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1.3平面向量与复数-2-试题统计题型命题规律复习策略(2015全国Ⅰ,文2)(2015全国Ⅰ,文3)(2015全国Ⅱ,文2)(2015全国Ⅱ,文4)(2016全国Ⅰ,文2)(2016全国Ⅰ,文13)(2016全国Ⅱ,文2)(2016全国Ⅱ,文13)(2016全国Ⅲ,文2)(2016全国Ⅲ,文3)(2017全国Ⅰ,文3)(2017全国Ⅰ,文13)(2017全国Ⅱ,文2)(2017全国Ⅱ,文4)(2017全国Ⅲ,文2)(2017全国Ⅲ,文13)(2018全国Ⅰ,文2)(2018全国Ⅰ,文7)(2018全国Ⅱ,文1)(2018全国Ⅱ,文4)(2018全国Ⅲ,文2)(2018全国Ⅲ,文13)(2019全国Ⅰ,文1)(2019全国Ⅰ,文8)(2019全国Ⅱ,文2)(2019全国Ⅱ,文3)(2019全国Ⅲ,文2)(2019全国Ⅲ,文13)选择题填空题平面向量和复数是高考命题的热点内容,每年都有考查.对向量考查的重点内容有向量加法、减法的平行四边形法则与三角形法则、两向量的数量积、向量共线与垂直的条件,考查的热点是两向量的数量积.对复数考查的重点内容有复数的基本概念、复数的几何意义、共轭复数、复数的四则运算,考查的热点是复数的乘除运算.复习备考时应抓住考查的主要题目类型进行训练,重点是平面向量的线性运算,平面向量数量积的运算,平面向量的垂直与夹角问题,复数的基本概念及复数的乘除运算,复数的几何意义.-3-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四命题热点五平面向量的线性运算【思考】向量线性运算的解题策略有哪些?例1(1)(2018全国Ⅰ,文7)在△ABC中,AD为边BC上的中线,E为AD的中点,则𝐸𝐵=()A.34𝐴𝐵−14𝐴𝐶B.14𝐴𝐵−34𝐴𝐶C.34𝐴𝐵+14𝐴𝐶D.14𝐴𝐵+34𝐴𝐶(2)在△ABC中,若D是边AB上一点,且𝐴𝐷=2𝐷𝐵,𝐶𝐷=μ𝐶𝐴+λ𝐶𝐵,则λ+μ=()A.23B.1C.-1D.-23AB-4-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四命题热点五解析(1)如图,𝐸𝐵=-𝐵𝐸=-12(𝐵𝐴+𝐵𝐷)=12𝐴𝐵−14𝐵𝐶=12𝐴𝐵−14(𝐴𝐶−𝐴𝐵)=34𝐴𝐵−14𝐴𝐶.(2)如图,由三角形法则可知,𝐶𝐷=𝐶𝐴+𝐴𝐷=𝐶𝐴+23𝐴𝐵=𝐶𝐴+23(𝐶𝐵−𝐶𝐴)=13𝐶𝐴+23𝐶𝐵.则μ=13,λ=23,故λ+μ=23+13=1.-5-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四命题热点五题后反思向量线性运算有两条基本的解题策略:一是共起点的向量求和用平行四边形法则,求差用三角形法则,求首尾相连向量的和用三角形法则;二是找出图形中的相等向量、共线向量,将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解.-6-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四命题热点五对点训练1(1)(2019山东青岛一模,6)在△ABC中,𝐴𝐷=2𝐷𝐵,𝐶𝐸=2𝐸𝐴,则()A.𝐷𝐸=13𝐶𝐴−23𝐶𝐵B.𝐷𝐸=13𝐶𝐴+23𝐶𝐵C.𝐷𝐸=23𝐶𝐴−13𝐶𝐵D.𝐷𝐸=23𝐶𝐴+13𝐶𝐵(2)(2019重庆质检,4)已知两个非零向量a,b互相垂直,若向量m=4a+5b与n=2a+λb共线,则实数λ的值为()A.5B.3C.52D.2AC-7-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四命题热点五解析(1)𝐷𝐸=𝐷𝐴+𝐴𝐸=23𝐵𝐴−13𝐶𝐴=23(𝐶𝐴−𝐶𝐵)-13𝐶𝐴=13𝐶𝐴−23𝐶𝐵.(2)∵向量m=4a+5b与n=2a+λb共线,∴存在实数t,使得m=tn,即4a+5b=t(2a+λb).又向量a,b互相垂直,∴a,b不共线.∴2𝑡=4,𝑡𝜆=5,解得𝑡=2,𝜆=52.故选C.-8-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四命题热点五平面向量数量积的运算【思考】求平面向量数量积有哪些方法?例2(1)(2019河南实验中学检测,5)已知|a|=2,|b|=3,a与b的夹角为60°,则|2a-b|=()CA.3B.23C.13D.213(2)(2019天津,文14)在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=23,AD=5,∠A=30°,点E在线段CB的延长线上,且AE=BE,则𝐵𝐷·𝐴𝐸=.-1-9-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四命题热点五解析(1)因为a·b=|a||b|cos60°=3,所以|2a-b|2=4a2-4a·b+b2=13,所以|2a-b|=13.(2)∵AD∥BC,且∠DAB=30°,∴∠ABE=30°.∵EA=EB,∴∠EAB=30°,∠AEB=120°.在△AEB中,EA=EB=2,𝐵𝐷·𝐴𝐸=(𝐵𝐴+𝐴𝐷)·(𝐴𝐵+𝐵𝐸)=-𝐵𝐴2+𝐵𝐴·𝐵𝐸+𝐴𝐷·𝐴𝐵+𝐴𝐷·𝐵𝐸=-12+23×2×cos30°+5×23×cos30°+5×2×cos180°=-22+6+15=-1.-10-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四命题热点五题后反思平面向量数量积的计算方法:(1)已知向量a,b的模及夹角θ,利用公式a·b=|a||b|cosθ求解.(2)已知向量a,b的坐标,利用数量积的坐标形式求解.即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.(3)对于向量数量积与线性运算的综合问题,可先利用数量积的运算律化简,再进行运算.-11-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四命题热点五对点训练2(1)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是,最大值是.(2)在△ABC中,A=60°,AB=3,AC=2.若𝐵𝐷=2𝐷𝐶,𝐴𝐸=λ𝐴𝐶−𝐴𝐵(λ∈R),且𝐴𝐷·𝐴𝐸=-4,则λ的值为.425311-12-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四命题热点五解析(1)设向量a,b的夹角为θ,由余弦定理,得|a-b|=12+22-2×1×2×cos𝜃=5-4cos𝜃,|a+b|=12+22-2×1×2×cos(π-𝜃)=5+4cos𝜃,则|a+b|+|a-b|=5+4cos𝜃+5-4cos𝜃.令y=5+4cos𝜃+5-4cos𝜃,则y2=10+225-16cos2𝜃∈[16,20],据此可得(|a+b|+|a-b|)max=20=25,(|a+b|+|a-b|)min=16=4.即|a+b|+|a-b|的最小值是4,最大值是25.-13-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四命题热点五(2)∵𝐵𝐷=2𝐷𝐶,∴𝐴𝐷=𝐴𝐵+𝐵𝐷=𝐴𝐵+23𝐵𝐶=𝐴𝐵+23(𝐴𝐶−𝐴𝐵)=23𝐴𝐶+13𝐴𝐵.又𝐴𝐸=λ𝐴𝐶−𝐴𝐵,A=60°,AB=3,AC=2,𝐴𝐷·𝐴𝐸=-4,∴𝐴𝐵·𝐴𝐶=3×2×12=3,23𝐴𝐶+13𝐴𝐵·(λ𝐴𝐶−𝐴𝐵)=-4,即2𝜆3𝐴𝐶2−13𝐴𝐵2+𝜆3-23𝐴𝐵·𝐴𝐶=-4,∴2𝜆3×4-13×9+𝜆3-23×3=-4,即113λ-5=-4,解得λ=311.-14-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四命题热点五平面向量的垂直与夹角问题【思考】如何求两个向量的夹角?例3(1)(2019全国Ⅰ,文8)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为()A.π6B.π3C.2π3D.5π6(2)(2019全国Ⅲ,文13)已知向量a=(2,2),b=(-8,6),则cosa,b=.B-210解析(1)因为(a-b)⊥b,所以(a-b)·b=a·b-b2=0,所以a·b=b2.设a与b的夹角为θ,则cosθ=𝑎·𝑏|𝑎||𝑏|=|𝑏|22|𝑏|2=12,所以a与b的夹角为π3,故选B.(2)cosa,b=𝑎·𝑏|𝑎||𝑏|=2×(-8)+2×622+22×(-8)2+62=-422×10=-210.-15-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四命题热点五题后反思1.求夹角的大小:若a,b为非零向量,则由平面向量的数量积公式得(夹角公式),所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题.2.确定夹角的范围:数量积大于0,说明不共线的两向量的夹角为锐角;数量积等于0,说明不共线的两向量的夹角为直角;数量积小于0,说明不共线两向量的夹角为钝角.cosθ=𝑎·𝑏|𝑎||𝑏|-16-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四命题热点五对点训练3(1)(2019安徽宣城调研,4)已知平面向量a,b,满足|a|=2,|b|=1,a与b的夹角为60°.若(a+λb)⊥b,则实数λ的值为()A.-1B.0C.1D.2(2)已知向量a=(1,3),b=(3,1),则a与b夹角的大小为.Aπ6解析(1)a·b=|a||b|cos60°=1.∵(a+λb)⊥b,∴b·(a+λb)=0,∴λ|b|2+a·b=0,即λ+1=0,解得λ=-1.(2)设a与b的夹角为θ,则cosθ=𝑎·𝑏|𝑎||𝑏|=232×2=32,且两个向量夹角的范围是[0,π],故所求的夹角为π6.-17-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四命题热点五复数的概念及运算【思考】复数运算的一般思路是怎样的?例4(1)(2019全国Ⅰ,文1)设z=3-i1+2i,则|z|=()A.2B.3C.2D.1(2)(2019全国Ⅱ,文2)设z=i(2+i),则𝑧=()A.1+2iB.-1+2iC.1-2iD.-1-2iCD解析(1)∵z=3-i1+2i,∴z=(3-i)(1-2i)(1+2i)(1-2i)=15−75i,∴|z|=152+-752=2.故选C.(2)z=2i+i2=-1+2i,则𝑧=-1-2i.故选D.-18-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四命题热点五题后反思利用复数的四则运算求复数的一般思路:(1)复数的乘法运算满足多项式的乘法法则,利用此法则运算后将实部与虚部分别写出即可.(2)复数的除法运算主要是利用分子、分母同乘分母的共轭复数进行运算化简.(3)利用复数的相关概念解题时,通常是设出复数或利用已知联立方程求解.-19-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四命题热点五对点训练4(1)若a为实数,且2+𝑎i1+i=3+i,则a=()A.-4B.-3C.3D.4(2)(2019山东济南模拟,2)若复数z=21+i,其中i为虚数单位,则下列结论正确的是()A.z的虚部为-iB.|z|=2C.z2为纯虚数D.z的共轭复数为-1-iDC解析(1)由题意,得2+ai=(3+i)(1+i)=2+4i,则a=4.(2)z=21+i=1-i.复数z的虚部为-1,A不正确;|z|=|1-i|=2,B不正确;z2=(1-i)2=-2i为纯虚数,C正确;z=1-i的共轭复数为𝑧=1+i,D不正确.-20-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四命题热点五复数的几何表示【思考】如何判断复数在复平面上的位置?例5已知复数z1,z2在复平面内对应的点关于虚轴对称,若z1=1-2i,则对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限𝑧1𝑧2A解析由题意,得z2=-1-2i,则𝑧1𝑧2=1-2i-1-2i=(1-2i)(-1+2i)(-1-2i)(-1+2i)=35+45i,其对应的点为35,45,位于第一象限.题后反思判断复数对应的点在复平面内的位置的方法:首先将复数化成a+bi(a,b∈R)的形式,然后根据实部a和虚部b的符号来确定点所在的象限.-21-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四命题热点五11-i对点训练5在复平面内,复数的共轭复数对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限D解析∵11-i=1+i(1-i)(1+i)=1+i