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第八章立体几何8.1空间几何体的结构及其三视图和直观图知识梳理-3-知识梳理双基自测23411.空间几何体的结构特征多面体(1)棱柱的侧棱都,上、下底面是且平行的多边形.(2)棱锥的底面是,侧面是.(3)棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到,其上、下底面是多边形平行且相等全等任意多边形有一个公共顶点的三角形相似知识梳理-4-知识梳理双基自测2341旋转体(1)圆柱可以由绕其任一边所在直线旋转得到.(2)圆锥可以由直角三角形绕其所在直线旋转得到.(3)圆台可以由直角梯形绕所在直线或等腰梯形绕上、下底边中点连线所在直线旋转得到,也可由平行于圆锥底面的平面截得到.(4)球可以由绕直径所在直线旋转得到矩形直角边直角腰圆锥半圆面或圆面知识梳理-5-知识梳理双基自测23412.三视图(1)几何体的三视图包括,分别是从几何体的方、方、方观察几何体画出的轮廓线.(2)三视图的画法①基本要求:,,.②画法规则:一样高,一样长,一样宽;看不到的轮廓线画线.正视图、侧视图、俯视图正前正左正上长对正高平齐宽相等正侧正俯侧俯虚知识梳理-6-知识梳理双基自测23413.直观图(1)画法:常用画法.(2)规则①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直,直观图中,x'轴、y'轴的夹角为,z'轴与x'轴和y'轴所在平面.②原图形中平行于坐标轴的线段,在直观图中仍平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段长度在直观图中,平行于y轴的线段长度在直观图中.斜二测45°(或135°)垂直保持不变变为原来的一半知识梳理-7-知识梳理双基自测23414.常用结论(1)常见旋转体的三视图①球的三视图都是半径相等的圆.②底面与水平面平行放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形.③底面与水平面平行放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形.④底面与水平面平行放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形.知识梳理-8-知识梳理双基自测2341(2)斜二测画法中的“三变”与“三不变”“三变”坐标轴的夹角改变,与𝑦轴平行的线段的长度变为原来的一半,图形改变“三不变”平行性不改变,与𝑥轴和𝑧轴平行的线段的长度不改变,相对位置不改变(3)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积与原图形的面积有以下关系S直观图=24·S原图形,S原图形=22S直观图.知识梳理2-9-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“”,错误的打“×”.(1)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.()(2)棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥所得的平面与底面之间的部分.()(3)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱.()(4)画几何体的三视图时,看不到的轮廓线应画虚线.()(5)用斜二测画法画水平放置的∠A时,若∠A的两边分别平行于x轴和y轴,且∠A=90°,则在直观图中∠A=45°.()答案答案关闭(1)×(2)√(3)×(4)√(5)×知识梳理-10-知识梳理双基自测234152.(教材习题改编P8TA1(2))给出下列命题:①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线;②有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥;③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥;④棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等.其中正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.3答案答案关闭A知识梳理-11-知识梳理双基自测23415解析①不一定,只有这两点的连线平行于轴时才是母线;②不一定,因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”,如图(1)所示;③不一定.当以斜边所在直线为旋转轴时,其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥,如图(2)所示,它是由两个同底圆锥组成的几何体;④错误,棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形,各侧棱延长线交于一点,但是侧棱长不一定相等.图(1)图(2)知识梳理-12-知识梳理双基自测234153.将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,得到的几何体的正视图与俯视图如图所示,则该几何体的侧(左)视图为()答案解析解析关闭由题意得该长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,如下图所示:易知其左视图为B项中图.故选B.答案解析关闭B知识梳理-13-知识梳理双基自测234154.沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示,则该几何体的侧(左)视图为()答案解析解析关闭给几何体的各顶点标上字母,如图①.A,E在侧投影面上的投影重合,C,G在侧投影面上的投影重合,几何体在侧投影面上的投影及把侧投影面展平后的情形如图②所示,故正确选项为B(而不是A).①②答案解析关闭B知识梳理-14-知识梳理双基自测234155.(2018湖北襄阳月考)如图,已知直观图四边形A'B'C'D'是一个底角为45°,腰和上底均为1的等腰梯形,则原平面图形的面积是()A.2+2B.2-1C.22D.22答案解析解析关闭根据斜二测画法可知,原图形为直角梯形,其中上底AD=1,高AB=2A'B'=2,下底BC=1+2,所以原平面图形的面积是1+1+22×2=2+2,故选A.答案解析关闭A-15-考点1考点2考点3考点1空间几何体的结构特征例1下列结论正确的是()A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边绕旋转轴旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C.若棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等,则该棱锥可能是六棱锥D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线思考如何熟练应用空间几何体的结构特征?答案:D-16-考点1考点2考点3①②解析:A错误,如图①是由两个相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体,它的各个面都是三角形,但它不是三棱锥;B错误,如图②,若△ABC不是直角三角形,或△ABC是直角三角形但旋转轴不是直角边所在直线,所得的几何体都不是圆锥;C错误,若该棱锥是六棱锥,由题设知,它是正六棱锥.易证正六棱锥的侧棱长必大于底面边长,这与题设矛盾.-17-考点1考点2考点3解题心得1.要想真正把握几何体的结构特征,必须多角度、全面地去分析,多观察实物,提高空间想象能力.2.紧扣结构特征是判断的关键,熟悉空间几何体的结构特征,依据条件构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素,依据题意判定.3.通过反例对结构特征进行辨析,即要说明一个命题是错误的,只要举出一个反例即可.-18-考点1考点2考点3对点训练1设有以下命题:①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体;②底面是矩形的平行六面体是长方体;③四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形;④棱台的相对侧棱延长后必交于一点;其中真命题的序号是.答案:①③④-19-考点1考点2考点3解析：命题①符合平行六面体的定义,故命题①是真命题;底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直,故命题②是假命题;命题③是真命题,如图,PD⊥平面ABCD,其中底面ABCD为矩形,可证明∠PAB,∠PCB为直角,这样四个侧面都是直角三角形;命题④由棱台的定义知是真命题.-20-考点1考点2考点3考点2空间几何体的直观图例2(1)右图是水平放置的某个三角形的直观图,D'是△A'B'C'中B'C'边的中点,且A'D'∥y'轴,A'B',A'D',A'C'三条线段对应原图形中的线段AB,AD,AC,则()A.ABADACB.ACADABC.AB=ACADD.ADABACC-21-考点1考点2考点3(2)如图,已知△ABC的直观图△A'B'C'是边长为a的正三角形,则原△ABC的面积为.思考用斜二测画法画直观图的方法技巧有哪些?62a2-22-考点1考点2考点3解析:(1)A'D'∥y'轴,根据斜二测画法的规则,在原图形中应有AD⊥BC,又AD为BC边上的中线,所以△ABC为等腰三角形.AD为BC边上的高,则有AB,AC相等且大于AD.-23-考点1考点2考点3(2)(方法一)建立如图所示的坐标系xOy',△A'B'C'的顶点C'在y'轴上,边A'B'在x轴上,OC为△ABC的高.把y'轴绕原点逆时针旋转45°得y轴,则点C'变为点C,且OC=2OC',点A,B即为点A',B',长度不变.已知A'B'=A'C'=a,在△OA'C'中,由正弦定理,得𝑂𝐶'sin∠𝑂𝐴'𝐶'=𝐴'𝐶'sin∠𝐴'𝑂𝐶',所以OC'=𝐴'𝐶'sin∠𝑂𝐴'𝐶'sin∠𝐴'𝑂𝐶'=sin120°sin45°a=62a,所以原△ABC的高OC=6a.所以S△ABC=12×a×6a=62a2.-24-考点1考点2考点3(方法二)易得直观图正三角形A'B'C'的面积为34a2.由S原图形=22S直观图,可得原△ABC的面积S△ABC=22×34a2=62a2.-25-考点1考点2考点3解题心得1.在原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中与x'轴或y'轴平行,原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线,原图中的曲线段可以通过取一些关键点,作出在直观图中的相应点后,用平滑的曲线连接而画出.2.把水平放置的直观图还原成原来的图形,基本过程就是逆用斜二测画法,使平行于x'轴的线段长度不变,平行于y'轴的线段长度变成原来的2倍.3.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积与原图形的面积有以下关系:S直观图=24S原图形,S原图形=22S直观图.-26-考点1考点2考点3对点训练2已知正三角形ABC的边长为a,则它的直观图的面积是.答案解析解析关闭(方法1)如图①,建立平面直角坐标系,如图②,画出其直观图,由斜二测画法规则知A'B'=a,O'C'=34a.①②在Rt△O'C'H中,C'H=C'O'·sin45°=68a.所以S△A'B'C'=12a×68a=616a2.(方法2)由题意,得S△ABC=34a2,则S直观图=24S原图形=24×34a2=616a2.答案解析关闭616a2-27-考点1考点2考点3考点3空间几何体的三视图与直观图的综合(多考向)考向一由空间几何体的直观图识别三视图例3一几何体的直观图如图,下列给出的四个俯视图正确的是()思考由直观图得三视图的基本思路是什么?答案解析解析关闭该几何体是组合体,上面的几何体是一个五面体,下面是一个长方体,且五面体的一个面即为长方体的一个面,五面体最上面的棱的两端点在底面的射影到左右两边的距离相等,故选B.答案解析关闭B-28-考点1考点2考点3考向二由空间几何体的三视图还原直观图例4某多面体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形,该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为()A.10B.12C.14D.16思考由三视图还原几何体的直观图的基本步骤有哪些?答案解析解析关闭由三视图可还原出几何体的直观图如图所示.该五面体中有两个侧面是全等的直角梯形,且该直角梯形的上底长为2,下底长为4,高为2,则S梯=(2+4)×2÷2=6,所以这些梯形的面积之和为12.答案解析关闭B-29-考点1考点2考点3考向三由空间几何体的部分视图画出剩余部分视图例5如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个锥体的侧视图和俯视图,则该锥体的正视图可能是()思考各视图之间的联系是什么?答案解析解析关闭由俯视图和侧视图可知原几何体是四棱锥,底面是长方形,内侧的侧面垂直于底面,所以正视图为A.答案解析关闭A-30-考点1考点2考点3解题心得1.由几何体的直观图求三视图.注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向,注意看到的部分用实线表示,看不到的部分用虚线表示.2.由几何体的三视图还原几何体的形状.要熟悉柱、锥、台、球的三视图,明确三视图的形成原理,结合空间想象将三视图还原为实物图.3.由几何体的部分视图画出剩余的部分视图.先根据已知的一部分三视图,还原、推测直观图的可能形式,然后再找其剩下部分三视图的可能形式.当然作为选择题,也可将选项逐项代入,再看看给出的部分三视图是否符合.-31-考点1考点2考点3对点训练