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9.3圆的方程知识梳理-2-知识梳理双基自测211.圆的定义及方程定义平面内到的距离等于的点的集合(轨迹)叫做圆标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)圆心C:半径:一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0)圆心:半径:r=一定点定长(a,b)r-𝐷2,-𝐸2𝐷2+𝐸2-4𝐹2知识梳理-3-知识梳理双基自测212.点与圆的位置关系圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,点M(x0,y0),(1)(x0-a)2+(y0-b)2r2⇔点在圆上;(2)(x0-a)2+(y0-b)2r2⇔点在圆外;(3)(x0-a)2+(y0-b)2r2⇔点在圆内.=知识梳理2-4-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)已知圆的方程为x2+y2-2y=0,过点A(1,2)作该圆的切线只有一条.()(2)方程(x+a)2+(y+b)2=t2(t∈R)表示圆心为(a,b),半径为t的一个圆.()(3)方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆心为-𝑎2,-𝑎,半径为12-3𝑎2-4𝑎+4的圆.()(4)已知点A(x1,y1),B(x2,y2),则以AB为直径的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.()(5)方程x2+Bxy+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是B=0,D2+E2-4F0.()答案答案关闭(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√知识梳理-5-知识梳理双基自测234152.圆心在y轴上,且过点(-1,2)并与x轴相切的圆的标准方程为()A.𝑥-542+y2=2516B.x2+𝑦-542=2516C.𝑥+542+y2=2516D.x2+𝑦+542=2516答案解析解析关闭设圆心为(0,a),根据所求圆与x轴相切,可知圆的方程为x2+(y-a)2=a2.又圆过点(-1,2),所以有1+(2-a)2=a2,得a=54,因此圆的标准方程为x2+𝑦-542=2516.答案解析关闭B知识梳理-6-知识梳理双基自测234153.在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为.答案解析解析关闭设点O,A,B的坐标分别为(0,0),(1,1),(2,0),则AO=AB,所以点A在线段OB的垂直平分线上.又因为OB为该圆的一条弦,所以圆心在线段OB的垂直平分线上,可设圆心坐标为(1,y),所以(y-1)2=1+y2,解得y=0,所以该圆的半径为1,其方程为(x-1)2+y2=1,即x2+y2-2x=0.答案解析关闭x2+y2-2x=0知识梳理-7-知识梳理双基自测234154.已知A(-1,4),B(3,-2),以AB为直径的圆的标准方程为.答案解析解析关闭以AB为直径的圆的方程为(x+1)(x-3)+(y-4)(y+2)=0,整理得(x-1)2+(y-1)2=13.答案解析关闭(x-1)2+(y-1)2=13知识梳理-8-知识梳理双基自测234155.已知等腰三角形ABC,其中顶点A的坐标为(0,0),底边的一个端点B的坐标为(1,1),则另一个端点C的轨迹方程为.答案解析解析关闭设C(x,y),根据在等腰三角形中,|AB|=|AC|可得(x-0)2+(y-0)2=(1-0)2+(1-0)2,即x2+y2=2.考虑到A,B,C三点要构成三角形,因此点C不能为(1,1)和(-1,-1).所以点C的轨迹方程为x2+y2=2(除去点(1,1)和(-1,-1)).答案解析关闭x2+y2=2(除去点(1,1)和(-1,-1))-9-考点1考点2考点3考点1求圆的方程例1(1)已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C的方程为()A.(x+1)2+(y-1)2=2B.(x-1)2+(y+1)2=2C.(x-1)2+(y-1)2=2D.(x+1)2+(y+1)2=2答案:(1)B(2)(x+3)2+(y-3)2=10(2)圆心在直线x+y=0上,且过两圆x2+y2-2x+10y-24=0,x2+y2+2x+2y-8=0的交点的圆的方程为.思考求圆的方程有哪些常见方法?-10-考点1考点2考点3解析:(1)(方法一)设出圆心坐标,根据该圆与两条直线都相切列方程即可.即|a|=|a-2|,解得a=1,故圆C的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.(方法二)题目给出的圆的两条切线是平行线,故圆的直径就是这两条平行线之间的距离;圆心是直线x+y=0被这两条平行线所截线段的中点,直线x+y=0与直线x-y=0的交点坐标是(0,0),与直线x-y-4=0的交点坐标是(2,-2),故所求圆的圆心坐标是(1,-1),所求圆C的方程是(x-1)2+(y+1)2=2.(方法三)作为选择题也可以验证解答.圆心在x+y=0上,排除选项C,D,再验证选项A,B中圆心到两直线的距离是否等于半径2即可.设圆心坐标为(a,-a),则|𝑎-(-𝑎)|√2=|𝑎-(-𝑎)-4|√2,故圆心坐标为(1,-1),半径r=2√2=√2,d=4√2=2√2-11-考点1考点2考点3(2)(方法一)解方程组𝑥2+𝑦2-2𝑥+10𝑦-24=0,𝑥2+𝑦2+2𝑥+2𝑦-8=0,得两圆交点为A(-4,0),B(0,2).∵圆心在直线x+y=0上,∴可设圆心为C(a,-a),则(𝑎+4)2+(-𝑎)2=𝑎2+(-𝑎-2)2,得a=-3.∴C(-3,3).∴r=|AC|=(-4+3)2+32=√10.∴圆的方程是(x+3)2+(y-3)2=10.-12-考点1考点2考点3(方法二)由方法一,知两圆交点为A(-4,0),B(0,2).∴AB的中点为D(-2,1),kAB=2-00-(-4)=12.∴AB垂直平分线的方程为y-1=-2(x+2),即2x+y+3=0.解方程组𝑥+𝑦=0,2𝑥+𝑦+3=0,得𝑥=-3,𝑦=3.∴圆心C(-3,3).∴r=|AC|=(-4+3)2+(-3)2=√10.∴圆的方程是(x+3)2+(y-3)2=10.-13-考点1考点2考点3方法三(圆系法):设经过两圆交点的圆系方程为(x2+y2-2x+10y-24)+λ(x2+y2+2x+2y-8)=0(λ≠-1),整理,得x2+y2-2(1-𝜆)1+𝜆x+2(5+𝜆)1+𝜆y-8(3+𝜆)1+𝜆=0,∴圆心为C1-𝜆1+𝜆,-5+𝜆1+𝜆.∵圆心在直线x+y=0上,∴1-𝜆1+𝜆−5+𝜆1+𝜆=0,即1-λ-5-λ=0,∴λ=-2,∴所求圆的方程为x2+y2+6x-6y+8=0.-14-考点1考点2考点3解题心得求圆的方程时,应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说,求圆的方程有两种方法:(1)几何法,通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时,常用到的圆的三个性质:①圆心在过切点且垂直切线的直线上;②圆心在任一弦的中垂线上;③两圆内切或外切时,切点与两圆圆心共线;(2)代数法,即设出圆的方程,用待定系数法求解.-15-考点1考点2考点3对点训练1(1)过点A(4,1)的圆C与直线x-y-1=0相切于点B(2,1),则圆C的方程为.(2)经过点A(5,2),B(3,-2),且圆心在直线2x-y-3=0上的圆的方程为.答案答案关闭(1)(x-3)2+y2=2(2)(x-2)2+(y-1)2=10-16-考点1考点2考点3解析:(1)(方法一)由已知kAB=0,所以AB的中垂线方程为x=3.①过B点且垂直于直线x-y-1=0的直线方程为y-1=-(x-2),即x+y-3=0,②所以圆C的方程为(x-3)2+y2=2.联立①②,解得𝑥=3,𝑦=0,所以圆心坐标为(3,0),半径r=(4-3)2+(1-0)2=√2,-17-考点1考点2考点3(方法二)设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),因为点A(4,1),B(2,1)在圆上,所以(4-𝑎)2+(1-𝑏)2=𝑟2,(2-𝑎)2+(1-𝑏)2=𝑟2,又𝑏-1𝑎-2=-1,解得a=3,b=0,r=√2,故所求圆的方程为(x-3)2+y2=2.(2)设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),则2𝑎-𝑏-3=0,(5-𝑎)2+(2-𝑏)2=𝑟2,(3-𝑎)2+(-2-𝑏)2=𝑟2,解得𝑎=2,𝑏=1,𝑟=√10,所以所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10.-18-考点1考点2考点3考点2与圆有关的轨迹问题例2如图,已知点A(-1,0)与点B(1,0),C是圆x2+y2=1上的动点,连接BC并延长至D,使得|CD|=|BC|,求AC与OD的交点P的轨迹方程.思考求与圆有关的轨迹方程都有哪些常用方法?-19-考点1考点2考点3解:设动点P(x,y),由题意可知P是△ABD的重心.由A(-1,0),B(1,0),令动点C(x0,y0),则D(2x0-1,2y0),由重心坐标公式得𝑥=-1+1+2𝑥0-13,𝑦=2𝑦03,则𝑥0=3𝑥+12,𝑦0=3𝑦2(𝑦0≠0),代入x2+y2=1,整理得𝑥+132+y2=49(y≠0),故所求轨迹方程为𝑥+132+y2=49(y≠0).-20-考点1考点2考点3解题心得1.求与圆有关的轨迹问题时,根据题设条件的不同常采用以下方法:(1)直接法,直接根据题目提供的条件列出方程;(2)定义法,根据圆、直线等定义列方程;(3)几何法,利用圆的几何性质列方程;(4)代入法,找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式等.2.求与圆有关的轨迹问题时,题目的设问有两种常见形式,作答也应不同.若求轨迹方程,则把方程求出化简即可;若求轨迹,则必须根据轨迹方程,指出轨迹是什么曲线.-21-考点1考点2考点3对点训练2已知圆x2+y2=4上一定点A(2,0),B(1,1)为圆内一点,P,Q为圆上的动点.(1)求线段AP中点的轨迹方程;(2)若∠PBQ=90°,求线段PQ中点的轨迹方程.-22-考点1考点2考点3解(1)设AP的中点为M(x,y),由中点坐标公式可知,P点坐标为(2x-2,2y).因为P点在圆x2+y2=4上,所以(2x-2)2+(2y)2=4,即(x-1)2+y2=1.故线段AP中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1.(2)设PQ的中点为N(x,y).在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|.设O为坐标原点,连接ON,则ON⊥PQ,所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.-23-考点1考点2考点3考点3与圆有关的最值问题(多考向)考向一斜率型最值问题例3已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,求𝑦𝑥的最大值和最小值.思考如何求解形如𝑦-𝑏𝑥-𝑎的最值问题?-24-考点1考点2考点3解原方程可化为(x-2)2+y2=3,表示以(2,0)为圆心,√3为半径的圆.𝑦𝑥的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率,所以设𝑦𝑥=k,即y=kx.如图所示,当直线y=kx与圆相切时,斜率k取最大值或最小值,此时|2𝑘-0|𝑘2+1=√3,解得k=±√3.所以𝑦𝑥的最大值为√3,最小值为-√3.-25-考点1考点2考点3考向二截距型最值问题例4在例3的条件下求y-x的最大值和最小值.思考如何求解形如ax+by的最值问题?-26-考点1考点2考点3解y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距,如图所示,当直线y=x+b与圆相切时,纵截距b取得最大值或最小值,此时|2-0+𝑏|√2=√3,解得b=-2±√6.所以y-x的最大值为-2+√6,最小值为-2-√6.-27-考点1考点2考点3考向三距离型最值问题例5在例3的条件下求x2+y2的最大值和最小值.思考如何求解形如(x-a)2+(y-b)2的最值问题?解如图所示,x2+y2表示圆上的一点与原点距离