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第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念与运算知识梳理-3-知识梳理双基自测234151.集合的含义与表示(1)集合元素的三个性质特征:、、.(2)元素与集合的关系是或,用符号或表示.(3)集合的表示法:、、.(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号确定性互异性无序性属于不属于∈∉列举法描述法Venn图法NN*(或N+)ZQR知识梳理关系自然语言符号表示Venn图子集集合A中的所有元素都在集合B中(即若x∈A,则x∈B)或真子集集合A是集合B的子集,且集合B中至少有一个元素不在集合A中相等集合A,B中的元素相同或集合A,B互为子集-4-知识梳理双基自测234152.集合间的基本关系A⊆B(或B⊇A)A⫋B(或B⫌A)A=B知识梳理-5-知识梳理双基自测234153.集合的运算集合的并集集合的交集集合的补集图形符号A∪B=A∩B=∁UA={x|x∈A或x∈B}{x|x∈A,且x∈B}{x|x∈U,且x∉A}知识梳理-6-知识梳理双基自测234154.集合的运算性质(1)并集的性质:A∪⌀=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A⇔.(2)交集的性质:A∩⌀=⌀;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A⇔.(3)补集的性质:A∩(∁UA)=⌀;A∪(∁UA)=U;∁U(∁UA)=;∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB);∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB).B⊆AA⊆BA知识梳理-7-知识梳理双基自测234155.集合关系的常用结论若有限集A中有n个元素,则A的子集有个,非空子集有个,真子集有个.2n2n-12n-1知识梳理-8-知识梳理双基自测234151.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)在集合{x2+x,0}中,实数x可取任意值.()(2){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.()(3)A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B;(A∩B)⊆(A∪B).()(4)若A∩B=A∩C,则B=C.()(5)(教材习题改编P5T2(3))直线y=x+3与y=-2x+6的交点构成的集合是{1,4}.()答案答案关闭(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×知识梳理-9-知识梳理双基自测234152.设集合A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0}.若A∩B={1},则B=()A.{1,-3}B.{1,0}C.{1,3}D.{1,5}答案解析解析关闭由A∩B={1},可知1∈B,所以m=3,即B={1,3},故选C.答案解析关闭C知识梳理-10-知识梳理双基自测234153.设全集U={x∈N*|x≤4},集合A={1,4},B={2,4},则∁U(A∩B)=()A.{1,2,3}B.{1,2,4}C.{1,3,4}D.{2,3,4}答案解析解析关闭解析∵A={1,4},B={2,4},∴A∩B={4}.又U={x∈N*|x≤4}={1,2,3,4},∴∁U(A∩B)={1,2,3}答案解析关闭A知识梳理-11-知识梳理双基自测234154.已知集合A={x|x1},B={x|3x1},则()A.A∩B={x|x0}B.A∪B=RC.A∪B={x|x1}D.A∩B=⌀答案解析解析关闭∵3x1=30,∴x0,∴B={x|x0},∴A∩B={x|x0},A∪B={x|x1}.故选A.答案解析关闭B知识梳理-12-知识梳理双基自测234155.(2018全国Ⅲ,理1)已知集合A={x|x-1≥0},B={0,1,2},则A∩B=()A.{0}B.{1}C.{1,2}D.{0,1,2}答案解析解析关闭由题意得A={x|x≥1},B={0,1,2},∴A∩B={1,2}.答案解析关闭C例1(1)已知集合A={x|y=,x∈Z},B={p-q|p∈A,q∈A},则集合B中元素的个数为()A.1B.3C.5D.7思考求集合中元素的个数或求集合元素中的参数的值要注意什么?-13-考点1考点2考点3考点1集合的基本概念(2)设a,b∈R,集合{1,a+b,a}=0,𝑏𝑎,𝑏,则b-a=.1-𝑥2答案解析解析关闭(1)由题意知A={-1,0,1},当p=-1,q=-1,0,1时,p-q=0,-1,-2;当p=0,q=-1,0,1时,p-q=1,0,-1;当p=1,q=-1,0,1时,p-q=2,1,0.根据集合中元素的互异性可知,集合B中的元素为-2,-1,0,1,2,共5个.故选C.(2)因为{1,a+b,a}=0,𝑏𝑎,𝑏,a≠0,所以a+b=0,所以𝑏𝑎=-1,所以a=-1,b=1,所以b-a=2.答案解析关闭(1)C(2)2-14-考点1考点2考点3解题心得与集合中的元素有关问题的求解策略:(1)确定集合中的代表元素是什么,即集合是数集、点集还是其他形式的集合.(2)看这些元素满足什么限制条件.(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数,但要注意检验集合是否满足元素的互异性.-15-考点1考点2考点3对点训练1(1)(2018全国Ⅱ,理2)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为()A.9B.8C.5D.4(2)已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,则m的值为.答案解析解析关闭(1)当x=-1时,y=0或y=1或y=-1,当x=0时,y=1或y=-1或y=0,当x=1时,y=0或y=1或y=-1.故集合A中共有9个元素.(2)由题意得m+2=3或2m2+m=3,即m=1或m=-32.当m=1时,m+2=3,2m2+m=3,根据集合中元素的互异性可知不满足题意;当m=-32时,m+2=12,2m2+m=3,满足题意.故m=-32.答案解析关闭(1)A(2)-32-16-考点1考点2考点3考点2集合间的基本关系(多考向)考向一判断集合间的关系例2已知集合A={x|y=ln(x+3)},B={x|x≥2},则下列结论正确的是()A.A=BB.A∩B=⌀C.A⊆BD.B⊆A思考判定集合间的基本关系有哪些方法?解决集合间的基本关系的常用技巧有哪些?答案解析解析关闭∵A={x|y=ln(x+3)},∴A={x|x-3}.又B={x|x≥2},∴B⊆A.答案解析关闭D-17-考点1考点2考点3考向二利用集合间的关系求参数的值或范围例3已知集合A={x|x-1或x4},B={x|2a≤x≤a+3}.若B⊆A,则实数a的取值范围为.思考已知集合间的关系,如何求参数的值或范围?答案解析解析关闭当B=⌀时,只需2aa+3,即a3.当B≠⌀时,根据题意作出如图所示的数轴,可得𝑎+3≥2𝑎,𝑎+3-1或𝑎+3≥2𝑎,2𝑎4,解得a-4或2a≤3.综上可得,实数a的取值范围为(-∞,-4)∪(2,+∞).图(1)图(2)答案解析关闭(-∞,-4)∪(2,+∞)-18-考点1考点2考点3解题心得1.判定集合间的基本关系有两种方法.方法一:化简集合,从表达式中寻找集合的关系;方法二:用列举法(或图示法等)表示各个集合,从元素(或图形)中寻找关系.2.解决集合间的基本关系的常用技巧:(1)若给定的集合是不等式的解集,则用数轴求解;(2)若给定的集合是点集,则用数形结合法求解;(3)若给定的集合是抽象集合,则常用Venn图求解.3.已知集合间的关系,求参数时,用数形结合的方法,建立关于参数的方程(组)或不等式(组),求出参数的值或范围.若未指明集合非空,则应考虑空集的情况,即由A⊆B知,存在A=⌀和A≠⌀两种情况,需要分类讨论;此外,集合中含有参变量时,求得结果后还需要利用元素互异性进行检验.对点训练2(1)已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0x5,x∈N},则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为()A.1B.2C.3D.4(2)已知集合A={x|x2-2017x+20160},B={x|xa},若A⊆B,则实数a的取值范围是.-19-考点1考点2考点3答案解析解析关闭(1)由x2-3x+2=0得x=1或x=2,故A={1,2}.由题意知B={1,2,3,4},因此满足A⊆C⊆B的集合C有{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4},共4个.(2)由x2-2017x+20160,解得1x2016,故A={x|1x2016}.又B={x|xa},A⊆B,如图所示,可知a≥2016.答案解析关闭(1)D(2)[2016,+∞)-20-考点1考点2考点3考点3集合的基本运算(多考向)考向一求交集、并集或补集例4(1)设集合A={1,2,6},B={2,4},C={x∈R|-1≤x≤5},则(A∪B)∩C=()A.{2}B.{1,2,4}C.{1,2,4,6}D.{x∈R|-1≤x≤5}答案解析解析关闭∵A={1,2,6},B={2,4},∴A∪B={1,2,4,6}.∵C={x∈R|-1≤x≤5},∴(A∪B)∩C={1,2,4}.故选B.答案解析关闭B-21-考点1考点2考点3(2)已知集合M={x|-1≤x2},N={y|ya},若M∩N≠⌀,则实数a的取值范围是()A.-1≤a2B.a≤2C.a≥-1D.a-1思考若集合中的元素含有参数,求集合中的参数有哪些技巧?答案解析解析关闭∵B={x|x≥1},∴∁RB={x|x1}.∵A={x|0x2},∴A∩(∁RB)={x|0x1}.故选B.答案解析关闭B-22-考点1考点2考点3考向二已知集合运算求参数例5(1)已知集合A={1,3,},B={1,m},A∪B=A,则m等于()A.0或B.0或3C.1或D.1或3(2)集合M={x|-1≤x2},N={y|ya},若M∩N≠⌀,则实数a的取值范围是()A.-1≤a2B.a≤2C.a≥-1D.a-1思考若集合中的元素含有参数,求集合中的参数有哪些技巧?√𝑚√3√3答案解析解析关闭(1)由A∪B=A得B⊆A,则m∈A,故有m=√𝑚或m=3,即m=3或m=1或m=0.由集合中元素的互异性知m≠1,故选B.(2)M={x|-1≤x2},N={y|ya},且M∩N≠⌀,如图,只要a-1即可.答案解析关闭(1)B(2)D-23-考点1考点2考点3解题心得1.集合的基本运算的求解策略:(1)求解思路一般是先化简集合,再由交、并、补的定义求解.(2)求解原则一般是先算括号里面的,再按运算顺序求解.(3)求解思想一般是注重数形结合思想的运用,利用好数轴、Venn图等.2.一般来讲,若集合中的元素是离散的,则用Venn图表示,根据画出的Venn图得到关于参数的一个或多个方程,求出参数后要验证是否与集合元素的互异性矛盾;若集合中的元素是连续的,则用数轴表示,根据数轴得到关于参数的不等式,解之得到参数的范围,此时要注意端点的情况.-24-考点1考点2考点3对点训练3(1)已知集合A={x|(x-1)(x-2)·(x-3)=0},集合B={x|y=},则集合A∩B的真子集的个数是()A.1B.2C.3D.4(2)已知集合P={x∈R|1≤x≤3},Q={x∈R|x2≥4},则P∪(∁RQ)=()A.[2,3]B.(-2,3]C.[1,2)D.(-∞,-2]∪[1,+∞)√𝑥-2(3)已知集合A={x|y=},B={x|a≤x≤a+1},若A∩B=B,则实数a的取值范围是.(4)设U=R,集合A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2+(m+1)x+m=0},若(∁UA)∩B=⌀,则m的值是.4-𝑥2答案答案关闭(1)C(2)B(3)[-2,1](4)1或2-25-考点1考点2考点3解析:(1)因为集合A={1,2,3},集合B={x|x≥2},所以A∩B={2,3}.所以A∩B的真子集有⌀,{2},{3}.故选C.又A={x|-2≤x≤2},B={x|a≤x≤a+1},所以𝑎≥-2,𝑎+1≤2,即-2≤a≤1.(3)因为A∩B=B,所以B⊆A.(2)因为Q={x|x≤-2或x≥2},所以∁RQ={x|