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3.4定积分与微积分基本定理知识梳理-2-知识梳理双基自测23141.定积分的定义如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,用分点a=x0x1…xi-1xi…xn=b将区间[a,b]等分成n个小区间,在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点ξi(i=1,2,…,n),作和式∑𝑖=1𝑛f(ξi)Δx=∑i=1n𝑏-𝑎𝑛f(ξi),当n→∞时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作𝑏𝑎f(x)dx.知识梳理-3-知识梳理双基自测23142.定积分的几何意义(1)当函数f(x)在区间[a,b]上连续且恒有f(x)≥0时,定积分的几何意义是由直线x=a,x=b,y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积(图①中阴影部分).𝑏𝑎f(x)dx图①图②(2)一般情况下,定积分的几何意义是介于x轴、曲线y=f(x)以及直线x=a,x=b之间的曲边梯形面积的代数和(图②中阴影部分),其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值,在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数.𝑏𝑎f(x)dx知识梳理-4-知识梳理双基自测23143.定积分的性质(1)𝑏𝑎kf(x)dx=(k为常数);(2)𝑏𝑎[f(x)±g(x)]dx=;(3)𝑏𝑎f(x)dx=(其中acb).k𝑏𝑎f(x)dx𝑏𝑎f(x)dx±𝑏𝑎g(x)dx𝑐𝑎f(x)dx+𝑏𝑐f(x)dx知识梳理-5-知识梳理双基自测23144.微积分基本定理一般地,如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且F'(x)=f(x),那么𝑏𝑎f(x)dx=.这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿—莱布尼茨公式,其中F(x)叫做f(x)的一个原函数.为了方便,我们常把F(b)-F(a)记作,即𝑏𝑎f(x)dx=F(x)|𝑎𝑏=F(b)-F(a).F(b)-F(a)F(x)|𝑎𝑏知识梳理1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续,则𝑏𝑎f(x)dx=𝑏𝑎f(t)dt.()(2)若f(x)是连续的偶函数,则𝑎-𝑎f(x)dx=2𝑎0f(x)dx;若f(x)是连续的奇函数,则𝑎-𝑎f(x)dx=0.()(3)在区间[a,b]上连续的曲线y=f(x)和直线x=a,x=b(a≠b),y=0所围成的曲边梯形的面积S=𝑏𝑎|f(x)|dx.()(4)若𝑏𝑎f(x)dx0,则由y=f(x),x=a,x=b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方.()(5)已知质点的速度v=10t,则质点从t=0到t=t0所经过的路程是𝑡0010tdt=5𝑡02.()2-6-知识梳理双基自测341答案答案关闭(1)√(2)√(3)√(4)×(5)√知识梳理-7-知识梳理双基自测23412.计算定积分e11+1𝑥dx=()A.e-1B.eC.e+1D.1+1e答案解析解析关闭e11+1𝑥dx=(x+lnx)|1e=e+1-1=e.答案解析关闭B知识梳理-8-知识梳理双基自测23413.若21(x-a)dx=π40cos2xdx,则a等于()A.-1B.1C.2D.4答案解析解析关闭∵21(x-a)dx=12𝑥2-𝑎𝑥|12=32-a,π40cos2xdx=12sin2x|0π4=12,∴12=32-a,即a=1.答案解析关闭B知识梳理-9-知识梳理双基自测23417-3t+251+𝑡4.一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度v(t)=(t的单位:s,v的单位:m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)为m.答案解析解析关闭由v(t)=0,得t=4或t=-83(舍去),故汽车行驶的距离s=407-3𝑡+251+𝑡dt=7𝑡-32𝑡2+25ln(1+𝑡)|04=28-24+25ln5=4+25ln5(m).答案解析关闭4+25ln5-10-考点1考点2考点3考点1定积分的计算例1计算下列定积分:(1)3-1(3x2-2x+1)dx;(2)21𝑥-1𝑥dx;(3)π0(sinx-cosx)dx;(4)20|1-x|dx.思考计算定积分有哪些步骤?-11-考点1考点2考点3解:(1)3-1(3x2-2x+1)dx=(x3-x2+x)|-13=24.(2)21𝑥-1𝑥dx=12𝑥2-ln𝑥|12=32-ln2.(3)π0(sinx-cosx)dx=π0sinxdx-π0cosxdx=(-cosx)|π0-sinx|π0=2.(4)20|1-x|dx=10(1-x)dx+21(x-1)dx=𝑥-12𝑥2|01+12𝑥2-𝑥|12=1-12-0+12×22-2−12×12-1=1.-12-考点1考点2考点3解题心得计算定积分的解题步骤:(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差.(2)把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分.(3)分别用求导公式的逆运算找到一个相应的原函数.(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值,然后求其代数和.-13-考点1考点2考点3对点训练1(1)若f(x)=x2+210f(x)dx,则10f(x)dx=()A.-1B.-13C.13D.1(2)定积分2-2|x2-2x|dx=()A.5B.6C.7D.8(3)若𝑇0x2dx=9,则常数T的值为.(4)101-(𝑥-1)2dx=.答案：(1)B(2)D(3)3(4)π4-14-考点1考点2考点3解析:(1)∵10f(x)dx=10x2dx+102𝑓10(𝑥)d𝑥dx=13x3|01+2𝑓10(𝑥)d𝑥𝑥|01=13+210f(x)dx,∴10f(x)dx=-13.故选B.(2)∵|x2-2x|=𝑥2-2𝑥,-2≤𝑥0,-𝑥2+2𝑥,0≤𝑥≤2,∴2-2|x2-2x|dx=0-2(x2-2x)dx+20(-x2+2x)dx=13𝑥3-𝑥2|-20+-13𝑥3+𝑥2|02=8.(3)∵13𝑥3'=x2,∴𝑇0x2dx=13x3|0𝑇=13T3-0=9,∴T=3.-15-考点1考点2考点3(4)根据定积分的几何意义,可知101-(𝑥-1)2dx表示的是圆(x-1)2+y2=1的面积的14(如图所示的阴影部分).故101-(𝑥-1)2dx=π4.-16-考点1考点2考点3考点2利用定积分求平面图形的面积例2(1)由曲线y=√𝑥,直线y=x-2及y轴所围成的图形的面积为()A.103B.4C.163D.6(2)曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭图形的面积为.思考用定积分求平面图形的面积的步骤有哪些?答案:(1)C(2)16-17-考点1考点2考点3解析:(1)由题意知,所围成的面积40[√𝑥-(x-2)]dx=23𝑥32-12𝑥2+2𝑥|04=23×432−12×42+2×4=163.(2)在同一平面直角坐标系中作出函数y=x2与y=x的图象如图,所围成的封闭图形如图中阴影部分,设其面积为S.由𝑦=𝑥2,𝑦=𝑥,得𝑥=0,𝑦=0或𝑥=1,𝑦=1.故所求面积S=10(x-x2)dx=12𝑥2-13𝑥301=16.-18-考点1考点2考点3解题心得利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤:(1)画出图形;(2)确定被积函数;(3)求出交点坐标,并确定积分的上、下限;(4)运用微积分基本定理计算定积分,求出平面图形的面积.-19-考点1考点2考点3对点训练2(1)直线l过抛物线C:x2=4y的焦点且与y轴垂直,则l与C所围成的图形的面积等于()A.43B.2C.83D.16√23答案解析解析关闭由题意可知,直线l的方程为y=1.如图,B点坐标为(2,1),则所求面积S=4-220𝑥24dx=4-2𝑥312|02=83,故选C.答案解析关闭C-20-考点1考点2考点3(2)如图,在边长为2的正方形ABCD中,M是AB的中点,则过C,M,D三点的抛物线与CD围成的阴影部分的面积是()A.23B.43C.52D.83答案解析解析关闭由题意,建立如图所示的平面直角坐标系,则D(2,1),设抛物线方程为y2=2px(p0),将D(2,1)代入,可得p=14,∴y=±12𝑥.∴所求阴影部分面积S=22012𝑥dx=√2·23𝑥32|02=83,故选D.答案解析关闭D-21-考点1考点2考点3考点3定积分在物理中的应用例3(1)从空中自由下落的一个物体,在第一秒末恰好经过电视塔顶,在第二秒末物体落地.已知自由落体的运动速度为v=gt(g为常数),则电视塔高为()(2)设变力F(x)作用在质点M上,使M沿x轴正向从x=1运动到x=10,已知F(x)=x2+1,且方向和x轴正向相同,则变力F(x)对质点M所做的功为J(x的单位:m;力的单位:N).思考利用定积分解决变速运动问题和变力做功问题的关键是什么?A.12gB.gC.32gD.2g答案解析解析关闭(1)由题意知电视塔高为21gtdt=12gt2|12=2g-12g=32g.(2)变力F(x)=x2+1使质点M沿x轴正向从x=1运动到x=10所做的功为W=101F(x)dx=101(x2+1)dx=13𝑥3+𝑥|110=342(J).答案解析关闭(1)C(2)342-22-考点1考点2考点3解题心得利用定积分解决变速运动问题和变力做功问题时,关键是求出物体做变速运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系,确定好积分区间,得到积分表达式,再利用微积分基本定理计算即得所求.-23-考点1考点2考点3对点训练3(1)某物体做变速直线运动,其v-t曲线如图所示,则该物体在12~6s间的运动路程为m.(2)某物体受到与它运动方向相反的力F(x)=110ex+x的作用,则它从x=0运动到x=1时,F(x)所做的功等于.答案:(1)494(2)-e10−25-24-考点1考点2考点3解析:(1)由题图可知,v(t)=2𝑡,0≤𝑡1,2,1≤𝑡≤3,13𝑡+1,3𝑡≤6.由变速直线运动的路程公式,可得该物体在12~6s间的运动路程为112(2t)dt+312dt+6313𝑡+1dt=t2|121+2t|13+16𝑡2+𝑡|36=494(m).(2)由题意知F(x)所做的功为-10110e𝑥+𝑥dx=-110e𝑥+12𝑥2|01=-e10−25.25