搜索
6.3等比数列及其前n项和知识梳理-2-知识梳理双基自测211.等比数列(1)等比数列的定义一般地,如果一个数列从第项起,每一项与它的前一项的比等于,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的,公比通常用字母表示.数学语言表达式:𝑎𝑛𝑎𝑛-1=q(n≥2),q为常数.2同一个常数公比q(q≠0)知识梳理-3-知识梳理双基自测21(2)等比中项如果a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.即:G是a与b的等比中项⇔a,G,b成等比数列⇒.(3)等比数列的通项公式an=;可推广为an=.(4)等比数列的前n项和公式当q=1时,Sn=na1;当q≠1时,Sn=𝑎1(1-𝑞𝑛)1-𝑞=𝑎1-𝑎𝑛𝑞1-𝑞.G2=aba1qn-1amqn-m知识梳理-4-知识梳理双基自测212.等比数列及其前n项和的性质(1)若k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak·al=;若m+n=2k,则(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列,即ak,ak+m,ak+2m,…仍是等比数列,公比为.(3)若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则am·an=𝑎𝑘2.{λan}(λ≠0),1𝑎𝑛,{𝑎𝑛2},{an·bn},𝑎𝑛𝑏𝑛仍是等比数列.am·anqm知识梳理-5-知识梳理双基自测21(4)等比数列{an}的单调性①满足𝑎10,𝑞1或𝑎10,0𝑞1时,{an}是数列;②满足𝑎10,0𝑞1或𝑎10,𝑞1时,{an}是数列;③当𝑎1≠0,𝑞=1时,{an}为数列;④当q0时,{an}为摆动数列.(5)当q≠-1或q=-1,且n为奇数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列,其公比为.递增递减常qn知识梳理2-6-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)满足an+1=qan(n∈N*,q为常数)的数列{an}为等比数列.()(2)G为a,b的等比中项⇔G2=ab.()(3)等比数列中不存在数值为0的项.()(4)若{an}为等比数列,bn=a2n-1+a2n,则数列{bn}也是等比数列.()(5)若数列{an}为等比数列,则数列{lnan}是等差数列.()(6)若数列{an}的通项公式是an=an,则其前n项和为Sn=𝑎(1-𝑎𝑛)1-𝑎.()答案答案关闭(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×(6)×知识梳理-7-知识梳理双基自测234152.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯()A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏答案解析解析关闭设塔的顶层共有x盏灯,则各层的灯数构成一个公比为2的等比数列,由𝑥(1-27)1-2=381,可得x=3,故选B.答案解析关闭B知识梳理-8-知识梳理双基自测234153.已知{an}为等差数列,公差为1,且a5是a3与a11的等比中项,Sn是{an}的前n项和,则S12的值为()A.21B.42C.63D.54答案解析解析关闭由a5是a3与a11的等比中项,得𝑎52=a3·a11,即(a1+4d)2=(a1+2d)(a1+10d).又d=1,解得a1=-1,所以S12=-12+12×12×11=54答案解析关闭D知识梳理-9-知识梳理双基自测234154.在数列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn为{an}的前n项和.若Sn=126,则n=.答案解析解析关闭∵an+1=2an,即𝑎𝑛+1𝑎𝑛=2,∴{an}是以2为公比的等比数列.又a1=2,∴Sn=2(1-2𝑛)1-2=126.∴2n=64,∴n=6.答案解析关闭6知识梳理-10-知识梳理双基自测234155.(2018四川凉山一诊)在各项均为正数的等比数列{an}中,a2a3=16,则数列{log2an}的前4项和等于.答案解析解析关闭由等比数列的性质,得a2a3=a1a4=16,所以log2a1+log2a2+log2a3+log2a4=log2(a1a2a3a4)=log2(16×16)=8.答案解析关闭8-11-考点1考点2考点3考点4考点1等比数列的基本运算例1(1)设{an}是由正数组成的等比数列,Sn为其前n项和.已知a2a4=1,S3=7,则S5等于()A.152B.314C.334D.172(2)(2017全国Ⅲ,理14)设等比数列{an}满足a1+a2=-1,a1-a3=-3,则a4=.(3)等比数列{an}的各项均为实数,其前n项和为Sn.已知S3=74,S6=634,则a8=.思考解决等比数列基本运算问题的常见思想方法有哪些?答案:(1)B(2)-8(3)32-12-考点1考点2考点3考点4解析:(1)由题意可知公比q≠1.∵𝑎2𝑎4=1,𝑆3=7,∴𝑎1𝑞·𝑎1𝑞3=1,𝑎1(1-𝑞3)1-𝑞=7.∴𝑎1=4,𝑞=12或𝑎1=9,𝑞=-13(舍去).∴S5=𝑎1(1-𝑞5)1-𝑞=41-1251-12=314.(2)设{an}的公比为q,则由题意,得𝑎1(1+𝑞)=-1,𝑎1(1-𝑞2)=-3,解得𝑎1=1,𝑞=-2,故a4=a1q3=-8.-13-考点1考点2考点3考点4(3)设该等比数列的公比为q,则S6-S3=634−74=14,即a4+a5+a6=14.①∵S3=74,∴a1+a2+a3=74.由①得(a1+a2+a3)q3=14,∴q3=1474=8,即q=2.∴a1+2a1+4a1=74,a1=14,∴a8=a1·q7=14×27=32.-14-考点1考点2考点3考点4解题心得解决等比数列有关问题的常见思想方法(1)方程的思想:等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求关键量a1和q,问题可迎刃而解.(2)分类讨论的思想:因为等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,所以当某一参数为公比进行求和时,就要对参数是否为1进行分类求和.(3)整体思想:应用等比数列前n项和公式时,常把qn或当成整体进行求解.𝑎11-𝑞-15-考点1考点2考点3考点4对点训练1(1)(知{an}为等比数列,a1=3,且4a1,2a2,a3成等差数列,则a3+a5等于()A.189B.72C.60D.33(2)已知{an}是等差数列,公差d不为零,前n项和是Sn,若a3,a4,a8成等比数列,则()A.a1d0,dS40B.a1d0,dS40C.a1d0,dS40D.a1d0,dS40答案解析解析关闭(1)∵4a1,2a2,a3成等差数列,∴4a2=4a1+a3,即4a1q=4a1+a1q2,∴q2-4q+4=0.∴q=2.∴a3+a5=a1(q2+q4)=3×(4+16)=60.(2)设{an}的首项为a1,公差为d,则a3=a1+2d,a4=a1+3d,a8=a1+7d.∵a3,a4,a8成等比数列,∴(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+7d),即3a1d+5d2=0.∵d≠0,∴a1d=-53d20,且a1=-53d.∵dS4=4𝑑(𝑎1+𝑎4)2=2d(2a1+3d)=-23d20,故选B.答案解析关闭(1)C(2)B-16-考点1考点2考点3考点4解析:(1)∵4a1,2a2,a3成等差数列,∴4a2=4a1+a3,即4a1q=4a1+a1q2,∴q2-4q+4=0.∴q=2.∴a3+a5=a1(q2+q4)=3×(4+16)=60.(2)设{an}的首项为a1,公差为d,则a3=a1+2d,a4=a1+3d,a8=a1+7d.∵a3,a4,a8成等比数列,∴(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+7d),即3a1d+5d2=0.∵d≠0,∴a1d=-53d20,且a1=-53d.∵dS4=4𝑑(𝑎1+𝑎4)2=2d(2a1+3d)=-23d20,故选B.-17-考点1考点2考点3考点4考点2等比数列的判定与证明例2已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan,其中λ≠0.(1)证明{an}是等比数列,并求其通项公式;思考判断或证明一个数列是等比数列有哪些方法?(2)若S5=3132,求λ.-18-考点1考点2考点3考点4解(1)由题意得a1=S1=1+λa1,故λ≠1,a1=11-𝜆,a1≠0.由Sn=1+λan,Sn+1=1+λan+1得an+1=λan+1-λan,即an+1(λ-1)=λan.由a1≠0,λ≠0得an≠0,所以𝑎𝑛+1𝑎𝑛=𝜆𝜆-1.因此{an}是首项为11-𝜆,公比为𝜆𝜆-1的等比数列,于是an=11-𝜆𝜆𝜆-1𝑛-1.(2)由(1)得Sn=1-𝜆𝜆-1𝑛.由S5=3132得1-𝜆𝜆-15=3132,即𝜆𝜆-15=132.解得λ=-1.-19-考点1考点2考点3考点4解题心得1.判断数列{an}为等比数列的方法:(1)定义法:若𝑎𝑛+1𝑎𝑛=q(q为非零常数,n∈N*)或𝑎𝑛𝑎𝑛-1=q(q为非零常数,且n≥2,n∈N*),则数列{an}是等比数列.(2)等比中项法:在数列{an}中,若an≠0,且𝑎𝑛+12=an·an+2(n∈N*),则数列{an}是等比数列.2.解答选择题、填空题时也可用如下方法:(1)通项公式法:若数列通项公式可写成an=c·qn(c,q均是不为0的常数,n∈N*),则数列{an}是等比数列.(2)前n项和法:若Sn=kqn-k(k为常数,且k≠0,q≠0,1),则数列{an}为等比数列.3.若证明一个数列不是等比数列,则可用反证法证明存在相邻三项不成等比数列即可,一般证明a1a3≠𝑎22.-20-考点1考点2考点3考点4对点训练2(2018广西柳州、南宁联考)设a1=2,a2=4,数列{bn}满足bn+1=2bn+2,且an+1-an=bn.(1)求证:数列{bn+2}是等比数列;(2)求数列{an}的通项公式.(1)证明：由题意,得𝑏𝑛+1+2𝑏𝑛+2=2𝑏𝑛+2+2𝑏𝑛+2=2.∵b1=a2-a1=4-2=2,∴b1+2=4.∴{bn+2}是以4为首项,以2为公比的等比数列.-21-考点1考点2考点3考点4(2)解：由(1)可得bn+2=4·2n-1,即bn=2n+1-2.∵an+1-an=bn,∴a2-a1=b1,a3-a2=b2,a4-a3=b3,……an-an-1=bn-1.累加得an-a1=b1+b2+b3+…+bn-1,则an=2+(22-2)+(23-2)+(24-2)+…+(2n-2)=2+22(1-2𝑛-1)1-2-2(n-1)=2n+1-2n,即an=2n+1-2n(n≥2).而a1=2=21+1-2×1,∴an=2n+1-2n(n∈N*).-22-考点1考点2考点3考点4考点3等比数列性质的应用(多考向)考向一等比数列项的性质的应用例3(1)在由正数组成的等比数列{an}中,若a3a4a5=3π,则sin(log3a1+log3a2+…+log3a7)的值为()(2)在正项等比数列{an}中,已知a1a2a3=4,a4a5a6=12,an-1anan+1=324,则n=.思考经常用等比数列的哪些性质简化解题过程?A.12B.√32C.1D.-√32答案答案关闭(1)B(2)14-23-考点1考点2考点3考点4解析:(1)∵在由正数组成的等比数列{an}中,a3a4a5=3π,∴𝑎43=3π,即a4=3π3.∴sin(log3a1+log3a2+…+log3a7)=sin[log3(a1·a2·…·a7)]=sin(log3𝑎47)=sin(7log3a4)=sin7π3=sinπ3=√32.故选B.(2)设数列{an}的公比为q,由a1a2a3=𝑎23=4与a4a5a6=𝑎53=12,两式相除得q9=