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1.2不等关系及简单不等式的解法知识梳理-2-知识梳理双基自测234151.两个实数比较大小的法则关系法则作差法则作商法则aba-b0ab1(b0)或ab1(b0)a=ba-b=0ab1(b≠0)aba-b0ab1(b0)或ab1(b0)=知识梳理-3-知识梳理双基自测234152.不等式的性质(1)对称性:ab⇔ba.(2)传递性:ab,bc⇒.(3)可加性:ab⇔a+cb+c;ab,cd⇒a+cb+d.(4)可乘性:ab,c0⇒acbc;ab,c0⇒acbc;ab0,cd0⇒acbd.(5)可乘方:ab0⇒anbn(n∈N,n≥1).(6)可开方:ab0⇒𝑎𝑛𝑏𝑛(n∈N,n≥2).ac知识梳理-4-知识梳理双基自测234153.不等式的常用性质(1)倒数的性质①ab,ab0⇒1𝑎1𝑏.②a0b⇒1𝑎1𝑏.③ab0,0cd⇒𝑎𝑐𝑏𝑑.④0axb或axb0⇒1𝑏1𝑥1𝑎.(2)有关分数的性质若ab0,m0,则①𝑏𝑎𝑏+𝑚𝑎+𝑚;𝑏𝑎𝑏-𝑚𝑎-𝑚(b-m0).②𝑎𝑏𝑎+𝑚𝑏+𝑚;𝑎𝑏𝑎-𝑚𝑏-𝑚(b-m0).知识梳理-5-知识梳理双基自测234154.三个“二次”之间的关系判别式Δ=b2-4acΔ0Δ=0Δ0二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根有两个相异实根x1,x2(x1x2)有两个相等实根x1=x2=-b2a没有实数根ax2+bx+c0(a0)的解集xx≠-b2aRax2+bx+c0(a0)的解集{x|xx2或xx1}{x|x1xx2}⌀⌀知识梳理-6-知识梳理双基自测234155.(x-a)(x-b)0或(x-a)(x-b)0型不等式的解法不等式解集aba=bab(x-a)·(x-b)0{x|xa或xb}(x-a)·(x-b)0{x|bxa}{x|x≠a}{x|xb或xa}{x|axb}⌀知识梳理2-7-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“”,错误的打“×”.(1)ab⇔ac2bc2.()(3)若关于x的不等式ax2+bx+c0的解集为(x1,x2),则必有a0.()(5)若关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根,则关于x的不等式ax2+bx+c0的解集为R.()(4)不等式𝑥-2𝑥+1≤0的解集是[-1,2].()(2)ab0,cd0⇒𝑎𝑑𝑏𝑐.()答案答案关闭(1)×(2)√(3)√(4)×(5)×知识梳理-8-知识梳理双基自测234152.已知a,b∈R,下列命题正确的是()A.若ab,则|a||b|B.若ab,则1𝑎1𝑏C.若|a|b,则a2b2D.若a|b|,则a2b2答案解析解析关闭当a=1,b=-2时,A不正确,B不正确,C不正确;对于D,a|b|≥0,则a2b2,故选D.答案解析关闭D知识梳理-9-知识梳理双基自测234153.若0ab1,则下列不等式成立的是()A.a3b3B.1𝑎1𝑏C.ab1D.lg(b-a)0答案解析解析关闭∵0ab1,∴0b-a1,∴lg(b-a)0.答案解析关闭D知识梳理4.已知全集为R,集合A=,B={x|x2-6x+8≤0},则A∩(∁RB)=()A.{x|0≤x2或x4}B.{x|0x≤2或x≥4}C.{x|0≤x2}D.{x|2≤x≤4}-10-知识梳理双基自测23415答案解析解析关闭∵12𝑥≤1,∴x≥0.∴A={x|x≥0}.∵x2-6x+8≤0,即(x-2)(x-4)≤0.∴2≤x≤4.∴B={x|2≤x≤4}.∴∁RB={x|x2或x4}.∴A∩(∁RB)={x|0≤x2或x4},故选A.答案解析关闭A𝑥12𝑥≤1知识梳理-11-知识梳理双基自测23415答案解析解析关闭要使函数有意义,必须3-2x-x2≥0,即x2+2x-3≤0,解得-3≤x≤1.故函数y=3-2𝑥-𝑥2的定义域是[-3,1].答案解析关闭[-3,1]5.函数y=3-2𝑥-𝑥2的定义域是.-12-考点1考点2考点3考点4考点1比较两个数(式)的大小例1(1)已知a1,a2∈(0,1),记M=a1a2,N=a1+a2-1,则M与N的大小关系是()A.MNB.MNC.M=ND.不确定A.abcB.cbaC.cabD.bac思考比较两个数(式)的大小常用的方法有哪些?(2)若a=ln33,b=ln44,c=ln55,则()答案答案关闭(1)B(2)B-13-考点1考点2考点3考点4解析:(1)M-N=a1a2-(a1+a2-1)=a1a2-a1-a2+1=(a1-1)(a2-1).∵a1∈(0,1),a2∈(0,1),∴a1-10,a2-10.∴(a1-1)(a2-1)0,即M-N0.∴MN.(2)(方法一)由题意可知a,b,c都是正数.由𝑏𝑎=3ln44ln3=log81641,可知ab;由𝑏𝑐=5ln44ln5=log62510241,可知bc.故cba.(方法二)令f(x)=ln𝑥𝑥,可得f'(x)=1-ln𝑥𝑥2.易知当xe时,f'(x)0,即f(x)单调递减.因为e345,所以f(3)f(4)f(5),即cba.-14-考点1考点2考点3考点4解题心得比较大小常用的方法有作差法、作商法、构造函数法.(1)作差法的一般步骤:①作差;②变形;③定号;④下结论.变形常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.(2)作商法一般适用于分式、指数式、对数式,作商只是思路,关键是化简变形,从而使结果能够与1比较大小.(3)构造函数法:构造函数,利用函数单调性比较大小.提示:当两个代数式正负不确定且为多项式形式时,常用作差法比较大小;当两个代数式均为正且均为幂的乘积式时,常用作商法比较大小.-15-考点1考点2考点3考点4对点训练1(1)已知实数a,b,c满足b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,则a,b,c的大小关系是()A.c≥baB.ac≥bC.cbaD.acb(2)已知a,b是实数,且eab,其中e是自然对数的底数,则ab与ba的大小关系是.答案答案关闭(1)A(2)abba-16-考点1考点2考点3考点4解析:(1)∵c-b=4-4a+a2=(a-2)2≥0,∴c≥b.又b+c=6-4a+3a2,∴2b=2+2a2.∴b=a2+1.∴b-a=a2-a+1=𝑎-122+340,∴ba.∴c≥ba.(2)令f(x)=ln𝑥𝑥,则f'(x)=1-ln𝑥𝑥2.当xe时,f'(x)0,所以f(x)在(e,+∞)上单调递减,因为eab,所以f(a)f(b),即ln𝑎𝑎ln𝑏𝑏.所以blnaalnb.所以abba.-17-考点1考点2考点3考点4考点2不等式的性质及应用例2(1)如果a∈R,且a2+a0,那么a,a2,-a,-a2的大小关系是()A.a2a-a2-aB.a2-aa-a2C.-aa2a-a2D.-aa2-a2a(2)若ab0,cd0,则一定有()A.𝑎𝑐𝑏𝑑B.𝑎𝑐𝑏𝑑C.𝑎𝑑𝑏𝑐D.𝑎𝑑𝑏𝑐思考判断多个不等式是否成立的常用方法有哪些?答案解析解析关闭(1)由a2+a0,即a(a+1)0,解得-1a0.由不等式的性质可知-aa20,而a-a20,所以a-a20a2-a.故选D.(2)解法一:由cd0,得cd0.又cd0,则𝑐𝑐𝑑𝑑𝑐𝑑0,故1𝑑1𝑐0,-1𝑑-1𝑐0.又ab0,则-𝑎𝑑-𝑏𝑐,𝑎𝑑𝑏𝑐.解法二:依题意取a=2,b=1,c=-2,d=-1,代入验证知A,B,C错误,只有D正确.答案解析关闭(1)D(2)D-18-考点1考点2考点3考点4解题心得判断多个不等式是否成立的常用方法:方法一是直接使用不等式性质,逐个验证;方法二是用特殊值法,即举反例排除.而常见的反例构成方式可从以下几个方面思考:(1)不等式两边都乘以一个代数式时,要注意所乘的代数式是正数、负数还是0;(2)不等式左边是正数,右边是负数,两边同时平方后不等号方向不一定保持不变;(3)不等式左边是正数,右边是负数,两边同时取倒数后不等号方向不变等.-19-考点1考点2考点3考点4对点训练2(1)若a1b-1,则下列不等式恒成立的是()A.ab2B.1𝑎1𝑏C.1𝑎1𝑏D.a22b答案解析解析关闭对于A,∵-1b1,∴0≤b21.∵a1,∴ab2,故A正确;对于B,若a=2,b=12,此时满足a1b-1,但1𝑎1𝑏,故B错误;对于C,若a=2,b=-12,此时满足a1b-1,但1𝑎1𝑏,故C错误;对于D,若a=98,b=34,此时满足a1b-1,但a22b,故D错误.答案解析关闭A-20-考点1考点2考点3考点4(2)下列命题正确的是()A.若ab,cd,则acbdB.若acbc,则abC.若𝑎𝑐2𝑏𝑐2,则abD.若ab,cd,则a-cb-d答案解析解析关闭取a=2,b=1,c=-1,d=-2,可知A错误;当c0时,acbc⇒ab,∴B错误;∵𝑎𝑐2𝑏𝑐2,∴c≠0,∴c20,∴ab,C正确;取a=c=2,b=d=1,可知D错误.答案解析关闭C-21-考点1考点2考点3考点4考点3简单不等式的解法(多考向)考向一不含参数的一元二次不等式例3不等式-2x2+x+30的解集为.思考如何求解不含参数的一元二次不等式?答案解析解析关闭∵-2x2+x+30,∴2x2-x-30.解方程2x2-x-3=0得x1=-1,x2=32.∴不等式2x2-x-30的解集为(-∞,-1)∪32,+∞,即原不等式的解集为(-∞,-1)∪32,+∞.答案解析关闭(-∞,-1)∪32,+∞-22-考点1考点2考点3考点4考向二分式不等式思考解分式不等式的基本思路是什么?例4不等式3𝑥+13-𝑥≥-1的解集为.答案解析解析关闭由3𝑥+13-𝑥≥-1,得3𝑥+13-𝑥+1≥0,即2𝑥+4𝑥-3≤0,即(2𝑥+4)(𝑥-3)≤0,𝑥≠3,解得-2≤x3.答案解析关闭[-2,3)-23-考点1考点2考点3考点4考向三含参数的一元二次不等式例5解关于x的不等式:x2-(a+1)x+a0.思考解含参数的一元二次不等式时,分类讨论的依据是什么?解由x2-(a+1)x+a=0得(x-a)(x-1)=0,故x1=a,x2=1.当a1时,x2-(a+1)x+a0的解集为{x|1xa},当a=1时,x2-(a+1)x+a0的解集为⌀,当a1时,x2-(a+1)x+a0的解集为{x|ax1}.-24-考点1考点2考点3考点4解题心得1.不含参数的一元二次不等式的解法:当二次项系数为负时,要先把二次项系数化为正,再根据判别式符号判断对应方程根的情况,并求出相应方程的两个根,最后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集.2.解分式不等式时,切忌直接去分母,一般先通过移项、通分,将或高次不等式.分式不等式化简为𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)0或𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)0的形式,再等价转化为整式不等式𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)0,𝑔(𝑥)≠0或𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)0,𝑔(𝑥)≠0的形式,即转化为一次、二次-25-考点1考点2考点3考点43.解含参数的一元二次不等式要分类讨论,分类讨论的依据是:(1)二次项中若含有参数应先讨论是