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5.1空间几何体-2-试题统计题型命题规律复习策略(2015全国Ⅰ,文6)(2015全国Ⅰ,文11)(2015全国Ⅱ,文6)(2015全国Ⅱ,文10)(2015全国Ⅱ,文19)(2016全国Ⅰ,文7)(2016全国Ⅰ,文18)(2016全国Ⅱ,文4)(2016全国Ⅱ,文7)(2016全国Ⅱ,文19)(2016全国Ⅲ,文10)(2016全国Ⅲ,文11)(2016全国Ⅲ,文19)(2017全国Ⅰ,文16)(2017全国Ⅱ,文6)(2017全国Ⅱ,文15)(2017全国Ⅲ,文9)(2018全国Ⅰ,文5)(2018全国Ⅰ,文9)(2018全国Ⅰ,文18)(2018全国Ⅱ,文16)(2018全国Ⅲ,文3)(2018全国Ⅲ,文12)(2019全国Ⅱ,文16)(2019全国Ⅲ,文16)选择题填空题解答题1.空间几何体的三视图成为近几年高考的必考点,单独考查三视图的题目逐渐减少,主要考查由三视图求原几何体的面积、体积,主要以选择题、填空题的形式考查.2.对柱体、锥体、台体表面积、体积及球与多面体的切接问题中的有关几何体的表面积、体积的考查又是高考的一个热点,难度不大,主要以选择题、填空题的形式考查.抓住考查的主要题目类型进行训练,重点有三个:一是三视图中的几何体的形状及面积、体积;二是求柱体、锥体、台体及球的表面积、体积;三是求球与多面体的切接问题中的有关几何体的表面积、体积.-3-命题热点一命题热点二命题热点三三视图的识别及有关计算【思考】如何由空间几何体的三视图确定几何体的形状?例1(2018全国Ⅰ,文9)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图所示.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为()A.217B.25C.3D.2B-4-命题热点一命题热点二命题热点三解析如图所示,易知N为𝐶𝐷的中点,将圆柱的侧面沿母线MC剪开,展平为矩形MCC'M',易知CN=14CC'=4,MC=2,从M到N的路程中最短路径为线段MN.在Rt△MCN中,MN=𝑀𝐶2+𝑁𝐶2=25.题后反思在由空间几何体的三视图确定几何体的形状时,首先根据俯视图确定几何体的底面,然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征,调整实线和虚线所对应的棱、面的位置,特别注意由各视图中观察者与几何体的相对位置与图中的虚实线来确定几何体的形状.最后根据三视图“长对正,高平齐,宽相等”的关系,确定轮廓线的各个方向的尺寸.-5-命题热点一命题热点二命题热点三对点训练1(2019山东青岛二模,9)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的侧面为等腰直角三角形的个数为()A.1B.2C.3D.4B-6-命题热点一命题热点二命题热点三解析由三视图可得直观图如图所示.由三视图可知PD⊥平面ABCD,∴PD⊥AD,PD⊥DC,PD⊥AB.又PD=AD=2,PD=DC=2,∴△PAD和△PDC为等腰直角三角形.又PD⊥AB,AD⊥AB,∴AB⊥平面PAD,∴AB⊥PA.又AB=1,PA=4+4=22,∴△PAB不是等腰直角三角形.∵PB=12+22+22=3,BC=12+22=5,PC=22+22=22.∴△PBC不是等腰直角三角形.综上,侧面为等腰直角三角形的共有2个.-7-命题热点一命题热点二命题热点三柱、锥、台体的表面积与体积【思考】求解几何体的表面积及体积的常用技巧有哪些?例2(2019全国Ⅲ,文16)学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型.如图,该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体,其中O为长方体的中心,E,F,G,H分别为所在棱的中点,AB=BC=6cm,AA1=4cm.3D打印所用原料密度为0.9g/cm3.不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为g.118.8-8-命题热点一命题热点二命题热点三解析由题意,得四棱锥O-EFGH的底面积为4×6-4×12×2×3=12(cm2),点O到平面BB1C1C的距离为3cm,则此四棱锥的体积为V1=13×12×3=12(cm3).又长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为V2=4×6×6=144(cm3),则该模型的体积为V=V2-V1=144-12=132(cm3).故其质量为0.9×132=118.8(g).-9-命题热点一命题热点二命题热点三题后反思1.求几何体体积问题,可以多角度、多方位地考虑问题.在求三棱锥体积的过程中,等体积转化法是常用的方法,转换底面的原则是使其高易求,常把底面放在已知几何体的某一面上.2.求不规则几何体的体积,常用分割或补形的思想,将不规则几何体变为规则几何体,易于求解.-10-命题热点一命题热点二命题热点三对点训练2(2019江苏南京六校联合体联考,10)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为2的正方形,PA⊥平面ABCD,PA=2,E是PB的中点,则三棱锥P-AEC的体积为.23解析取AB的中点F,连接EF.∵E,F分别为PB,AB的中点,∴EF∥PA,且EF=12PA=1.又PA⊥平面ABCD,∴EF⊥平面ABCD.∴VP-AEC=VP-ABC-VE-ABC=13S△ABC·PA-13S△ABC·EF=13×12×2×2×1=23.-11-命题热点一命题热点二命题热点三球与多面体的切接问题【思考】求解多面体与球接、切问题的基本思路是什么?例3已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为3,外接球的表面积为16π,则正三棱柱ABC-A1B1C1的体积为()A.334B.332C.934D.932D-12-命题热点一命题热点二命题热点三解析∵正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为3,设底面的外接圆的半径为r,∴2r=3sin60°,解得r=3.由外接球的表面积为16π=4πR2,解得球的半径R=2.外接球的球心在上、下两个底面的外心M,N的连线的中点上,记为点O,如图所示.在△OMB1中,MB1=r=3,OB1=R=2.由M𝐵12+OM2=O𝐵12,即3+OM2=4,解得OM=1,MN=h=2.故正三棱柱的体积为V=Sh=12×3×3×32×2=932.-13-命题热点一命题热点二命题热点三题后反思多面体与球接、切问题的求解方法:(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时,一般过球心及多面体中的特殊点(如接、切点或线)作截面,把空间问题转化为平面问题,再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系,或画内切、外接的几何体的直观图,确定球心的位置,弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系,列方程(组)求解.(2)若球面上四点P,A,B,C构成的三条线段PA,PB,PC两两互相垂直,且PA=a,PB=b,PC=c,一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体,根据4R2=a2+b2+c2求解.-14-命题热点一命题热点二命题热点三(2)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径.若平面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S-ABC的体积为9,则球O的表面积为_____________.对点训练3(1)(2018全国Ⅲ,文12)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且其面积为93,则三棱锥D-ABC体积的最大值为()A.123B.183C.243D.543B36π-15-命题热点一命题热点二命题热点三解析(1)由△ABC为等边三角形且其面积为93,设△ABC边长为a,则S=12a·32a=93.∴a=6,则△ABC的外接圆半径r=32×23a=234.设球的半径为R,如图,OO1=𝑅2-𝑟2=42-(23)2=2.当D在O的正上方时,三棱锥D-ABC的体积最大,VD-ABC=13S△ABC·(R+|OO1|)=13×93×6=183.故选B.(2)取SC的中点O,连接OA,OB.因为SA=AC,SB=BC,所以OA⊥SC,OB⊥SC.因为平面SAC⊥平面SBC,且OA⊂平面SAC,所以OA⊥平面SBC.设OA=r,则VA-SBC=13×S△SBC×OA=13×12×2r×r×r=13r3,所以13r3=9,解得r=3.所以球O的表面积为4πr2=36π.-16-2341561.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A.18B.17C.16D.15D-17-234156解析由题意知,该正方体截去了一个三棱锥,如图所示,设正方体棱长为a,则V正方体=a3,V截去部分=16a3,故截去部分体积与剩余部分体积的比值为16a3∶56a3=1∶5=15.-18-2341562.已知三棱锥S-ABC,D,E分别是底面的边AB,AC的中点,则四棱锥S-BCED与三棱锥S-ABC的体积之比为()A.1∶2B.2∶3C.3∶4D.1∶4C解析因为D,E分别为边AB,AC的中点,所以𝑆△𝐴𝐷𝐸𝑆△𝐴𝐵𝐶=14,所以𝑆四边形𝐵𝐶𝐸𝐷𝑆△𝐴𝐵𝐶=34.又因为四棱锥S-BCED与三棱锥S-ABC的高相同,所以它们的体积之比也即底面积之比,为3∶4.-19-2341563.(2019安徽淮北、宿州质检,10)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体外接球的体积为()A.9π2B.16π3C.18πD.36πA-20-234156解析如图所示,在长、宽、高分别为2,2,1的长方体ABCD-A1B1C1D1中,三视图对应的几何体为三棱锥A1-ADC,则该三棱锥的外接球即长方体的外接球.设外接球的半径为R,由题意可得(2R)2=22+22+12=9,解得R=32,故该多面体外接球的体积V=43πR3=9π2.-21-2341564.(2019北京,文12)某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得,其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1,那么该几何体的体积为.40-22-234156解析在正方体中还原该几何体,如图所示.该几何体的体积V=43-12×(2+4)×2×4=40.-23-2341565.长方体的长、宽、高分别为3,2,1,其顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为.14π解析由题意可知长方体的体对角线长等于其外接球O的直径2R,即2R=32+22+12=14,所以球O的表面积S=4πR2=14π.-24-2341566.如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则的值是.𝑉1𝑉232解析设球O的半径为r,则圆柱O1O2的高为2r,故𝑉1𝑉2=π𝑟2·2𝑟43π𝑟3=32.