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3.2三角变换与解三角形-2-试题统计题型命题规律复习策略(2015全国Ⅰ,文17)(2015全国Ⅱ,文17)(2016全国Ⅰ,文4)(2016全国Ⅱ,文11)(2016全国Ⅱ,文15)(2016全国Ⅲ,文6)(2016全国Ⅲ,文9)(2017全国Ⅰ,文11)(2017全国Ⅰ,文15)(2017全国Ⅱ,文16)(2017全国Ⅲ,文4)(2017全国Ⅲ,文6)(2017全国Ⅲ,文15)(2018全国Ⅰ,文11)(2018全国Ⅰ,文16)(2018全国Ⅱ,文7)(2018全国Ⅱ,文15)(2018全国Ⅲ,文4)(2018全国Ⅲ,文11)(2019全国Ⅰ,文7)(2019全国Ⅰ,文11)(2019全国Ⅰ,文15)(2019全国Ⅱ,文11)(2019全国Ⅱ,文15)(2019全国Ⅲ,文5)(2019全国Ⅲ,文18)选择题填空题解答题三角变换及解三角形是高考考查的热点,然而单独考查三角变换的题目较少,题目往往以解三角形为背景,在应用正弦定理、余弦定理的同时,经常应用三角变换进行化简,综合性比较强,难度不大.解答题近两年考查较少,隔年出现,题目的数量有时是两个小题,有时是一个小题一个大题,有时是一个大题.抓住考查的主要题目类型进行训练,重点是正弦定理、余弦定理与三角形面积的小综合,正弦定理、余弦定理与三角函数性质的小综合,正弦定理、余弦定理、三角形面积及三角变换的大综合.-3-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四三角恒等变换及求值【思考】三角变换的基本思路及技巧有哪些?例1(2019全国Ⅱ,文11)已知α∈(0,π2),2sin2α=cos2α+1,则sinα=()A.15B.55C.33D.255B解析∵2sin2α=cos2α+1,∴4sinαcosα=2cos2α.∵α∈(0,π2),∴cosα0,sinα0,∴2sinα=cosα.又sin2α+cos2α=1,∴5sin2α=1,即sin2α=15.∵sinα0,∴sinα=55.故选B.-4-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四题后反思三角恒等变换的基本思路:(1)“化异名为同名”“化异次为同次”“化异角为同角”;(2)“切化弦”“1”的代换;(3)角的变换是三角变换的核心,如β=(α+β)-α,2α=(α+β)+(α-β)等.-5-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四对点训练1(1)(2018全国Ⅱ,文15)已知tan𝛼-5π4=15,则tanα=.(2)已知sin𝛼+π3+sinα=-435,-π2α0,则cosα=.3233-410解析(1)∵tan𝛼-5π4=tan𝛼-tan5π41+tan𝛼tan5π4=tan𝛼-11+tan𝛼=15,∴5tanα-5=1+tanα.∴tanα=32.(2)sin𝛼+π3+sinα=12sinα+32cosα+sinα=32sinα+32cosα=3sin𝛼+π6=-435,∴sin𝛼+π6=-45.∵-π2α0,∴-π3α+π6π6,∴cos𝛼+π6=35,∴cosα=cos𝛼+π6-π6=32cos𝛼+π6+12sin𝛼+π6=33-410.-6-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四正、余弦定理的简单应用【思考】应用正、余弦定理需要的条件及解决的问题有哪些?例2(1)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,则△ABC的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定(2)在△ABC中,内角A,B,C满足sin2B+sin2C+12sinBsinC-sin2A=0,则cos2A=()A.78B.-78C.34D.-716BB-7-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四解析(1)由bcosC+ccosB=asinA结合正弦定理,得sinBcosC+sinCcosB=sin2A,即sin(B+C)=sin2A,所以sinA=1.由0Aπ,得A=π2,故△ABC为直角三角形.(2)∵sin2B+sin2C+12sinBsinC-sin2A=0,∴b2+c2-a2=-12bc.由余弦定理可得cosA=𝑏2+𝑐2-𝑎22𝑏𝑐=-12𝑏𝑐2𝑏𝑐=-14.所以cos2A=2cos2A-1=2×-142-1=-78.-8-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四题后反思1.已知两角和一边,如已知A,B和c,由A+B+C=π求C,由正弦定理求a,b.2.已知两边和这两边的夹角,如已知a,b和C,应先用余弦定理求c,再应用正弦定理先求较短边所对的角,最后利用A+B+C=π,求另一角.3.已知两边和其中一边的对角,如已知a,b和A,应先用正弦定理求B,由A+B+C=π求C,再由正弦定理或余弦定理求c,要注意解可能有多种情况.4.已知三边a,b,c,可应用余弦定理求A,B,C(或先用余弦定理求出最大边所对的角,再用正弦定理及三角形内角和定理求另外两个内角).-9-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四对点训练2(2019陕西汉中第二次质检,14)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若sinA=2sinB,c=2,且cosC=34,则△ABC的面积为.74解析因为sinA=2sinB,所以a=2b.由余弦定理可知c2=a2+b2-2abcosC,即(2)2=a2+b2-2ab·34,解得b=1,a=2.又因为cosC=34,所以sinC=1-cos2𝐶=74,所以S=12absinC=12×2×1×74=74.-10-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四解三角形【思考】在解三角形中,一般要用到哪些知识?例3在△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD的面积是△ADC的面积的2倍.(1)求sin𝐵sin𝐶;(2)若AD=1,DC=22,求BD和AC的长.解(1)S△ABD=12AB·ADsin∠BAD,S△ADC=12AC·ADsin∠CAD.因为S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD,所以AB=2AC.由正弦定理可得sin𝐵sin𝐶=𝐴𝐶𝐴𝐵=12.-11-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四(2)因为S△ABD∶S△ADC=BD∶DC,所以BD=2.在△ABD和△ADC中,由余弦定理知AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB,AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC.故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由(1)知AB=2AC,所以AC=1.-12-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四题后反思关于解三角形问题,一般要用到三角形内角和定理、正弦定理、余弦定理及有关三角形的性质,常见的三角变换方法和原则都适用.同时,要注意“三统一”,即“统一角、统一函数、统一结构”,这是使问题得以解决的突破口.-13-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四对点训练3(2019全国Ⅲ,文18)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知(1)求B;(2)若△ABC为锐角三角形,且c=1,求△ABC面积的取值范围.asin𝐴+𝐶2=bsinA.-14-解(1)由题设及正弦定理,得sinAsin𝐴+𝐶2=sinBsinA.因为sinA≠0,所以sin𝐴+𝐶2=sinB.由A+B+C=180°,可得sin𝐴+𝐶2=cos𝐵2,故cos𝐵2=2sin𝐵2cos𝐵2.因为cos𝐵2≠0,故sin𝐵2=12,因此B=60°.(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC=34a.由正弦定理,得a=𝑐sin𝐴sin𝐶=sin(120°-𝐶)sin𝐶=32tan𝐶+12.因为△ABC为锐角三角形,所以0°A90°,0°C90°.由(1)知A+C=120°,所以30°C90°,故12a2,从而38S△ABC32.因此,△ABC面积的取值范围是38,32.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四-15-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四解三角形与三角变换的综合问题【思考】在三角形中,对于含有边角关系的等式如何进行运算?例4已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,c=3asinC-ccosA.(1)求A;(2)若a=2,△ABC的面积为3,求b,c.解(1)由c=3asinC-ccosA及正弦定理,得3sinAsinC-cosAsinC-sinC=0.因为sinC≠0,所以sin𝐴-π6=12.又0Aπ,所以A=π3.(2)△ABC的面积S=12bcsinA=3,则bc=4.因为a2=b2+c2-2bccosA,所以b2+c2=8,解得b=c=2(负值舍去).-16-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四题后反思对于一个解三角形的综合问题,若条件是既有边又有角的关系式,在进行运算时有两种方法:一是先应用正弦定理把边转化为角,再利用三角恒等变换进行化简整理;二是先应用余弦定理把角转化为边,再进行字母的代数运算,使关系式得到简化.-17-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四对点训练4(2019江西九江三模,17)在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,边AC上的高为h,已知c(sinA-cosA)=acosC.(1)求𝑏ℎ的值;(2)若B=π4,且△ABC的面积为12,求△ABC的周长.解(1)由c(sinA-cosA)=acosC及正弦定理,得sinC(sinA-cosA)=sinAcosC,即sinAsinC=sinAcosC+cosAsinC=sin(A+C).∵A+C=π-B,∴sinAsinC=sinB.由正弦定理,得asinC=b.又sinC=ℎ𝑎,∴b=h,即𝑏ℎ=1.-18-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四(2)∵S△ABC=12b·h=12,∴12b2=12,∴b=1.∵B=π4,∴S△ABC=12acsinB=24ac=12,∴ac=2.由余弦定理,得b2=a2+c2-2accosB,得1=a2+c2-2ac.∴1=(a+c)2-(2+2)ac,∴(a+c)2=3+22=(2+1)2,∴a+c=2+1.∴△ABC的周长为a+c+b=2+2.-19-23415671.已知cos𝛼-π6+sinα=435,则sin𝛼+7π6的值是()A.-235B.235C.-45D.45C解析∵cos𝛼-π6+sinα=435,∴32sinα+32cosα=435,即sin𝛼+π6=45,∴sin𝛼+7π6=-sin𝛼+π6=-45.-20-23415672.若△ABC的内角A满足sin2A=23,则sinA+cosA等于()A.153B.-53C.53D.-53A解析∵sin2A=23,∴2sinAcosA=23,即sinA,cosA同号.∴A为锐角,∴sinA+cosA=(sin𝐴+cos𝐴)2=1+sin2𝐴=1+23=53=153.-21-23415673.(2018全国Ⅲ,文11)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为𝑎2+𝑏2-𝑐24,则C=()A.π2B.π3C.π4D.π6C解析由S=𝑎2+𝑏2-𝑐24=12absinC,得c2=a2+b2-2absinC.又由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,所以sinC=cosC,即C=π4.-22-23415674.(2019全国Ⅱ,文15)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsinA+acosB=0,则B=.3π4解析由正弦定理,得sinBsinA+sinAcosB=0.∵A∈(0,π),B∈(0,π),∴sinA≠0,∴sinB+cosB=0,即tanB=-1,∴B=3π4.-23-23415675.(2019山东泰安质检,14)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若sin𝐴-sin𝐶𝑏+𝑐=sin𝐵-sin𝐶𝑎,则B=.π3解析在△