=-4𝑘𝑚2𝑘2+1,𝑥1𝑥2=2𝑚2-82𝑘2+1.∴|EF|=1+𝑘2|x1-x2|=221+𝑘2·8𝑘2-𝑚2+42𝑘2+1.∵直线l与圆O相切,∴3m2=8(1+k2).-17-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四∴|EF|=463(1+𝑘2)(4𝑘2+1)(2𝑘2+1)2.令2k2+1=t,得k2=𝑡-12(t≥1),∴|EF|=433-1𝑡2+1𝑡+2=433-1𝑡-122+94≤433×32=23,当且仅当t=2,即k=±22时等号成立.∴(S△OEF)max=12×23×83=22.-18-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四②当直线l的斜率不存在时,易得直线l的方程为x=263或x=-263.此时|EF|=463.∴S△OEF=12×463×83=8322.由①②可得S△OEF的最大值为22.题后反思处理有关圆锥曲线与圆相结合的问题,要特别注意圆心、半径及平面几何知识的应用,如直径对的圆心角为直角,构成了垂直关系;弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形.利用圆的一些特殊几何性质解题,往往使问题简化.-19-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四对点训练4(2019全国Ⅲ,文21)已知曲线C:y=𝑥22,D为直线y=-12上的动点,过点D作C的两条切线,切点分别为A,B.(1)证明:直线AB过定点;(2)若以点E0,52为圆心的圆与直线AB相切,且切点为线段AB的中点,求该圆的方程.(1)证明设D𝑡,-12,A(x1,y1),则𝑥12=2y1.因为y'=x,所以切线DA的斜率为x1,故𝑦1+12𝑥1-𝑡=x1.整理得2tx1-2y1+1=0.设B(x2,y2),同理可得2tx2-2y2+1=0.故直线AB的方程为2tx-2y+1=0.所以直线AB过定点0,12.-20-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四(2)解由(1)得直线AB的方程为y=tx+12.由𝑦=𝑡𝑥+12,𝑦=𝑥22,可得x2-2tx-1=0.于是x1+x2=2t,y1+y2=t(x1+x2)+1=2t2+1.设M为线段AB的中点,则M𝑡,𝑡2+12.由于𝐸𝑀⊥𝐴𝐵,而𝐸𝑀=(t,t2-2),𝐴𝐵与向量(1,t)平行,所以t+(t2-2)t=0.解得t=0或t=±1.当t=0时,|𝐸𝑀|=2,所求圆的方程为x2+𝑦-522=4;当t=±1时,|𝐸𝑀|=2,所求圆的方程为x2+𝑦-522=2.-21-23415671.(2019全国Ⅱ,文9)若抛物线y2=2px(p0)的焦点是椭圆𝑥23𝑝+𝑦2𝑝=1