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2.6幂函数与二次函数知识梳理-2-知识梳理双基自测211.幂函数(1)幂函数的定义:形如(α∈R)的函数称为幂函数,其中x是,α是.(2)五种幂函数的图象y=xα自变量常数知识梳理-3-知识梳理双基自测21(3)五种幂函数的性质函数y=xy=x2y=x3y=x12y=x-1定义域值域奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性定点(1,1)(0,0)(1,1)RRR[0,+∞){x|x∈R,且x≠0}R[0,+∞)R[0,+∞){y|y∈R,且y≠0}增x∈[0,+∞)时,增,x∈(-∞,0)时,减增增x∈(0,+∞)时,减,x∈(-∞,0)时,减知识梳理-4-知识梳理双基自测212.二次函数(1)二次函数的三种形式一般式:;顶点式:,其中为顶点坐标;零点式:,其中为二次函数的零点.f(x)=ax2+bx+c(a≠0)f(x)=a(x-h)2+k(a≠0)(h,k)f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)x1,x2知识梳理-5-知识梳理双基自测21(2)二次函数的图象和性质函数y=ax2+bx+c(a≠0)a0a0图象定义域x∈R知识梳理值域4𝑎𝑐-𝑏24𝑎,+∞-∞,4𝑎𝑐-𝑏24𝑎单调性在区间-∞,-𝑏2𝑎上递减,在区间-𝑏2𝑎,+∞内递增在区间-∞,-𝑏2𝑎上递增,在区间-𝑏2𝑎,+∞内递减奇偶性当b=0时,y为偶函数;当b≠0时,y既不是奇函数也不是偶函数图象特点①对称轴:;②顶点:-𝑏2𝑎,4𝑎𝑐-𝑏24𝑎-6-知识梳理双基自测21x=-𝑏2𝑎知识梳理2-7-知识梳理双基自测3411.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)函数y=-x2与y=2𝑥12都是幂函数.()(2)当α0时,幂函数y=xα是定义域上的增函数.()(3)二次函数y=ax2+bx+c(x∈R),当x=-𝑏2𝑎时,y取得最小值为4𝑎𝑐-𝑏24𝑎.()(4)幂函数的图象不经过第四象限.()(5)二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的函数值恒为负的充要条件是𝑎0,𝑏2-4𝑎𝑐0.()答案答案关闭(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√知识梳理-8-知识梳理双基自测23412.如果函数f(x)=x2+bx+c对任意的x都有f(x+1)=f(-x),那么()A.f(-2)f(0)f(2)B.f(0)f(-2)f(2)C.f(2)f(0)f(-2)D.f(0)f(2)f(-2)答案解析解析关闭由f(1+x)=f(-x)知f(x)的图象关于直线x=12对称.∵f(x)的图象开口向上,∴f(0)f(2)f(-2).答案解析关闭D知识梳理-9-知识梳理双基自测23413.若幂函数的图象不经过原点,则实数m的值为.y=(m2-3m+3)𝑥𝑚2−𝑚−2答案解析解析关闭由𝑚2-3𝑚+3=1,𝑚2-𝑚-2≤0,解得m=1或m=2.经检验m=1或m=2都适合.答案解析关闭1或2知识梳理-10-知识梳理双基自测23414.(教材习题改编P82T10)已知幂函数y=f(x)的图象过点则此函数的解析式为;在区间上单调递减.2,√22,答案解析解析关闭∵f(x)的图象过点2,√22,∴2α=√22=2-12,∴α=-12,∴f(x)=𝑥-12.由f(x)的图象可知,f(x)的减区间是(0,+∞).答案解析关闭y=𝑥-12(0,+∞)-11-考点1考点2考点3考点1幂函数的图象和性质例1(1)若幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),则幂函数y=f(x)的图象是()(2)已知幂函数f(x)=(n2+2n-2)·(n∈Z)在(0,+∞)内是减函数,则n的值为()A.-3B.1C.2D.1或2𝑥𝑛2-3𝑛(3)已知a=243,b=425,c=2513,则()A.bacB.abcC.bcaD.cab答案解析解析关闭(1)令f(x)=xα,则4α=2,解得α=12,故f(x)=𝑥12.可得其图象为选项C.(2)因为f(x)为幂函数,所以n2+2n-2=1,解得n=1或n=-3.又幂函数f(x)在(0,+∞)内是减函数,所以n2-3n0.所以舍去n=-3,得n=1.故选B.(3)∵b=425=245,又a=243,∴构造指数函数y=2x,在R上单调递增,又4543,∴ab.∵a=243=(24)13=1613,又c=2513,∴构造幂函数y=𝑥13,在(0,+∞)上单调递增,∴ac.故bac.答案解析关闭(1)C(2)B(3)A-12-考点1考点2考点3思考幂函数与指数函数有怎样的区别?幂函数有哪些重要的性质?如何比较幂值的大小?解题心得1.幂函数中底数是自变量,指数是常数,而指数函数中底数是常数,指数是自变量.2.幂函数的主要性质:(1)幂函数在(0,+∞)内都有定义,幂函数的图象都过定点(1,1).(2)当α0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)内单调递增.(3)当α0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,+∞)内单调递减.(4)幂函数图象在第一象限的特点:当α1时,曲线下凸;当0α1时,曲线上凸;当α0时,曲线下凸.-13-考点1考点2考点33.比较幂值大小的常见类型及解决方法:(1)同底不同指,可以利用指数函数单调性进行比较;(2)同指不同底,可以利用幂函数单调性进行比较;(3)既不同底又不同指,常常找到一个中间值,通过比较两个幂值与中间值的大小来判断两个幂值的大小.-14-考点1考点2考点3对点训练1(1)已知幂函数f(x)的图象经过点,P(x1,y1),Q(x2,y2)(x1x2)是函数图象上不同的任意两点,给出以下结论:①x1f(x1)x2f(x2);②x1f(x1)x2f(x2);③𝑓(𝑥1)𝑥1𝑓(𝑥2)𝑥2;④𝑓(𝑥1)𝑥1𝑓(𝑥2)𝑥2.18,√24其中正确结论的序号是()A.①②B.①③C.②④D.②③(2)若(a+1)12(3-2a)12,则实数a的取值范围是.答案解析解析关闭(1)设函数f(x)=xα,由点18,√24在函数图象上得18𝛼=√24,解得α=12,即f(x)=𝑥12.因为g(x)=xf(x)=𝑥32为(0,+∞)内的增函数,所以①错误,②正确;因为h(x)=𝑓(𝑥)𝑥=𝑥-12为(0,+∞)内的减函数,所以③正确,④错误.(2)易知函数y=𝑥12的定义域为[0,+∞),且在定义域内为增函数,故𝑎+1≥0,3-2𝑎≥0,𝑎+13-2𝑎,解之得-1≤a23.答案解析关闭(1)D(2)-1,23-15-考点1考点2考点3考点2求二次函数的解析式例2已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数的解析式.思考求二次函数解析式时如何选取恰当的表达形式?-16-考点1考点2考点3解法一(利用一般式)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).由题意得4𝑎+2𝑏+𝑐=-1,𝑎-𝑏+𝑐=-1,4𝑎𝑐-𝑏24𝑎=8,解得𝑎=-4,𝑏=4,𝑐=7.故所求二次函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7.解法二(利用顶点式)设f(x)=a(x-m)2+n.∵f(2)=f(-1),∴抛物线的对称轴为x=2+(-1)2=12.∴m=12.-17-考点1考点2考点3又根据题意知函数有最大值8,∴n=8.∴y=f(x)=a𝑥-122+8.∵f(2)=-1,∴a2-122+8=-1,解得a=-4.∴f(x)=-4𝑥-122+8=-4x2+4x+7.-18-考点1考点2考点3解法三(利用交点式)由已知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1,故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1),即f(x)=ax2-ax-2a-1.又函数有最大值ymax=8,因此所求函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7.即4𝑎(-2𝑎-1)-𝑎24𝑎=8.解得a=-4.-19-考点1考点2考点3解题心得根据已知条件确定二次函数的解析式,一般用待定系数法,选择规律如下:(1)已知三个点坐标,宜选用一般式.(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等,宜选用顶点式.(3)已知图象与x轴的两个交点坐标,宜选用交点式.-20-考点1考点2考点3对点训练2已知二次函数f(x)有两个零点0和-2,且它有最小值-1,则f(x)的解析式为f(x)=.答案解析解析关闭由于f(x)有两个零点0和-2,所以可设f(x)=ax(x+2)(a≠0),此时f(x)=ax(x+2)=a(x+1)2-a.由于f(x)有最小值-1,所以必有𝑎0,-𝑎=-1,解得a=1.因此f(x)的解析式是f(x)=x(x+2)=x2+2x.答案解析关闭x2+2x-21-考点1考点2考点3考点3二次函数的图象与性质(多考向)考向一二次函数的最值问题例3设函数y=x2-2x,x∈[-2,a],若函数的最小值为m,求m.思考如何求含参数的二次函数在闭区间上的最值?-22-考点1考点2考点3解∵函数y=x2-2x=(x-1)2-1,∴对称轴为直线x=1,∵x=1不一定在区间[-2,a]内,当-2a≤1时,函数在[-2,a]上单调递减,则当x=a时,y取得最小值,即ymin=a2-2a;当a1时,函数在[-2,1]上单调递减,在[1,a]上单调递增,则当x=1时,y取得最小值,即ymin=-1.综上,g(x)=𝑎2-2𝑎,-2𝑎≤1,-1,𝑎1.-23-考点1考点2考点3考向二与二次函数有关的存在性问题例4已知函数f(x)=x2-2x,g(x)=ax+2(a0),对任意的x1∈[-1,2]都存在x0∈[-1,2],使得g(x1)=f(x0),则实数a的取值范围是.思考如何理解本例中对任意的x1∈[-1,2]都存在x0∈[-1,2],使得g(x1)=f(x0)?答案解析解析关闭当x0∈[-1,2]时,由f(x)=x2-2x得f(x0)∈[-1,3],又对任意的x1∈[-1,2]都存在x0∈[-1,2],使得g(x1)=f(x0),所以𝑔(𝑥1)min≥𝑓(𝑥0)min,𝑔(𝑥1)max≤𝑓(𝑥0)max,即x1∈[-1,2]时,g(x1)∈[-1,3].所以当a0时,-𝑎+2≥-1,2𝑎+2≤3,解得a≤12.综上所述,实数a的取值范围是0,12.答案解析关闭0,12-24-考点1考点2考点3考向三二次函数中的恒成立问题例5已知函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R),x∈R.(1)若函数f(x)的最小值为f(-1)=0,求f(x)的解析式,并写出单调区间;(2)在(1)的条件下,f(x)x+k在区间[-3,-1]上恒成立,求k的取值范围.思考由不等式恒成立求参数取值范围的一般解题思路是什么?-25-考点1考点2考点3解(1)∵函数f(x)的最小值为f(-1)=0,∴a=1,b=2.∴f(x)=x2+2x+1,单调递减区间为(-∞,-1],单调递增区间为[-1,+∞).(2)f(x)x+k在区间[-3,-1]上恒成立,等价为x2+x+1k在区间[-3,-1]上恒成立.设g(x)=x2+x+1,x∈[-3,-1],则g(x)在[-3,-1]上单调递减.故g(x)min=g(-1)=1.因此k1,即k的取值范围为(-∞,1).∴f(-1)=a-b+1=0,且-𝑏2𝑎=-1.-26-考点1考点2考点3解题心得1.二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型:轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动,不论哪种类型,解决的关键是考查对称轴与区间的关系,当含有参数时,要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论,当确定了对称轴和区间的关系,就明确了函数的单调性,从而确定函数的最值.2.已知函数f(x),g(x),若对任意的x1∈[a,b]都存在x0∈[a,b],使得g(x1)=f(x0),求g(x)中参数的取值范围,说明g(x1)在[a,b]上的取值范围是f(x0)在[a,b