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6.2等差数列及其前n项和知识梳理-2-知识梳理双基自测23411.等差数列(1)定义:一般地,如果一个数列从起,每一项与它的前一项的等于,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的,公差通常用字母d表示.数学语言表示为(n∈N*),d为常数.(2)等差中项:数列a,A,b成等差数列的充要条件是,其中A叫做a,b的.(3)等差数列的通项公式:an=,可推广为an=.(4)等差数列的前n项和公式:Sn=𝑛(𝑎1+𝑎𝑛)2=na1+𝑛(𝑛-1)2d.第2项差同一个常数公差an+1-an=dA=𝑎+𝑏2等差中项a1+(n-1)dam+(n-m)d知识梳理-3-知识梳理双基自测23412.等差数列及其前n项和的性质(1)若m+n=p+q,则(m,n,p,q∈N*);m+n=2p,则am+an=2ap(m,n,p∈N*).(2)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为的等差数列.(3)若{an},{bn}是等差数列,p,q∈R,则{pan+qbn}也是等差数列.(4)设Sn是等差数列{an}的前n项和,则数列也是数列.(5)若等差数列{an}的前n项和为Sn,则S2n-1=(2n-1)an.(6)若n为偶数,则;若n为奇数,则S奇-S偶=a中(中间项).S偶-S奇=𝑛𝑑2Sm,𝑆2𝑚-Sm,S3m-𝑆2𝑚,…am+an=ap+aqmd等差知识梳理-4-知识梳理双基自测23413.等差数列的通项公式及前n项和公式与函数的关系(1)an=a1+(n-1)d可化为an=dn+a1-d的形式.当d≠0时,an是关于n的一次函数;当d0时,数列{an}为递增数列;当d0时,数列{an}为递减数列.(2)当d≠0时,它是关于n的二次函数.数列{an}是等差数列⇔Sn=An2+Bn(A,B为常数).Sn=𝑑2n2+𝑎1-𝑑2n.知识梳理-5-知识梳理双基自测23414.等差数列的前n项和的最值在等差数列{an}中,a10,d0,则Sn存在最值;若a10,d0,则Sn存在最值.大小知识梳理2-6-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)若一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.()(2)已知数列{an}的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列{an}一定是等差数列.()(3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.()(4)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*,都有2an+1=an+an+2.()(5)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.()(6)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.()答案答案关闭(1)×(2)√(3)×(4)√(5)√(6)×知识梳理-7-知识梳理双基自测234152.(2018内蒙古赤峰期末)《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有女不善织,日减功迟,初日织五尺,末日织一尺,今共织九十尺,问织几日?”.已知“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布,则此问题的答案是()A.25日B.40日C.35日D.30日答案解析解析关闭由题意可知,设n日织布的总数为九十尺,则此女每天织布的尺数构成首项为a1=5,an=1的等差数列,且Sn=𝑛(𝑎1+𝑎𝑛)2=(5+1)𝑛2=90,解得n=30,故选D.答案解析关闭D知识梳理-8-知识梳理双基自测234153.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若a10+a11+a12=6,则S21=()A.42B.21C.23D.44答案解析解析关闭由a10+a11+a12=6,得3a11=6,解得a11=2.故S21=21(𝑎1+𝑎21)2=21a11=42.答案解析关闭A知识梳理-9-知识梳理双基自测234154.(2017全国Ⅰ,理4)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{an}的公差为()A.1B.2C.4D.8答案解析解析关闭设首项为a1,公差为d,则a4+a5=a1+3d+a1+4d=24,S6=6a1+6×52d=48,联立可得2𝑎1+7𝑑=24,①6𝑎1+15𝑑=48,②①×3-②,得(21-15)d=24,即6d=24,所以d=4.答案解析关闭C知识梳理-10-知识梳理双基自测234155.(2018上海,10)记等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3=0,a6+a7=14,则S7=.答案解析解析关闭设{an}的公差为d.∵等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=0,a6+a7=14,∴𝑎1+2𝑑=0,𝑎1+5𝑑+𝑎1+6𝑑=14,解得𝑎1=-4,𝑑=2,∴S7=7a1+7×62d=-28+42=14.答案解析关闭14-11-考点1考点2考点3考点4考点1等差数列中基本量的求解例1(1)在等差数列{an}中,a4=2,且a1+a2+…+a10=65,则公差d的值是()A.4B.3C.1D.2(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m等于()A.3B.4C.5D.6思考求等差数列基本量的一般方法是什么?答案答案关闭(1)B(2)C-12-考点1考点2考点3考点4解析:(1)∵在等差数列{an}中,a4=2,且a1+a2+…+a10=65,∴公差d的值是3.故选B.(2)(方法一)由已知得,am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3,∵数列{an}为等差数列,∴d=am+1-am=1,∵m≠0,∴a1=-2,又am=a1+(m-1)d=2,解得m=5.又Sm=𝑚(𝑎1+𝑎𝑚)2=0,∴m(a1+2)=0.∴𝑎1+3𝑑=2,10𝑎1+10×92𝑑=65,解得𝑎1=-7,𝑑=3.-13-考点1考点2考点3考点4(方法二)由Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,得am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3,则等差数列的公差为d=am+1-am=3-2=1.由𝑎𝑚=𝑎1+(𝑚-1)𝑑=2,𝑆𝑚=𝑎1𝑚+12𝑚(𝑚-1)𝑑=0,得𝑎1+𝑚-1=2,𝑎1𝑚+12𝑚(𝑚-1)=0,解得𝑎1=-2,𝑚=5.-14-考点1考点2考点3考点4(方法三)∵数列{an}为等差数列,且前n项和为Sn,∴数列𝑆𝑛𝑛也为等差数列.∴𝑆𝑚-1𝑚-1+𝑆𝑚+1𝑚+1=2𝑆𝑚𝑚,即-2𝑚-1+3𝑚+1=0,解得m=5.经检验m=5是原方程的解.故选C.-15-考点1考点2考点3考点4解题心得1.等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d,然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解.2.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,已知其中三个就能求出另外两个,体现了用方程组解决问题的思想.3.减少运算量的设元的技巧,若三个数成等差数列,可设这三个数为a-d,a,a+d;若四个数成等差数列,可设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d.-16-考点1考点2考点3考点4对点训练1(1)已知等差数列{an}前9项的和为27,a10=8,则a100=()A.100B.99C.98D.97(2)设Sn为等差数列{an}的前n项和,a12=-8,S9=-9,则S16=.答案答案关闭(1)C(2)-72-17-考点1考点2考点3考点4解析:(1)(方法一)设等差数列{an}的公差为d,则由题意得,9𝑎1+9×82𝑑=27,𝑎1+9𝑑=8,解得𝑎1=-1,𝑑=1.故a100=a1+99d=-1+99=98.(方法二)因为S9=(𝑎1+𝑎9)×92=27,a1+a9=2a5,所以a5=3.又因为a10=8,所以d=𝑎10-𝑎510-5=1.故a100=a10+(100-10)×1=98.-18-考点1考点2考点3考点4(2)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,由已知,得𝑎12=𝑎1+11𝑑=-8,𝑆9=9𝑎1+9×82𝑑=-9,解得𝑎1=3,𝑑=-1.故S16=16×3+16×152×(-1)=-72.-19-考点1考点2考点3考点4考点2等差数列的判定与证明例2数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2.(1)设bn=an+1-an,证明{bn}是等差数列;(2)求{an}的通项公式.思考判定一个数列为等差数列的基本方法有哪些?-20-考点1考点2考点3考点4(1)证明由an+2=2an+1-an+2得an+2-an+1=an+1-an+2,即bn+1=bn+2.又b1=a2-a1=1,所以{bn}是首项为1,公差为2的等差数列.(2)解由(1)得bn=1+2(n-1)=2n-1,即an+1-an=2n-1.所以an+1-a1=n2,即an+1=n2+a1.又a1=1,所以{an}的通项公式为an=n2-2n+2.于是∑𝑘=1𝑛(ak+1-ak)=∑k=1n(2k-1),-21-考点1考点2考点3考点4解题心得等差数列的判定方法:(1)证明数列{an}为等差数列的基本方法有两种:①利用等差数列的定义证明,即证明an+1-an=d(n∈N*);②利用等差中项证明,即证明an+2+an=2an+1(n∈N*).(2)解答选择题、填空题时,也可用通项公式或前n项和公式直接判断:①通项法:若数列{an}的通项公式为n的一次函数,即an=An+B,则{an}是等差数列.②前n项和法:若数列{an}的前n项和Sn可以化为Sn=An2+Bn的形式(A,B是常数),则{an}是等差数列.(3)判断一个数列不是等差数列,只需说明某连续三项(如前三项)不是等差数列即可.-22-考点1考点2考点3考点4对点训练2设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n-1.数列{bn}满足b1=2,bn+1-2bn=8an.(1)求数列{an}的通项公式;(2)证明:数列𝑏𝑛2𝑛为等差数列,并求{bn}的通项公式.-23-考点1考点2考点3考点4解(1)当n=1时,a1=S1=21-1=1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n-1)-(2n-1-1)=2n-1.∵a1=1适合通项公式an=2n-1,∴an=2n-1.(2)∵bn+1-2bn=8an,∴bn+1-2bn=2𝑛+2,即𝑏𝑛+12𝑛+1−𝑏𝑛2𝑛=2.又𝑏121=1,∴𝑏𝑛2𝑛是首项为1,公差为2的等差数列.∴𝑏𝑛2𝑛=1+2(n-1)=2n-1.∴bn=(2n-1)×2n.-24-考点1考点2考点3考点4考点3等差数列性质的应用(多考向)考向一等差数列项的性质的应用例3(1)在等差数列{an}中,a3,a7是函数f(x)=x2-4x+3的两个零点,则{an}的前9项和等于()A.-18B.9C.18D.36(2)已知{an}是等差数列,Sn是其前n项和.若a1+𝑎22=-3,S5=10,则a9的值是.答案解析解析关闭(1)∵在等差数列{an}中,a3,a7是函数f(x)=x2-4x+3的两个零点,∴a3+a7=4,∴{an}的前9项和S9=92(a1+a9)=92(a3+a7)=92×4=18.故选C.(2)由S5=10得a3=2,因此2-2d+(2-d)2=-3,解得d=3,故a9=2+3×6=20.答案解析关闭(1)C(2)20-25-考点1考点2考点3考点4考向二等差数列前n项和的性质的应用例4在等差数列{an}中,前m项的和为30,前2m项的和为100,则前3m项的和为.思考本例题应用什么性质求解比较简便?答案解析解析关闭记数列{an}的前n项和为Sn,由等差数列前n项和的性质知Sm,𝑆2𝑚-Sm,S3m-𝑆2𝑚成等差数列,则2(𝑆2𝑚-Sm)=Sm+(S3m-𝑆2𝑚).又Sm=30,𝑆2𝑚=100,𝑆2𝑚-Sm=100-3