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第六章数列6.1数列的概念与表示知识梳理-3-知识梳理双基自测2341651.数列的定义按照排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的.一定顺序项知识梳理-4-知识梳理双基自测2341652.数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数无穷数列项数按项与项间的大小关系分类递增数列an+1an其中n∈N*递减数列an+1an常数列an+1=an摆动数列从第二项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项有限无限知识梳理-5-知识梳理双基自测2341653.数列的表示方法列表法列表格表示n与an的对应关系图象法把点(n,an)画在平面直角坐标系中公式法通项公式如果数列{an}的第n项与之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式递推公式已知数列{an}的第一项(或前几项)且任一项an与它的前一项an-1(n≥2)(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,这个公式叫做数列的递推公式序号n知识梳理-6-知识梳理双基自测2341654.数列的函数特征数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2,…,n})为定义域的函数an=f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.知识梳理-7-知识梳理双基自测2341655.数列的前n项和在数列{an}中,Sn=叫做数列的前n项和.a1+a2+…+an知识梳理-8-知识梳理双基自测2341656.数列{an}的an与Sn的关系若数列{an}的前n项和为Sn,则an=,𝑛=1,,𝑛≥2.S1Sn-Sn-1知识梳理2-9-知识梳理双基自测3411.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)所有数列的第n项都能使用通项公式表示.()(2)数列{an}和集合{a1,a2,a3,…,an}是一回事.()(3)若数列用图象表示,则从图象上看都是一群孤立的点.()(4)一个确定的数列,它的通项公式只有一个.()(5)若数列{an}的前n项和为Sn,则对∀n∈N*,都有an=Sn-Sn-1.()答案答案关闭(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×5知识梳理-10-知识梳理双基自测23412.已知数列{an}为2,0,2,0,…,则下列各式不可以作为数列{an}的通项公式的是()A.an=1+(-1)𝑛+1B.an=2sin𝑛π2C.an=1-cosnπD.an=2,𝑛为奇数,0,𝑛为偶数答案解析解析关闭若an=2sin𝑛π2,则a1=2sinπ2=2,a2=2sinπ=0,a3=2sin3π2=-2,a4=2sin2π=0.答案解析关闭B5知识梳理-11-知识梳理双基自测23413.已知数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2an-4(n∈N*),则an=()A.2n+1B.2nC.2n-1D.2n-2答案解析解析关闭当n≥2时,由Sn=2an-4,得Sn-1=2an-1-4,两式相减得an=2an-2an-1,即an=2an-1.故数列{an}是公比为2的等比数列.又a1=S1=2a1-4,所以a1=4.所以an=4×2n-1=2n+1.答案解析关闭A5知识梳理-12-知识梳理双基自测234154.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2+2n,则an=.答案解析解析关闭当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(n2+2n)-[(n-1)2+2(n-1)]=2n+1.当n=1时,a1=S1=3,也适合上式.综上,an=2n+1.答案解析关闭2n+1知识梳理-13-知识梳理双基自测23415.设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn=.答案解析解析关闭由an+1=Sn+1-Sn=SnSn+1,得1𝑆𝑛−1𝑆𝑛+1=1,即1𝑆𝑛+1−1𝑆𝑛=-1,则1𝑆𝑛为等差数列,首项为1𝑆1=-1,公差为d=-1,故1𝑆𝑛=-n,即Sn=-1𝑛.答案解析关闭-1𝑛5-14-考点1考点2考点3考点1由数列的前几项求数列的通项公式例1根据下面各数列前几项的值,写出数列的一个通项公式:(1)-1,7,-13,19,…;(5)5,55,555,5555,….思考如何根据数列的前几项的值写出数列的一个通项公式?(2)-11×2,12×3,-13×4,14×5,…;(3)23,415,635,863,1099,…;(4)12,2,92,8,252,…;-15-考点1考点2考点3解(1)偶数项为正,奇数项为负,故通项公式必含有因式(-1)n;观察各项的绝对值,后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6,故数列的一个通项公式an=(-1)n(6n-5).(2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的乘积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,故它的一个通项公式an=(-1)n×1𝑛(𝑛+1).(3)这是一个分数数列,其分子构成偶数数列,而分母可分解为1×3,3×5,5×7,7×9,9×11,…,即分母的每一项都是两个相邻奇数的乘积,故所求数列的一个通项公式an=2𝑛(2𝑛-1)(2𝑛+1).-16-考点1考点2考点3(4)数列的各项,有的是分数,有的是整数,可将数列的各项都统一成分数再观察,即12,42,92,162,252,…,从而可得数列的一个通项公式an=𝑛22.(5)将原数列改写为59×9,59×99,59×999,…,易知数列9,99,999,…的通项公式为10n-1,故所求数列的一个通项公式an=59(10n-1).-17-考点1考点2考点3解题心得根据所给数列的前几项求其通项时,要注意观察每一项的特点,抓住其几方面的特征:分式中分子、分母的各自特征,相邻项的变化特征,拆项后的各部分特征,符号特征.进而观察an与n之间的关系,可使用添项、通分、分割等办法,转化为一些常见数列的通项公式来求.对于正负符号变化,可用(-1)n或(-1)n+1来调整.-18-考点1考点2考点3对点训练1写出下列数列的一个通项公式:(1)1,-3,5,-7,9,…;(2)1,0,13,0,15,0,17,…;(3)0.9,0.99,0.999,0.9999,…;(4)1,√22,12,√24,14,….解(1)an=(-1)𝑛+1(2n-1).(2)an=1-(-1)𝑛2𝑛.(3)an=1-110𝑛.(4)an=(√2)1-𝑛.-19-考点1考点2考点3考点2由an与Sn的关系求通项公式例2设数列{an}的前n项和为Sn,数列{Sn}的前n项和为Tn,满足Tn=2Sn-n2,n∈N*.(1)求a1的值;(2)求数列{an}的通项公式.思考已知数列的前n项和Sn,求数列通项的一般方法是什么?-20-考点1考点2考点3解(1)令n=1时,T1=2S1-1.∵T1=S1=a1,∴a1=2a1-1.∴a1=1.(2)当n≥2时,Tn-1=2Sn-1-(n-1)2,则Sn=Tn-Tn-1=2Sn-n2-[2Sn-1-(n-1)2]=2(Sn-Sn-1)-2n+1=2an-2n+1.∵当n=1时,a1=S1=1也满足上式,∴Sn=2an-2n+1(n≥1).∴当n≥2时,Sn-1=2an-1-2(n-1)+1,两式相减得an=2an-2an-1-2,∴an=2an-1+2(n≥2).-21-考点1考点2考点3∴an+2=2(an-1+2)(n≥2).∵a1+2=3≠0,∴数列{an+2}是以3为首项,公比为2的等比数列.∴an+2=3×2n-1,∴an=3×2n-1-2.当n=1时也满足a1=1,∴an=3×2n-1-2.-22-考点1考点2考点3解题心得已知数列{an}的前n项和Sn,则通项公式当n=1时,若a1适合Sn-Sn-1,则n=1的情况可并入n≥2时的通项公式an;当n=1时,若a1不适合Sn-Sn-1,则用分段函数的形式表示.an=𝑆1,𝑛=1,𝑆𝑛-𝑆𝑛-1,𝑛≥2.-23-考点1考点2考点3对点训练2(1)(2018全国Ⅰ,理14)记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn=2an+1,则S6=.(2)已知数列{an}的前n项和Sn=3n2-2n+1,则其通项公式为an=.答案解析解析关闭(1)∵Sn=2an+1,①∴Sn-1=2an-1+1(n≥2).②①-②,得an=2an-2an-1,即an=2an-1(n≥2).又S1=2a1+1,∴a1=-1.∴{an}是以-1为首项,2为公比的等比数列,则S6=-1×(1-26)1-2=-63.(2)当n=1时,a1=S1=3×12-2×1+1=2;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n2-2n+1-[3(n-1)2-2(n-1)+1]=6n-5,显然当n=1时,a1不满足上式.故数列{an}的通项公式为an=2,𝑛=1,6𝑛-5,𝑛≥2.答案解析关闭(1)-63(2)2,𝑛=1,6𝑛-5,𝑛≥2-24-考点1考点2考点3考点3由递推关系式求数列的通项公式(多考向)考向一形如an+1=anf(n),求an例3在数列{an}中,已知a1=1,nan-1=(n+1)an(n≥2),求数列{an}的通项公式.思考已知在数列{an}中,an+1=anf(n),利用什么方法求an?-25-考点1考点2考点3解∵nan-1=(n+1)an(n≥2),∴𝑎𝑛𝑎𝑛-1=𝑛𝑛+1(n≥2).∴an=𝑎𝑛𝑎𝑛-1·𝑎𝑛-1𝑎𝑛-2·𝑎𝑛-2𝑎𝑛-3·…·𝑎3𝑎2·𝑎2𝑎1·a1=𝑛𝑛+1×𝑛-1𝑛×𝑛-2𝑛-1×…×34×23×1=2𝑛+1.又a1也满足上式,∴an=2𝑛+1.-26-考点1考点2考点3考向二形如an+1=an+f(n),求an例4在数列{an}中,已知a1=2,an+1=an+3n+2,求数列{an}的通项公式.思考已知在数列{an}中,an+1=an+f(n),利用什么方法求an?解∵an+1=an+3n+2,∴an+1-an=3n+2,∴an-an-1=3n-1(n≥2).∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=(3n-1)+(3n-4)+…+5+2=𝑛(3𝑛+1)2(n≥2).又a1也满足上式,∴an=32n2+𝑛2.-27-考点1考点2考点3考向三形如an+1=pan+q,求an例5已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+2,求数列{an}的通项公式.思考已知在数列{an}中,an+1=pan+q(p,q均为常数),利用什么方法求an?解∵an+1=3an+2,∴an+1+1=3(an+1).∴数列{an+1}为等比数列,且公比q=3.又a1+1=2,∴an+1=2·3n-1.∴an=2·3n-1-1.∴𝑎𝑛+1+1𝑎𝑛+1=3.-28-考点1考点2考点3考向四由含an+1与an的二次三项式求an例6已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1,-(2an+1-1)an-2an+1=0.(1)求a2,a3;(2)求{an}的通项公式.思考已知含有an+1与an的二次三项式的递推关系式,如何求an?𝑎𝑛2解(1)由题意得a2=12,a3=14.(2)由𝑎𝑛2-(2an+1-1)an-2an+1=0得2an+1(an+1)=an(an+1).因为{an}的各项都为正数,所以𝑎𝑛+1𝑎𝑛=12.故{an}是首项为1,公比为12的等比数列,因此an=12𝑛-1.解题心得根据给出的初始值和递推关系求数列通项的常用方法有:(1)若递推关系式为an+1=an+f(n)或an+1=f(n)·an,则可以分别通过累加、累乘法求得通项公式,或用迭代法求得通项公式.(2)当递推关系式为an+1=pan+q(其中p,q均为常数)时,通常解法是把原递推关系式转化为an+1-t=p(an-t),其中,再利用换元法转化为等比数列求解.(3)当递推关系式为含有an+1与an的二次三项式时,通常对递推关系式进行化简、变形,转化为等差数列或等比数列,再用公式法求-29-考点1考点2考点3t=�