三角形及其性质中考复习

三角形及其性质三角形的性质三角形中的重要线段特殊三角形的性质及判定边的关系角的关系边角关系等腰三角形等边三角形直角三角形考点精讲边的关系：三角形两边的和①_____三边，两边的差②_____第三边角的关系三个内角和等于③_____任意一个外角④_____与它不相邻的两个内角的和任意一个外角大于任何一个和它不相邻的内角边角关系：同一个三角形，等边对角，等角对等边，大边对⑤______大于小于180o等于大角三角形中的重要线段四线定义性质图形中线连接一个顶点与它对边中点的线段BD=⑥___高线从三角形一个顶点到它对边所在直线的垂线段AD⊥BC即∠ADB=∠ADC=⑦__角平分线一个内角的平分线与这个角的对边相交，顶点与交点之间的线段∠1=∠2中位线连接三角形两边中点的线DE∥BC且DE＝⑧____BC90°DC21等腰三角形性质（1）两腰相等（2）两个底角相等（简写成“等边对等角”)（3）顶角的⑨_____，底边上的⑩___和底边的中线互相重合（简写成“三线合一”）（4）是轴对称图形，有__条对称轴判定判定（1）有两边相等的三角形是等腰三角形（2）有两角相等的三角形是等腰三角形面积计算公式：,其中a是底边长，h是底边上的高平分线高线ahS21一等边三角形性质（1）三条边相等（2）三个内角相等，且每个角都等__（3）是轴对称图形，有三条对称轴判定（1）三边都相等的三角形是等边三角形（定义）（2）三角都相等的三角形是等边三角形（3）有一个角是__的等腰三角形是等边三角形面积计算公式：,a是三角形任意一边的长，h是此边上的高60°60°ahS21直角三角形性质（1）直角三角形两锐角之和等于__（2）如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形斜边上的中线等于________(3)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的____（4）勾股定理：若直角三角形的两直角边分别为a,b,斜边为c，则有a2+b2=c2（5）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于____（6）直角三角形的面积等于两直角边乘积的____90°斜边的一半30°一半一半判定（1）有一个角为____的三角形是直角三角形（2）勾股定理逆定理：若a2+b2=c2，则以a、b、c为边的三角形是直角三角形（3）一条边的中线____这条边的一半的三角形是直角三角形（4）有两个角____的三角形是直角三角形面积计算公式：,其中a,b为两个直角边，c为斜边，h为斜边上的高90°等于互余chabS2121直角三角形等腰三角形的相关计算练习1（2015荆门）已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长为()A.8和10B.8C.10D.6或12C【解析】题目条件给出了两边，没有明确是底还是腰，所以要进行分类讨论，分类后用三角形三边关系去验证每种情况是否都成立.当2为腰长时，三边为2，2，4，此时不能构成三角形；当2为底边长时，三边为2，4，4，此时能构成三角形，周长为10.练习2(2015乐山)如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC,DE垂直平分AB,已知∠ADE＝40°，则∠DBC=____.15°【解析】∵DE垂直平分AB,∴AD=BD,∠AED=90°,∴∠A=∠ABD,∴∠ADE=40°，∴∠A=90°-40°=50°,∴∠ABD=∠A=50°,∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=（180°-∠A)=65°,∴∠DBC=∠ABC=∠ABD=65°-50°=15°.12直角三角形的相关计算例1（2015大连）如图，例1题图在△ABC中，∠C=90°,AC=2,点D在BC上，∠ADC=2∠B，AD=5，则BC的长为()ABCD31315151【解析】∵∠ADC=2∠B,∠ADC=∠B+∠BAD,∴∠B=∠DAB,∴BD=AD=5，在Rt△ADC中，由勾股定理得∴BC=BD+DC=.【答案】D1252222ACADDC15D练习3在△ABC中，若AC=15,BC=13,AB边上的高CD＝12，则△ABC的周长为()A.32B.42C.40或42D.32或42D【解析】∵AC=15，BC=13，AB边上的高CD=12，∴由勾股定理得,如解图①，CD在△ABC内部时，AB=AD+BD=9+5=14，此时△ABC的周长为14+13+15=42；如解图②，CD在△ABC外部时，AB=AD-BD=9-5=4，此时，△ABC的周长为4+13+15=32.综上所述，△ABC的周长为32或42.222215129ADACCD222213125BDBCCD练习3解图①练习3解图②练习4如图,Rt△ABC中,AB=9,BC=6,∠B=90°,将△ABC折叠,使A点与BC的中点D重合,折痕为MN,则线段BN的长为____.4【解析】根据折叠性质得出AN=DN,设BN=x,则DN=AN=9-x,又∵D是BC的中点，∴BD=3.在Rt△NBD中，由勾股定理得BN2+BD2=DN2，即x2+32=(9-x)2,解得x=4,即BN=4.直角三角形中求线段长：①可利用30°角所对的直角边等于斜边的一半；②斜边中线等于斜边的一半；③勾股定理.若三角形不是直角三角形，则可构造直角三角形.重点等腰直角三角形的相关证明及计算例2如图，已知等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC=BC，点G在BC上，连接AG，过点C作CF⊥AG，垂足为点E,过点B作BF⊥CF于点F，点D是AB的中点，连接DE、DF，CF与AB交点为P.（1）若∠CAG＝30°，EG＝1，求BG的长；（2）求证：∠AED=∠DFE.（1）解：∵∠ACB=90°,CF⊥AG,∴∠CAG+∠ACE=90°，∠ECG+∠ACE=90°，∴∠CAG=∠ECG=30°,∵EG=1,sin30°=∴CG=2,CE=，CGEG3∵sin30°=,∴AC=,∵AC=BC,∴BC=,∴BG＝BC-CG=.ACCE2323232(2)证明：如解图，连接CD,易证∴△ACE≌△CBF(AAS),∠CAE=∠FCB∠AEC=∠CFBAC=BC，∴CE=BF,∵等腰Rt△ABC中，点D是AB的中点，∴CD=BD,∵CD⊥BD,CF⊥FB,∴∠DCE+∠DPC=∠FBP+∠FPB=90°，例2题解图∵∠DPC=∠FPB,∴∠DCE=∠DBF,∴△DCE≌△DBF(SAS),∴∠CED=∠BFD,又∵∠AEC=∠CFB=90°，∴∠AED=∠DFE.CE=BF∠DCE=∠DBFDC=BD,易证练习5如图，在△ABC中，点D在AB上，且CD=CB，点E为BD的中点，点F为AC的中点，连接EF交CD于点M，连接AM．(1)求证：EF=12AC;(2)若∠BAC=45°，求线段AM、DM、BC之间的数量关系（1）证明：∵CD=CB，点E为BD的中点，∴CE⊥BD，∴∠AEC＝90°，∵点F为AC的中点，∴EF为Rt△AEC斜边上的中线，∴EF=12AC.（2）解：∵∠BAC=45°，CE⊥BD，∴△AEC是等腰直角三角形，∵点F为AC的中点，∴EF垂直平分AC，∴AM=CM，∵CD=CM+DM=AM+DM，CD=CB，∴BC=AM+DM.