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6.4数列求和知识梳理-2-知识梳理双基自测2311.基本数列求和方法(1)等差数列求和公式:Sn=𝑛(𝑎1+𝑎𝑛)2=na1+𝑛(𝑛-1)2d.(2)等比数列求和公式:Sn=𝑛𝑎1,𝑞=1,𝑎1-𝑎𝑛𝑞1-𝑞=𝑎1(1-𝑞𝑛)1-𝑞,𝑞≠1.知识梳理-3-知识梳理双基自测2312.非基本数列求和常用方法(1)倒序相加法:如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法,如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的.(2)分组求和法:一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可用分组求和法,分别求和后再相加减.如已知an=2n+(2n-1),求Sn.(3)并项求和法:一个数列的前n项和中两两结合后可求和,则可用并项求和法.如已知an=(-1)nf(n),求Sn.(4)错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和即可用错位相减法来求,如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的.知识梳理-4-知识梳理双基自测231(5)裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.常见的裂项公式:①1𝑛(𝑛+𝑘)=1𝑘1𝑛-1𝑛+𝑘;②1(2𝑛-1)(2𝑛+1)=1212𝑛-1-12𝑛+1;③1𝑛(𝑛+1)(𝑛+2)=121𝑛(𝑛+1)-1(𝑛+1)(𝑛+2);④1𝑛+𝑛+𝑘=1𝑘(𝑛+𝑘−𝑛).知识梳理-5-知识梳理双基自测2313.常用求和公式(1)1+2+3+4+…+n=𝑛(𝑛+1)2;(2)1+3+5+7+…+(2n-1)=n2;(3)12+22+32+…+n2=𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1)6;(4)13+23+33+…+n3=𝑛(𝑛+1)22.知识梳理2-6-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“”,错误的打“×”.(2)利用倒序相加法可求得sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289°=44.5.()(3)若Sn=a+2a2+3a3+…+nan,当a≠0,且a≠1时,求Sn的值可用错位相减法求得.()(4)如果数列{an}是周期为k的周期数列,那么Skm=mSk(m,k为大于1的正整数).()()(6)若Sn=1-2+3-4+…+(-1)n-1·n,则S50=-25.()(1)当n≥2时,1𝑛2-1=1𝑛-1−1𝑛+1.()(5)已知等差数列{an}的公差为d,则1𝑎𝑛𝑎𝑛+1=1𝑑1𝑎𝑛-1𝑎𝑛+1.答案答案关闭(1)×(2)√(3)√(4)√(5)×(6)√知识梳理-7-知识梳理双基自测234152.若数列{an}的通项公式为an=2n+2n-1,则数列{an}的前n项和为()A.2n+n2-1B.2n+1+n2-1C.2n+1+n2-2D.2n+n-2答案解析解析关闭Sn=2(1-2𝑛)1-2+𝑛(1+2𝑛-1)2=2n+1-2+n2.答案解析关闭C知识梳理-8-知识梳理双基自测234153.若数列{an}的通项公式是an=(-1)n(3n-2),则a1+a2+…+a10=()A.15B.12C.-12D.-15答案解析解析关闭因为an=(-1)n(3n-2),所以a1+a2+…+a10=(-1+4)+(-7+10)+…+(-25+28)=3×5=15.答案解析关闭A知识梳理-9-知识梳理双基自测234154.设an=1+2+3+…+n,则Sn=1𝑎1+1𝑎2+…+1𝑎𝑛=.答案解析解析关闭∵an=1+2+3+…+n=𝑛(𝑛+1)2,∴1𝑎𝑛=2𝑛(𝑛+1)=21𝑛-1𝑛+1.∴Sn=21-12+12-13+13-14+…+1𝑛-1𝑛+1=21-1𝑛+1=2𝑛𝑛+1.答案解析关闭2𝑛𝑛+1知识梳理-10-知识梳理双基自测234155.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=3,S4=10,则=.∑𝑘=1𝑛1Sk答案解析解析关闭设等差数列的首项为a1,公差为d,由题意可知𝑎1+2𝑑=3,4𝑎1+4×32𝑑=10,解得𝑎1=1,𝑑=1.所以Sn=na1+𝑛(𝑛-1)2d=𝑛(1+𝑛)2.所以1𝑆𝑛=2𝑛(𝑛+1)=21𝑛-1𝑛+1.所以∑𝑘=1𝑛1Sk=21-12+12-13+…+1n-1n+1=21-1n+1=2nn+1.答案解析关闭2𝑛𝑛+1-11-考点1考点2考点3考点1分组求和与并项求和例1在等比数列{an}中,已知a1=3,公比q≠1,等差数列{bn}满足b1=a1,b4=a2,b13=a3.(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;(2)记cn=(-1)nbn+an,求数列{cn}的前n项和Sn.思考具有什么特点的数列适合并项求和?具有什么特点的数列适合分组求和?-12-考点1考点2考点3解(1)设等差数列{bn}的公差为d.由已知,得a2=3q,a3=3q2,b1=3,b4=3+3d,b13=3+12d,∴d=2,∴an=3n,bn=2n+1.(2)由题意,得cn=(-1)nbn+an=(-1)n(2n+1)+3n,Sn=c1+c2+…+cn=(-3+5)+(-7+9)+…+[(-1)n-1(2n-1)+(-1)n(2n+1)]+3+32+…+3n.故3𝑞=3+3𝑑,3𝑞2=3+12𝑑⇒𝑞=1+𝑑,𝑞2=1+4𝑑⇒q=3(q=1舍去).当n为偶数时,Sn=n+3(1-3𝑛)1-3=3𝑛+12+n-32;当n为奇数时,Sn=(n-1)-(2n+1)+3(1-3𝑛)1-3=3𝑛+12-n-72.∴Sn=3𝑛+12+𝑛-32,𝑛为偶数,3𝑛+12-𝑛-72,𝑛为奇数.-13-考点1考点2考点3解题心得1.若数列{an}的通项公式为an=(-1)nf(n),则一般利用并项求和法求数列前n项和.2.具有下列特点的数列适合分组求和(1)若an=bn±cn,且{bn},{cn}为等差数列或等比数列,可采用分组求和法求{an}的前n项和;(2)通项公式为的数列,其中数列{bn},{cn}是等比数列或等差数列,可采用分组求和法求和.an=𝑏𝑛,𝑛为奇数,𝑐𝑛,𝑛为偶数-14-考点1考点2考点3对点训练1(2018河北衡水中学模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*),数列{bn}是等比数列,a1=3,b1=1,b2+S2=10,a5-2b2=a3.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;(2)若cn=2𝑆𝑛,𝑛为奇数,𝑏𝑛,𝑛为偶数,设数列{cn}的前n项和为Tn,求T2n.解:(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q,∵a1=3,b1=1,b2+S2=10,a5-2b2=a3,∴𝑞+3+3+𝑑=10,3+4𝑑-2𝑞=3+2𝑑,∴𝑑=2,𝑞=2.∴an=2n+1,bn=2n-1.-15-考点1考点2考点3(2)由(1)知,Sn=𝑛(3+2𝑛+1)2=n(n+2).∴cn=1𝑛-1𝑛+2,𝑛为奇数,2𝑛-1,𝑛为偶数,∴T2n=1-13+13−15+…+12𝑛-1−12𝑛+1+(21+23+25+…+22n-1)=1+22𝑛+13−12𝑛+1.-16-考点1考点2考点3考点2错位相减法求和例2已知数列{an}满足an+2=qan(q为实数,且q≠1),n∈N*,a1=1,a2=2,且a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差数列.(1)求q的值和数列{an}的通项公式;思考具有什么特点的数列适合用错位相减法求和?(2)设bn=log2𝑎2𝑛𝑎2𝑛-1,n∈N*,求数列{bn}的前n项和.-17-考点1考点2考点3解(1)由已知,有(a3+a4)-(a2+a3)=(a4+a5)-(a3+a4),即a4-a2=a5-a3,所以a2(q-1)=a3(q-1).又因为q≠1,所以a3=a2=2,由a3=a1·q,得q=2.当n=2k-1(k∈N*)时,an=a2k-1=2k-1=2𝑛-12;当n=2k(k∈N*)时,an=a2k=2k=2𝑛2.所以数列{an}的通项公式为an=2𝑛-12,𝑛为奇数,2𝑛2,𝑛为偶数.-18-考点1考点2考点3(2)由(1)得bn=log2𝑎2𝑛𝑎2𝑛-1=𝑛2𝑛-1.设{bn}的前n项和为Sn,则Sn=1×120+2×121+3×122+…+(n-1)×12𝑛-2+n×12𝑛-1,12Sn=1×121+2×122+3×123+…+(n-1)×12𝑛-1+n×12𝑛,上述两式相减,得12Sn=1+12+122+…+12𝑛-1−𝑛2𝑛=1-12𝑛1-12−𝑛2𝑛=2-22𝑛−𝑛2𝑛,整理得,Sn=4-𝑛+22𝑛-1.所以数列{bn}的前n项和为4-𝑛+22𝑛-1.-19-考点1考点2考点3解题心得1.一般地,数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列{an·bn}的前n项和,可采用错位相减法求和,解题思路是:和式两边同乘等比数列{bn}的公比,然后作差求解.2.在写出“Sn”与“qSn”的表达式时,应特别注意将两式“错项对齐”,以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式.-20-考点1考点2考点3对点训练2已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=2an+n-3,n∈N*.(1)证明数列{an-1}为等比数列,并求{an}的通项公式;(2)求数列{nan}的前n项和Tn.-21-考点1考点2考点3解(1)∵数列{an}的前n项和为Sn,Sn=2an+n-3,n∈N*,①∴a1=S1=2a1+1-3,解得a1=2.∴当n≥2时,Sn-1=2an-1+n-1-3.②①-②,得an=2an-1-1,∴an-1=2(an-1-1).又a1-1=1,∴数列{an-1}是以1为首项,以2为公比的等比数列.∴an-1=2n-1,即an=2n-1+1.(2)∵an=2n-1+1,∴nan=n2n-1+n.∴数列{nan}的前n项和Tn=1×20+2×2+3×22+…+n×2n-1+(1+2+3+…+n)-22-考点1考点2考点3=1×20+2×2+3×22+…+n×2n-1+𝑛(𝑛+1)2.③∴2Tn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n+n(n+1).④③-④,得-Tn=1+2+22+23+…+2n-1-n·2n-𝑛(𝑛+1)2=1-2𝑛1-2-n·2n-𝑛(𝑛+1)2=(1-n)·2n-1-𝑛(𝑛+1)2,∴Tn=(n-1)·2n+1+𝑛(𝑛+1)2.-23-考点1考点2考点3考点3裂项相消法求和例3(2018山东潍坊二模)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,an0(n∈N*),S6+a6是S4+a4,S5+a5的等差中项.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=log12a2n-1,数列2𝑏𝑛𝑏𝑛+1的前n项和为Tn,求Tn.思考裂项相消法的基本思想是什么?-24-考点1考点2考点3解:(1)∵S6+a6是S4+a4,S5+a5的等差中项,∴2(S6+a6)=S4+a4+S5+a5,∴S6+a6-S4-a4=S5+a5-S6-a6,化简,得4a6=a4.设等比数列{an}的公比为q,则q2=𝑎6𝑎4=14.∵an0(n∈N*),∴q0,∴q=12.∴an=2×12𝑛-1=12𝑛-2.-25-考点1考点2考点3(2)由(1)得bn=log12a2n-1=log12122𝑛-3=2n-3.设cn=2𝑏𝑛𝑏𝑛+1=2(2𝑛-3)(2𝑛-1)=12𝑛-3−12𝑛-1.则Tn=c1+c2+…+cn=1-1-11+11-13+13−15+…+12𝑛-3-12𝑛-1=-1-12𝑛-1=-2𝑛2𝑛-1.解题心