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2.2函数与方程及函数的应用-2-试题统计题型命题规律复习策略(2015全国Ⅰ,文21)(2016全国Ⅰ,文9)(2016全国Ⅰ,文21)(2017全国Ⅲ,文12)(2018全国Ⅱ,文21)(2019全国Ⅲ,文5)选择题解答题高考对函数与方程及函数的应用的考查,主要侧重于函数的零点,常以分式、绝对值不等式、对数式、三角函数为载体;考查确定零点的个数、存在区间及应用零点存在情况求参数值或取值范围;函数的实际应用常以实际生活为背景,与最值、不等式、导数、解析几何等知识交汇命题.1.关于零点问题,要学会分析转化,能够把与之有关的不同形式的问题,化归为适当方程的零点问题.2.函数模型的实际应用问题,主要抓好常见函数模型的训练,重点放在信息整理与建模.-3-命题热点一命题热点二命题热点三函数零点的求解与判定【思考】确定函数零点的常用方法有哪些?例1设函数f(x)=𝑥2+𝑏𝑥+𝑐,𝑥≤0,2,𝑥0.若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于x的方程f(x)=x的解的个数为.3解析(方法一)由f(-4)=f(0),f(-2)=-2,可得16-4𝑏+𝑐=𝑐,4-2𝑏+𝑐=-2,解得𝑏=4,𝑐=2.即f(x)=𝑥2+4𝑥+2,𝑥≤0,2,𝑥0.∵方程f(x)=x等价于𝑥0,𝑥=𝑓(𝑥)=2或𝑥≤0,𝑥2+4𝑥+2=𝑥,即x=2或𝑥≤0,𝑥2+3𝑥+2=0.∴x=2,x=-1或x=-2.即f(x)=x有3个解.-4-命题热点一命题热点二命题热点三(方法二)由f(-4)=f(0),f(-2)=-2,可得b=4,c=2.∴f(x)=𝑥2+4𝑥+2,𝑥≤0,2,𝑥0.f(x)的图象如图.方程f(x)=x解的个数即y=f(x)与y=x图象的交点个数.由图知两图象有A,B,C三个交点,故方程有3个解.-5-命题热点一命题热点二命题热点三题后反思确定函数零点的常用方法:(1)解方程判定法,方程易求解时用此法;(2)零点存在的判定定理法,常常要结合函数的性质、导数等知识;(3)数形结合法,如求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角式等较复杂的函数零点问题,常转化为两个函数图象的交点问题求解.-6-命题热点一命题热点二命题热点三对点训练1(1)函数f(x)=2x|log12x|-1的零点个数为()A.1B.2C.3D.4(2)(2019福建晋江检测,9)设函数y=log3x与y=3-x的图象的交点为(x0,y0),则x0所在的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)BC-7-命题热点一命题热点二命题热点三解析(1)函数f(x)=2x|log12x|-1的零点即2x|log12x|-1=0的解,即|log12x|=12𝑥的解,作出函数g(x)=|log12x|和函数h(x)=12𝑥的图象.由图象可知,两函数图象共有两个交点,故函数f(x)=2x|log12x|-1有2个零点.(2)方程log3x=-x+3的解就是m(x)=log3x+x-3的零点.因为m(x)=log3x+x-3单调递增且连续,且满足m(1)m(2)0,m(2)m(3)0,所以m(x)=log3x+x-3的零点在区间(2,3)内,即x0所在的区间是(2,3).-8-命题热点一命题热点二命题热点三函数零点的应用【思考】如何由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围?例2(2019江苏,14)设f(x),g(x)是定义在R上的两个周期函数,f(x)的周期为4,g(x)的周期为2,且f(x)是奇函数.当x∈(0,2]时,f(x)=1-(𝑥-1)2,g(x)=𝑘(𝑥+2),0𝑥≤1,-12,1𝑥≤2,其中k0.若在区间(0,9]上,关于x的方程f(x)=g(x)有8个不同的实数根,则k的取值范围是.13,24-9-命题热点一命题热点二命题热点三解析当x∈(0,2]时,设y=f(x)=1-(𝑥-1)2,则(x-1)2+y2=1(y≥0),结合f(x)是周期为4的奇函数,可作出f(x)的图象:∵当x∈(1,2]时,g(x)=-12,又g(x)的周期为2,∴当x∈(3,4]∪(5,6]∪(7,8]时,g(x)=-12.-10-命题热点一命题热点二命题热点三由图可知:当x∈(1,2]∪(3,4]∪(5,6]∪(7,8]时,f(x)与g(x)的图象有2个交点,∴当x∈(0,1]∪(2,3]∪(4,5]∪(6,7]∪(8,9]时,f(x)与g(x)的图象有6个交点.由图可知:当x∈(2,3]∪(6,7]时,f(x)与g(x)的图象无交点,∴当x∈(0,1]∪(4,5]∪(8,9]时,f(x)与g(x)的图象有6个交点,由f(x)与g(x)的周期性可知:当x∈(0,1]时,f(x)与g(x)的图象有2个交点.如图,当y=k(x+2)与圆弧:(x-1)2+y2=1(0x≤1)相切时,d=|3𝑘|𝑘2+1=1⇒k2=18(k0)⇒k=24.当y=k(x+2)过点A(-2,0)与B(1,1)时,k=13.∴13≤k24.-11-命题热点一命题热点二命题热点三题后反思在求方程解的个数或者根据解的个数求方程中的字母参数的范围问题时,数形结合是基本的解题方法,即把方程分拆为一个等式,使两端都转化为我们所熟悉的函数的解析式,然后构造两个函数f(x),g(x),即把方程写成f(x)=g(x)的形式,这时方程根的个数就是两个函数图象交点的个数,可以根据图象的变化趋势找到方程中字母参数所满足的各种关系.-12-命题热点一命题热点二命题热点三对点训练2已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则a=()A.-12B.13C.12D.1C解析∵f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1),∴f(2-x)=(2-x)2-2(2-x)+a[e2-x-1+e-(2-x)+1]=x2-4x+4-4+2x+a(e1-x+ex-1)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1),∴f(2-x)=f(x),即直线x=1为f(x)图象的对称轴.∵f(x)有唯一零点,∴f(x)的零点只能为1,即f(1)=12-2×1+a(e1-1+e-1+1)=0,解得a=.12-13-命题热点一命题热点二命题热点三函数的实际应用【思考】应用函数模型解决实际问题的一般程序是怎样的?例3某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为rm,高为hm,体积为Vm3.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率).(1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域;(2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.-14-命题热点一命题热点二命题热点三解(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh=200πrh(元),底面的总成本为160πr2元,所以蓄水池的总成本为(200πrh+160πr2)元.又根据题意200πrh+160πr2=12000π,所以h=15𝑟(300-4r2),所以V(r)=πr2h=π5(300r-4r3).因为r0,又h0,可得r53,故函数V(r)的定义域为(0,53).-15-命题热点一命题热点二命题热点三(2)因为V(r)=π5(300r-4r3),所以V'(r)=π5(300-12r2).令V'(r)=0,解得r1=5,r2=-5(因为r2=-5不在定义域内,舍去).当r∈(0,5)时,V'(r)0,所以V(r)在区间(0,5)内为增函数;当r∈(5,53)时,V'(r)0,所以V(r)在区间(5,53)内为减函数.由此可知,V(r)在r=5处取得最大值,此时h=8.即当r=5,h=8时,该蓄水池的体积最大.-16-命题热点一命题热点二命题热点三题后反思应用函数模型解决实际问题:首先,要正确理解题意,将实际问题化为数学问题,构建数学模型;其次,利用数学知识如函数、导数、不等式(方程)解决数学问题;最后,回归到实际问题的解决上.其一般程序为读题文字语言⇒建模数学语言⇒求解数学应用⇒反馈检验作答.-17-命题热点一命题热点二命题热点三对点训练3某食品的保鲜时间y(单位:h)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192h,在22℃的保鲜时间是48h,则该食品在33℃的保鲜时间是h.24解析由题意,得192=e𝑏,48=e22𝑘+𝑏,①②②①得e22k=48192,即(ek)22=14,所以(ek)11=12.当x=33℃时,y=e33k+b=(ek)33·eb=(e11k)3·eb=123×192=24(h).所以该食品在33℃的保鲜时间是24h.-18-234151.函数f(x)=2x-x-2的一个零点所在的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)B解析由f(0)=20-0-20,f(1)=2-1-20,f(2)=22-2-20,根据函数零点存在定理知函数的一个零点在区间(1,2)内.故选B.-19-234152.(2019河南名校联考,8)函数f(x)=-lnx+4x-3的零点个数为()A.3B.2C.1D.0B解析令f(x)=0,得lnx=4x-3,在同一平面直角坐标系中画出y=lnx,y=4x-3的图象,如图所示,由图可知,两个函数图象有两个交点,即f(x)有两个零点.-20-234153.下列函数中,在区间(-1,1)内有零点且单调递增的是()A.y=log12xB.y=2x-1C.y=x2-12D.y=-x2B解析在区间(-1,1)内单调递增的函数只有y=2x-1,当x=0时,y=20-1=0,满足题意,故选B.-21-234154.某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是()(参考数据:lg1.12≈0.05,lg1.3≈0.11,lg2≈0.30)A.2018年B.2019年C.2020年D.2021年B解析设从2015年后第n年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元,由已知得130×(1+12%)n200,∴1.12n200130.两边取常用对数得nlg1.12lg200130,∴nlg2-lg1.3lg1.12≈0.30-0.110.05=3.8,∴n≥4,故选B.-22-234155.设a=Z,函数f(x)=ex+x-a.若当x∈(-1,1)时,函数f(x)有零点,则a的取值个数为.4解析易知函数f(x)单调递增.由零点存在定理,若当x∈(-1,1)时,函数f(x)有零点,则需要满足𝑓(-1)0,𝑓(1)0,即e-1-1-𝑎0,e+1-𝑎0,解得1e-1ae+1.因为a是整数,所以a的可能取值为0,1,2,3.