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5.2空间中的平行与垂直-2-试题统计题型命题规律复习策略(2015全国Ⅰ,文18)(2016全国Ⅰ,文11)(2016全国Ⅰ,文18)(2016全国Ⅱ,文19)(2016全国Ⅲ,文19)(2017全国Ⅰ,文6)(2017全国Ⅰ,文16)(2017全国Ⅰ,文18)(2017全国Ⅱ,文18)(2017全国Ⅲ,文10)(2017全国Ⅲ,文19)(2018全国Ⅰ,文10)(2018全国Ⅰ,文18)(2018全国Ⅱ,文9)(2018全国Ⅱ,文19)(2018全国Ⅲ,文19)(2019全国Ⅰ,文16)(2019全国Ⅰ,文19)(2019全国Ⅱ,文17)(2019全国Ⅲ,文8)(2019全国Ⅲ,文19)选择题填空题解答题高考对空间点、线、面位置关系的考查主要有两种形式:一是对命题真假的判断,通常以选择题、填空题的形式考查,难度不大,也不是高考的热点;二是在解答题中考查平行、垂直关系的证明,常以柱体、锥体为载体,难度中档偏难,是高考的热点.预计随着高考对能力要求的不断加强,今后对空间中平行、垂直关系及体积中的探索性问题的考查会逐渐升温.抓住考查的主要题目类型进行训练,重点是空间中平行、垂直关系及体积中的探索性问题.-3-命题热点一命题热点二命题热点三线线、线面平行或垂直的判定与性质【思考】判断或证明线面、线线平行或垂直的常用方法有哪些?例1(2019全国Ⅱ,文17)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点E在棱AA1上,BE⊥EC1.(1)证明:BE⊥平面EB1C1;(2)若AE=A1E,AB=3,求四棱锥E-BB1C1C的体积.-4-命题热点一命题热点二命题热点三(1)证明由已知得B1C1⊥平面ABB1A1,BE⊂平面ABB1A1,故B1C1⊥BE.又BE⊥EC1,所以BE⊥平面EB1C1.(2)解由(1)知∠BEB1=90°.由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E,所以∠AEB=∠A1EB1=45°,故AE=AB=3,AA1=2AE=6.作EF⊥BB1,垂足为F,则EF⊥平面BB1C1C,且EF=AB=3.所以,四棱锥E-BB1C1C的体积V=×3×6×3=18.13-5-命题热点一命题热点二命题热点三题后反思1.证线线平行常用的方法:一是利用平行公理,即证两直线同时和第三条直线平行;二是利用平行四边形进行平行转换;三是利用三角形的中位线定理证线线平行;四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换.2.证线面平行常用的两种方法:一是利用线面平行的判定定理,把证线面平行转化为证线线平行;二是利用面面平行的性质,把证线面平行转化为证面面平行.3.证线面垂直常用的方法:一是利用线面垂直的判定定理,把证线面垂直转化为证线线垂直;二是利用面面垂直的性质定理,把证面面垂直转化为证线面垂直;另外还要注意利用教材中的一些结论,如两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面等.-6-命题热点一命题热点二命题热点三对点训练1如图所示,在几何体ABCDEP中,底面ABCD是边长为4的正方形,PA⊥平面ABCD,PA∥EB,且PA=2BE=.(1)证明:BD∥平面PEC;(2)若G为BC上的动点,求证:AE⊥PG.42-7-命题热点一命题热点二命题热点三证明(1)连接AC交BD于点O,取PC的中点F,连接OF,EF.∵O,F分别为AC,PC的中点,∴OF∥PA,且OF=PA.又PA∥EB,PA=2BE,∴EB∥OF,且EB=OF,∴四边形EBOF为平行四边形,∴EF∥BD.∵EF⊂平面PEC,BD⊄平面PEC,∴BD∥平面PEC.12-8-命题热点一命题热点二命题热点三(2)连接BP,∵𝐸𝐵𝐴𝐵=𝐵𝐴𝑃𝐴=12,∠EBA=∠BAP=90°,∴△EBA∽△BAP,∴∠PBA=∠BEA,∴∠PBA+∠BAE=∠BEA+∠BAE=90°,∴PB⊥AE.∵PA⊥平面ABCD,PA⊂平面APEB,∴平面ABCD⊥平面APEB.∵BC⊥AB,平面ABCD∩平面APEB=AB,∴BC⊥平面APEB,∴BC⊥AE,∴AE⊥平面PBC.∵G为BC上的动点,∴PG⊂平面PBC,∴AE⊥PG.-9-命题热点一命题热点二命题热点三面面平行或垂直的判定与性质【思考】判定面面平行或垂直有哪些基本方法?例2如图,在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,CB的中点.(1)求证:平面ABED∥FGH;(2)若CF⊥BC,AB⊥BC,求证:平面BCD⊥平面EGH.-10-命题热点一命题热点二命题热点三证明(1)如图,连接DG,CD,设CD∩GF=M,连接MH.在三棱台DEF-ABC中,∵AB=2DE,G为AC的中点,∴DF∥GC,DF=GC,∴四边形DFCG为平行四边形,∴M为CD的中点.又H为BC的中点,∴HM∥BD.又HM⊂平面FGH,BD⊄平面FGH,∴BD∥平面FGH.∵DE∥GH.∴DE∥平面FGH.又ED∩BD=D,且ED,BD⊂平面ABED,∴平面ABED∥平面FGH.-11-命题热点一命题热点二命题热点三(2)如图,连接HE,GE.∵G,H分别为AC,BC的中点,∴GH∥AB.∵AB⊥BC,∴GH⊥BC.又H为BC的中点,∴EF∥HC,EF=HC,∴四边形EFCH是平行四边形,∴CF∥HE.又CF⊥BC,∴HE⊥BC.又HE,GH⊂平面EGH,HE∩GH=H,∴BC⊥平面EGH.又BC⊂平面BCD,∴平面BCD⊥平面EGH.-12-命题热点一命题热点二命题热点三题后反思1.判定面面平行的四个方法:(1)利用定义,即判断两个平面没有公共点;(2)利用面面平行的判定定理;(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行;(4)利用平面平行的传递性,即两个平面同时平行于第三个平面,则这两个平面平行.2.面面垂直的证明方法:(1)用面面垂直的判定定理,即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线;(2)用面面垂直的定义,即证明两个平面所成的二面角是直二面角.3.从解题方法上说,由于线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)之间可以相互转化,因此整个解题过程始终沿着线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)的转化途径进行.-13-命题热点一命题热点二命题热点三对点训练2(2018全国Ⅰ,文18)如图,在平行四边形ABCM中,AB=AC=3,∠ACM=90°.以AC为折痕将△ACM折起,使点M到达点D的位置,且AB⊥DA.(1)证明:平面ACD⊥平面ABC;(2)Q为线段AD上一点,P为线段BC上一点,且BP=DQ=DA,求三棱锥Q-ABP的体积.23-14-命题热点一命题热点二命题热点三(1)证明由已知可得,∠BAC=90°,BA⊥AC.又BA⊥AD,所以AB⊥平面ACD.又AB⊂平面ABC,所以平面ACD⊥平面ABC.(2)解由已知可得,DC=CM=AB=3,DA=32.又BP=DQ=23DA,所以BP=22.作QE⊥AC,垂足为E,则QE13DC.由已知及(1)可得DC⊥平面ABC,所以QE⊥平面ABC,QE=1.因此,三棱锥Q-APB的体积为VQ-ABP=13×QE×S△ABP=13×1×12×3×22sin45°=1.-15-命题热点一命题热点二命题热点三平行、垂直关系及体积中的探索性问题【思考】解决探索性问题的基本方法有哪些?例3(2018全国Ⅲ,文19)如图,矩形ABCD所在平面与半圆弧𝐶𝐷所在平面垂直,M是𝐶𝐷上异于C,D的点.(1)证明:平面AMD⊥平面BMC.(2)在线段AM上是否存在点P,使得MC∥平面PBD?说明理由.-16-命题热点一命题热点二命题热点三(1)证明由题设知,平面CMD⊥平面ABCD,交线为CD.因为BC⊥CD,BC⊂平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM.因为M为上异于C,D的点,且DC为直径,所以DM⊥CM.又BC∩CM=C,所以DM⊥平面BMC.而DM⊂平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC.(2)解当P为AM的中点时,MC∥平面PBD.证明如下:如图,连接AC交BD于点O.因为四边形ABCD为矩形,所以O为AC的中点.连接OP,因为P为AM的中点,所以MC∥OP.MC⊄平面PBD,OP⊂平面PBD,所以MC∥平面PBD.𝐶𝐷-17-命题热点一命题热点二命题热点三题后反思1.对命题条件的探索的三种途径:(1)先猜后证,即先观察与尝试给出条件再证明;(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件,再证明充分性;(3)将几何问题转化为代数问题,探索出命题成立的条件.2.对命题结论的探索方法:从条件出发,探索出要求的结论是什么,对于探索结论是否存在,求解时常假设结论存在,再寻找与条件相容或者矛盾的结论.-18-命题热点一命题热点二命题热点三对点训练3如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AD⊥AB,CD=2AB=4,AD=,E为CD的中点,将△BCE沿BE折起,使得CO⊥DE,其中点O在线段DE内.(1)求证:CO⊥平面ABED;(2)求当∠CEO(记为θ)多大时,三棱锥C-AOE的体积最大?最大值为多少?2-19-命题热点一命题热点二命题热点三(1)证明在直角梯形ABCD中,CD=2AB,E为CD的中点,则AB=DE.又AB∥DE,AD⊥AB,知BE⊥CD.在四棱锥C-ABED中,BE⊥DE,BE⊥CE,CE∩DE=E,CE,DE⊂平面CDE,则BE⊥平面CDE.因为CO⊂平面CDE,所以BE⊥CO.又CO⊥DE,且BE,DE是平面ABED内两条相交直线,故CO⊥平面ABED.-20-命题热点一命题热点二命题热点三(2)解由(1)知CO⊥平面ABED,知三棱锥C-AOE的体积V=13S△AOE·OC=13×12×OE×AD×OC.由直角梯形ABCD中,CD=2AB=4,AD=2,CE=2,得三棱锥C-AOE中,OE=CE·cosθ=2cosθ,OC=CE·sinθ=2sinθ,V=23sin2θ≤23,当且仅当sin2θ=1,θ∈0,π2,即θ=π4时取等号(此时OE=2DE,O落在线段DE内).故当θ=π4时,三棱锥C-AOE的体积最大,最大值为23.-21-234151.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CD的中点,则()A.A1E⊥DC1B.A1E⊥BDC.A1E⊥BC1D.A1E⊥ACC解析连接B1C,BC1,A1E,则B1C⊥BC1.∵CD⊥平面BB1C1C,BC1⊂平面BB1C1C,∴CD⊥BC1.∵B1C∩CD=C,∴BC1⊥平面A1B1CD.∵A1E⊂平面A1B1CD,∴A1E⊥BC1.故选C.-22-234152.已知l,m,n是三条不同的直线,α,β是不同的平面,则α⊥β的一个充分条件是()A.l⊂α,m⊂β,且l⊥mB.l⊂α,m⊂β,n⊂β,且l⊥m,l⊥nC.m⊂α,n⊂β,m∥n,且l⊥mD.l⊂α,l∥m,且m⊥βD解析对于A,l⊂α,m⊂β,且l⊥m,如图①,α,β不垂直;对于B,l⊂α,m⊂β,n⊂β,且l⊥m,l⊥n,如图②,α,β不垂直;对于C,m⊂α,n⊂β,m∥n,且l⊥m,直线l没有确定,则α,β的关系不能确定;对于D,l⊂α,l∥m,且m⊥β,则必有l⊥β,根据面面垂直的判定定理知α⊥β.-23-234153.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)DM⊥PC(或BM⊥PC)解析连接AC,由PA⊥BD,AC⊥BD可得BD⊥平面PAC,所以BD⊥PC.所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,即有PC⊥平面MBD,而PC⊂平面PCD,所以平面MBD⊥平面PCD.-24-234154.(2019全国Ⅰ,文19)如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.(1)证明:MN∥平面C1DE;(2)求点C到平面C1DE的距离.-25-23415(1)证明连接B1C,ME.因