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2.8函数与方程知识梳理-2-知识梳理双基自测2311.函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y=f(x)(x∈D),把使成立的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点.(2)函数零点的等价关系方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与有交点⇔函数y=f(x)有.(3)函数零点的判定(零点存在性定理)f(x)=0x轴零点连续曲线f(a)·f(b)0f(x0)=0知识梳理-3-知识梳理双基自测2312.二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与零点的关系函数y=ax2+bx+c(a≠0)Δ0Δ=0Δ0图象与x轴的交点无交点零点个数(x1,0),(x2,0)(x1,0)210知识梳理-4-知识梳理双基自测2313.二分法对于在区间[a,b]上连续不断且的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间,使区间的两个端点逐步逼近,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.f(a)·f(b)0一分为二零点知识梳理2-5-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)函数f(x)=x2-1的零点是(-1,0)和(1,0).()(2)当b2-4ac0时,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)没有零点.()(3)函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点(函数图象是连续的),则f(a)·f(b)0.()(4)若函数f(x)在(a,b)上连续单调且f(a)·f(b)0,则函数f(x)在[a,b]上有且只有一个零点.()(5)函数y=2sinx-1的零点有无数多个.()(6)只要函数有零点,我们就可以用二分法求出零点的近似值.()答案答案关闭(1)×(2)√(3)×(4)√(5)√(6)×知识梳理-6-知识梳理双基自测234152.函数f(x)=-|x|-+3的零点所在的区间为()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)√𝑥答案解析解析关闭函数f(x)=-|x|-√𝑥+3是减函数,∵f(1)=10,f(2)=1-√20,∴f(1)f(2)0,可知函数f(x)=-|x|-√𝑥+3的零点所在的区间为(1,2).答案解析关闭B知识梳理-7-知识梳理双基自测234153.如果二次函数y=x2+mx+m+3有两个不同的零点,那么m的取值范围是()A.(-2,6)B.[-2,6]C.{-2,6}D.(-∞,-2)∪(6,+∞)答案解析解析关闭由题意,有Δ=m2-4(m+3)0,即(m-6)·(m+2)0,解得m6或m-2,故选D.答案解析关闭D知识梳理-8-知识梳理双基自测23415答案解析解析关闭(方法一)∵f(-1)·f(0)=12×(-1)0,且函数f(x)的图象是连续的,∴函数f(x)在(-1,0)上必有零点.又f(2)=f(4)=0,∴函数f(x)的零点个数是3,故选D.(方法二)在同一坐标系内作出函数f(x)=x2及函数f(x)=2x的图象(图象略),可知两个函数图象有三个交点,故函数f(x)的零点个数是3,故选D.答案解析关闭D4.函数f(x)=x2-2x在x∈R上的零点的个数是()A.0B.1C.2D.3知识梳理-9-知识梳理双基自测234155.(教材例题改编P116例2)函数f(x)=ex+3x,则方程ex+3x=0实数解的个数是()A.0B.1C.2D.3答案解析解析关闭由已知得f'(x)=ex+30,故f(x)在R上是增函数,又f(-1)=e-1-30,f(1)=e+30,且函数f(x)的图象是连续的,所以f(x)的零点个数是1,故方程ex+3x=0有一个实数解.答案解析关闭B-10-考点1考点2考点3考点1判断函数零点所在的区间例1(1)在下列区间中,函数f(x)=ex+4x-3的零点所在的区间为()(2)设定义域为(0,+∞)内的单调函数f(x),对任意的x∈(0,+∞),都有f[f(x)-lnx]=e+1,若x0是方程f(x)-f'(x)=e的一个解,则x0可能存在的区间是()A.(0,1)B.(e-1,1)C.(0,e-1)D.(1,e)思考判断函数y=f(x)在某个区间上是否存在零点的常用方法有哪些?A.-14,0B.0,14C.14,12D.12,34答案答案关闭(1)C(2)D-11-考点1考点2考点3解析:(1)∵f(x)的图象是连续的,且f14=e14+4×14-3=e14-20,f12=e12+4×12-3=e12-10,∴f(x)在14,12内存在零点.(2)令f(x)-lnx=k,则f(x)=lnx+k.由f[f(x)-lnx]=e+1,得f(k)=e+1.又f(k)=lnk+k=e+1,可知k=e.故f(x)=lnx+e,所以f'(x)=1𝑥,x0.所以f(x)-f'(x)=lnx-1𝑥+e.令g(x)=lnx-1𝑥+e-e=lnx-1𝑥,x∈(0,+∞).因为g(x)=lnx-1𝑥在(0,+∞)内的图象是连续的,且g(1)=-10,g(e)=1-1e0,所以存在x0∈(1,e),使g(x0)=0.故选D.-12-考点1考点2考点3解题心得判断函数y=f(x)在某个区间上是否存在零点,常用以下方法:(1)解方程:当对应方程易解时,可通过解方程,观察方程是否有根落在给定区间上.(2)利用函数零点的存在性定理进行判断:首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,然后看是否有f(a)·f(b)0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.(3)通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.(2)已知函数f(x)=2x--a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是()A.(1,3)B.(1,2)C.(0,3)D.(0,2)(3)函数f(x)=x2-3x-18在区间[1,8]上零点.(填“存在”或“不存在”)-13-考点1考点2考点3答案答案关闭(1)A(2)C(3)存在对点训练1(1)函数f(x)=πx+log2x的零点所在的区间为()A.14,12B.18,14C.0,18D.12,12𝑥-14-考点1考点2考点3(2)由条件可知f(1)f(2)0,即(2-2-a)(4-1-a)0,即a(a-3)0,解得0a3.(3)(方法一)∵f(1)=12-3×1-18=-200,f(8)=82-3×8-18=220,∴f(1)·f(8)0,又f(x)=x2-3x-18在区间[1,8]上的图象是连续的,∴f(x)=x2-3x-18在区间[1,8]上存在零点.(方法二)令f(x)=0,得x2-3x-18=0,∴(x-6)·(x+3)=0.∴x=6或x=-3.∵x=6∈[1,8],x=-3∉[1,8],∴f(x)=x2-3x-18在区间[1,8]上存在零点.解析:(1)f14=π4+log214=π4-20,f12=π2-10,即f14·f120,因此f(x)在区间14,12上至少有一个零点.故选A.-15-考点1考点2考点3(方法二)令f(x)=0,得x2-3x-18=0,∴(x-6)·(x+3)=0.∴x=6或x=-3.∵x=6∈[1,8],x=-3∉[1,8],∴f(x)=x2-3x-18在区间[1,8]上存在零点.-16-考点1考点2考点3考点2判断函数零点的个数例2(1)函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为()A.1B.2C.3D.4(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且对于任意的x∈[0,+∞),满足f(x+2)=f(x),若当x∈[0,2)时,f(x)=|x2-x-1|,则函数y=f(x)-1在区间[-2,4]上的零点个数为.思考判断函数零点个数的常用方法有哪些?答案答案关闭(1)B(2)7-17-考点1考点2考点3解析:(1)函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点也就是方程2x|log0.5x|-1=0的根,即2x|log0.5x|=1,整理得|log0.5x|=12𝑥.令g(x)=|log0.5x|,h(x)=12𝑥,画出g(x),h(x)的图象如图所示.因为两个函数的图象有两个交点,所以f(x)有两个零点.-18-考点1考点2考点3(2)由题意作出y=f(x)在区间[-2,4]上的图象,可知与直线y=1的交点共有7个,故函数y=f(x)-1在区间[-2,4]上的零点个数为7.-19-考点1考点2考点3解题心得判断函数零点个数的方法:(1)解方程法:若对应方程f(x)=0可解时,通过解方程,则有几个解就有几个零点.(2)零点存在性定理法:利用定理不仅要判断函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点.(3)数形结合法:转化为两个函数的图象的交点个数问题.先画出两个函数的图象,再看其交点的个数,其中交点的个数就是函数零点的个数.-20-考点1考点2考点3(2)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)=2017x+log2017x,则f(x)在R上的零点的个数为.对点训练2(1)(2018全国Ⅲ,理15)函数f(x)=cos3𝑥+π6在[0,π]的零点个数为.答案解析解析关闭(1)令f(x)=cos3𝑥+π6=0,得3x+π6=π2+kπ,k∈Z,∴x=π9+𝑘π3=(3𝑘+1)π9,k∈Z.则在[0,π]的零点有π9,4π9,7π9.故有3个.(2)当x0时,f'(x)=2017xln2017+1𝑥ln20170,所以f(x)在(0,+∞)内单调递增,取x=2017-2,则f(2017-2)=20172017-2-20.又f(1)=20170,所以f(x)在(0,+∞)内有一个零点,根据奇函数关于原点对称,f(x)在(-∞,0)内也有一个零点.又f(0)=0,所以函数f(x)在R上有3个零点.答案解析关闭(1)3(2)3-21-考点1考点2考点3考点3函数零点的应用例3(2018全国Ⅰ,理9)已知函数f(x)=e𝑥,𝑥≤0,ln𝑥,𝑥0,g(x)=f(x)+x+a,若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是()A.[-1,0)B.[0,+∞)C.[-1,+∞)D.[1,+∞)思考已知函数有零点(方程有根),求参数的取值范围常用的方法有哪些?答案解析解析关闭要使得g(x)=f(x)+x+a有两个零点,等价于方程f(x)=-x-a有两个实根,即函数y=f(x)的图象与直线y=-x-a有两个交点,由图象可知,必须使得直线y=-x-a与直线y=-x+1重合或位于直线y=-x+1的下方,所以-a≤1,即a≥-1.故选C.答案解析关闭C-22-考点1考点2考点3解题心得已知函数有零点(方程有根),求参数的取值范围常用的方法:(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围.(2)分离参数法:先将参数分离,再转化成求函数值域问题加以解决.(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,再数形结合求解.-23-考点1考点2考点3对点训练3(1)已知函数f(x)=2ax-a+3,若∃x0∈(-1,1),f(x0)=0,则实数a的取值范围是()A.(-∞,-3)∪(1,+∞)B.(-∞,-3)C.(-3,1)D.(1,+∞)(2)已知函数f(x)=k∈R,若函数y=|f(x)|+k有三个零点,则实数k的取值范围是()A.k≤2B.-1k0C.-2≤k-1D.k≤-2𝑘𝑥+2,𝑥≤0,ln𝑥,𝑥0,答案解析解析关闭(1)函数f(x)=2ax-a+3,若∃x0∈(-1,1),f(x0)=0,可得(-3a+3)(a+3)0,解得a∈(-∞,-3)∪(1,+∞).(2)由y=|f(x)|+k=0,得|f(x)|=-k≥0,故k≤0.作出函数y=|f(x)|的图象如图,要使y=-k与函数y=|f(x)|的图象有三个交点,则有-k≥2,即k≤-2,故选D.答案解析关闭(1