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第九章解析几何9.1直线的倾斜角与斜率、直线的方程知识梳理-3-知识梳理双基自测23411.直线的倾斜角(1)定义:x轴与直线方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角.当直线与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为.(2)倾斜角的取值范围为.正向向上0°[0,π)知识梳理-4-知识梳理双基自测23412.直线的斜率(1)定义:一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,即k=tanα,倾斜角是90°的直线没有斜率.(2)过两点的直线的斜率公式经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k=𝑦2-𝑦1𝑥2-𝑥1.知识梳理-5-知识梳理双基自测23413.直线方程的五种形式名称几何条件方程适用条件斜截式纵截距,斜率与x轴不垂直的直线点斜式一点,斜率两点式两点与两坐标轴均不垂直的直线截距式纵、横截距不过原点,且与两坐标轴均不垂直的直线一般式Ax+By+C=0(A2+B2≠0)平面内所有直线都适用y=kx+by-y0=k(x-x0)𝑦-𝑦1𝑦2-𝑦1=𝑥-𝑥1𝑥2-𝑥1𝑥𝑎+𝑦𝑏=1知识梳理-6-知识梳理双基自测23414.常用结论(1)过P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点的特殊直线方程①当x1=x2,且y1≠y2时,直线垂直于x轴,方程为x=x1;②当x1≠x2,且y1=y2时,直线垂直于y轴,方程为y=y1;③当x1=x2=0,且y1≠y2时,直线即为y轴,方程为x=0;④当x1≠x2,且y1=y2=0时,直线即为x轴,方程为y=0.(2)直线系方程①与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+m=0(m∈R,且m≠C);②与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是Bx-Ay+m=0(m∈R).知识梳理2-7-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)直线的倾斜角越大,其斜率越大.()(2)过点M(a,b),N(b,a)(a≠b)的直线的倾斜角是45°.()(3)若直线的斜率为tanα,则其倾斜角为α.()(4)若直线在x轴,y轴上的截距分别为m,n,则方程可记为xm+yn=1.()(5)经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示.()(6)直线的截距即是直线与坐标轴的交点到原点的距离.()答案答案关闭(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√(6)×知识梳理-8-知识梳理双基自测234152.如果A·C0,且B·C0,那么直线Ax+By+C=0不通过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案解析解析关闭由已知得直线Ax+By+C=0在x轴上的截距-𝐶𝐴0,在y轴上的截距-𝐶𝐵0,故直线经过一、二、四象限,不经过第三象限.答案解析关闭C知识梳理-9-知识梳理双基自测234153.直线x+y+m=0(m∈R)的倾斜角为()A.30°B.60°C.150°D.120°√3答案解析解析关闭由k=tanα=-√33,α∈[0,π)得α=150°.答案解析关闭C知识梳理-10-知识梳理双基自测23415答案解析解析关闭kx+y+2=-k可化为y+2=-k(x+1),根据直线方程的点斜式可知,此类直线恒过定点(-1,-2).答案解析关闭(-1,-2)4.已知直线kx+y+2=-k,当k变化时,所有的直线都过定点.知识梳理-11-知识梳理双基自测234155.已知直线l过点P(-2,5),且斜率为-,则直线l的方程为.34答案解析解析关闭由y-5=-34(x+2),得3x+4y-14=0.答案解析关闭3x+4y-14=0-12-考点1考点2考点3考点1直线的倾斜角与斜率例1(1)设直线l的方程为x+ycosθ+3=0(θ∈R),则直线l的倾斜角α的取值范围是()(2)经过点P(0,-1)作直线l,若直线l与连接A(1,-2),B(2,1)的线段总有公共点,则直线l的倾斜角α的取值范围是.思考直线倾斜角的取值范围和斜率的取值范围的关系有哪些?A.[0,π)B.π4,π2C.π4,3π4D.π4,π2∪π2,3π4-13-考点1考点2考点3答案:(1)C(2)3π4,π∪0,π4解析:(1)当cosθ=0时,方程变为x+3=0,其倾斜角为π2;当cosθ≠0时,由直线方程可得斜率k=-1cos𝜃.∵cosθ∈[-1,1],且cosθ≠0,∴k∈(-∞,-1]∪[1,+∞),即tanα∈(-∞,-1]∪[1,+∞),又α∈[0,π),∴α∈π4,π2∪π2,3π4.综上可知,倾斜角α的取值范围是π4,3π4,故选C.-14-考点1考点2考点3(2)如图所示,kPA=-2-(-1)1-0=-1,kPB=1-(-1)2-0=1,由图可观察出,直线l倾斜角α的取值范围是3π4,π∪0,π4.π2-15-考点1考点2考点3解题心得1.由直线倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由斜率的取值范围求直线倾斜角的取值范围时,常借助正切函数y=tanx在[0,π)内的单调性求解,这里特别要注意,正切函数在[0,π)内并不是单调的.2.过一定点作直线与已知线段相交,求直线斜率的取值范围时,应注意当倾斜角为时,直线无斜率.-16-考点1考点2考点3对点训练1若直线过点(1,2),(4,2+√3),则此直线的倾斜角是()A.π6B.π4C.π3D.π2答案解析解析关闭设直线的倾斜角为α,则tanα=2+√3-24-1=√33.又∵α∈[0,π),∴α=π6,故选A.答案解析关闭A-17-考点1考点2考点3考点2求直线的方程例2(1)若直线经过点A(-5,2),且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍,则该直线的方程为.(3)在△ABC中,已知A(5,-2),B(7,3),且AC的中点M在y轴上,BC的中点N在x轴上,则直线MN的方程为.思考求直线方程时应注意什么?(2)若直线经过点A(-√3,3),且倾斜角为直线√3x+y+1=0的倾斜角的一半,则该直线的方程为.答案:(1)x+2y+1=0或2x+5y=0(2)√3x-y+6=0(3)5x-2y-5=0-18-考点1考点2考点3解析：(1)①当横截距、纵截距均为零时,设所求的直线方程为y=kx,将(-5,2)代入y=kx中,得k=-25,此时,直线方程为y=-25x,即2x+5y=0.②当横截距、纵截距都不为零时,设所求直线方程为𝑥2𝑎+𝑦𝑎=1(a≠0),将(-5,2)代入所设方程,解得a=-12,此时,直线方程为x+2y+1=0.综上所述,所求直线方程为x+2y+1=0或2x+5y=0.-19-考点1考点2考点3(2)由√3x+y+1=0得此直线的斜率为-√3,所以倾斜角为120°,从而所求直线的倾斜角为60°,故所求直线的斜率为√3.又过点(-√3,3),所以所求直线方程为y-3=√3(x+√3),即√3x-y+6=0.-20-考点1考点2考点3(3)设C(x0,y0),则M5+𝑥02,𝑦0-22,N7+𝑥02,𝑦0+32.因为M在y轴上,所以5+𝑥02=0,所以x0=-5.因为N在x轴上,所以𝑦0+32=0,所以y0=-3,即C(-5,-3),所以M0,-52,N(1,0),所以直线MN的方程为𝑥1+𝑦-52=1,即5x-2y-5=0.-21-考点1考点2考点3解题心得1.求直线方程时,应结合所给条件选择适当的直线方程形式,并注意各种形式的适用条件.2.涉及截距问题,还要考虑截距为0这一特殊情况.-22-考点1考点2考点3对点训练2(1)已知直线x+a2y-a=0(a0,a是常数),当此直线在x轴、y轴上的截距和最小时,a的值是()A.1B.2C.√2D.0(2)已知直线l的倾斜角为θ,且过点(√3,1),若sin𝜃-π2=12,则直线l的方程为()A.√3x-y-2=0B.√3x+y-4=0C.x-√3y=0D.√3x+3y-6=0答案解析解析关闭(1)直线方程可化为𝑥𝑎+𝑦1𝑎=1,因为a0,所以截距之和t=a+1𝑎≥2,当且仅当a=1𝑎,即a=1时取等号.(2)∵sin𝜃-π2=12,∴cosθ=-12,θ=2π3,则tanθ=-√3.直线方程为y-1=-√3(x-√3),即√3x+y-4=0.答案解析关闭(1)A(2)B-23-考点1考点2考点3考点3直线方程的综合应用(多考向)考向一与函数的导数的几何意义相结合的问题例3设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为0,π4,则点P的横坐标的取值范围为()A.-1,-12B.[-1,0]C.[0,1]D.12,1思考直线方程与函数的导数的几何意义相结合的问题常见解法是什么?答案解析解析关闭由题意知y'=2x+2,设P(x0,y0),则k=2x0+2.因为曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为0,π4,所以0≤k≤1,即0≤2x0+2≤1.所以-1≤x0≤-12.答案解析关闭A-24-考点1考点2考点3考向二与圆相结合的问题例4已知直线l将圆C:x2+y2+x-2y+1=0平分,且与直线x+2y+3=0垂直,则直线l的方程为.思考直线方程与圆的方程相结合的问题常见解法是什么?答案解析解析关闭直线x+2y+3=0的斜率为-12,则直线l的斜率为2.∵圆C:x2+y2+x-2y+1=0的圆心坐标为-12,1,∴所求的直线方程为y-1=2𝑥+12,即2x-y+2=0.答案解析关闭2x-y+2=0-25-考点1考点2考点3解题心得1.在求a+b的最小值时运用了“1”的代换的数学方法;2.解决与函数导数的几何意义相结合的问题,一般是利用导数在切点处的值等于切线的斜率来求解相关问题;3.直线方程与圆的方程相结合的问题,一般是利用直线和圆找到它们的位置关系求解.-26-考点1考点2考点3对点训练3(1)过点P(-,-1)的直线l与圆x2+y2=1有公共点,则直线l的倾斜角的取值范围是()A.0,π6B.0,π3C.0,π6D.0,π3√3(2)已知曲线y=,则在曲线的切线中斜率最小的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为.1e𝑥+1答案答案关闭(1)D(2)12-27-考点1考点2考点3解析:(1)(方法一)如图,过点P作圆的切线PA,PB,切点为A,B.由题意知OP=2,OA=1,则sin∠OPA=12,所以∠OPA=30°,所以∠BPA=60°.故直线l的倾斜角的取值范围是0,π3.(方法二)设过点P(-√3,-1)的直线方程为y=k(x+√3)-1,则由直线和圆有公共点知|√3𝑘-1|√1+𝑘2≤1,解得0≤k≤√3.故直线l的倾斜角的取值范围是0,π3.-28-考点1考点2考点3(2)y'=-e𝑥(e𝑥+1)2=-1e𝑥+1e𝑥+2.因为ex0,所以ex+1e𝑥≥2e𝑥·1e𝑥=2当且仅当e𝑥=1e𝑥,即𝑥=0时等号成立,所以ex+1e𝑥+2≥4,故y'=-1e𝑥+1e𝑥+2≥-14(当且仅当x=0时等号成立).所以当x=0时,曲线的切线斜率取得最小值,此时切点的坐标为0,12,切线的方程为y-12=-14(x-0),即x+4y-2=0.该切线在x轴上的截距为2,在y轴上的截距为12,所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积S=12×2×12=12.29