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题型突破（六）圆的综合问题类型一与圆的基本性质有关的计算或证明图Z6-1例1[2019·福州一中模拟]如图Z6-1,在△ABC中,∠BAC=90°,点E在BC边上,且CA=CE,过A,C,E三点的☉O交AB于另一点F,作直径AD,连接DE并延长交AB于点G,连接CD,CF.(1)求证:四边形DCFG是平行四边形;(2)当BE=4,CD=38AB时,求☉O的直径长.解:(1)证明:连接AE.∵∠BAC=90°,∴CF是☉O的直径.∵AC=EC,∴CF⊥AE.∵AD为☉O的直径,∴∠AED=90°,即GD⊥AE,∴CF∥DG.∵AD为☉O的直径,∴∠ACD=90°,∴∠ACD+∠BAC=180°,∴AB∥CD,∴四边形DCFG为平行四边形.图Z6-1例1[2019·福州一中模拟]如图Z6-1,在△ABC中,∠BAC=90°,点E在BC边上,且CA=CE,过A,C,E三点的☉O交AB于另一点F,作直径AD,连接DE并延长交AB于点G,连接CD,CF.(2)当BE=4,CD=38AB时,求☉O的直径长.(2)由CD=38AB,可设CD=3x,AB=8x,∴CD=FG=3x.∵∠AOF=∠COD,∴AF=CD=3x,∴BG=8x-3x-3x=2x.∵BG∥CD,∴△BGE∽△CDE,∴𝐵𝐸𝐸𝐶=𝐵𝐺𝐶𝐷=23.又∵BE=4,∴AC=CE=6,∴BC=6+4=10,∴AB=102-62=8=8x,∴x=1.在Rt△ACF中,AF=3,AC=6,∴CF=32+62=35,即☉O的直径长为35.|题型精练|1.如图Z6-2,∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D,∠ABC的平分线交AD于点E.求证:DE=DB.图Z6-2证明:∵AD平分∠BAC,BE平分∠ABC,∴∠BAD=∠CAD,∠ABE=∠CBE,又∠BED=∠ABE+∠BAD,∠DBE=∠DBC+∠CBE,∠DBC=∠DAC,∴∠BED=∠DBE.∴DE=DB.2.如图Z6-3,以△ABC的一边AB为直径的半圆与其他两边AC,BC的交点分别为D,E.且𝐷𝐸=𝐵𝐸.求证:AB=AC.图Z6-3证明:方法一:连接AE,∵AB是直径,∴∠AEB=∠AEC=90°,∵𝐷𝐸=𝐵𝐸,∴∠BAE=∠CAE,又AE=AE,∴△AEB≌△AEC(ASA),∴AB=AC.方法二:∵AB是直径,∴∠ADB=∠CDB=90°,∵𝐷𝐸=𝐵𝐸,∴DE=BE,∴∠CBD=∠BDE,∴∠C=∠CDE,∵四边形ABED是圆内接四边形,∴∠CDE=∠CBA,∴∠C=∠CBA,∴AB=AC.3.如图Z6-4,四边形ABCD内接于☉O,AC与BD为对角线,∠BCA=∠BAD,过点A作AE∥BC交CD的延长线于点E.(1)求证:EC=AC;(2)若cos∠ADB=25,BC=10,求DE的长.图Z6-4解:(1)证明:∵BC∥AE,∴∠ACB=∠EAC,∵∠ACB=∠BAD,∴∠EAC=∠BAD,∴∠EAD=∠CAB,∵∠ADE+∠ADC=180°,∠ADC+∠ABC=180°,∴∠ADE=∠ABC,∵∠EAD+∠ADE+∠E=180°,∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°,∴∠E=∠ACB=∠EAC,∴CE=CA.3.如图Z6-4,四边形ABCD内接于☉O,AC与BD为对角线,∠BCA=∠BAD,过点A作AE∥BC交CD的延长线于点E.(2)若cos∠ADB=25,BC=10,求DE的长.图Z6-4(2)设AE交☉O于M,连接DM,作MH⊥DE于H.∵∠EAD=∠CAB,∴𝐷𝑀=𝐵𝐶,∴DM=BC=10.∵∠MDE+∠MDC=180°,∠MDC+∠MAC=180°,∴∠MDE=∠CAM,∵∠E=∠CAE,∴∠E=∠MDE,∴MD=ME=10,∵MH⊥DE,∴EH=DH,∵∠ADB=∠ACB=∠BAD=∠E,∴cosE=𝐸𝐻𝑀𝐸=25,∴EH=4,∴DE=2EH=8.4.[2019·福建名校联考]如图Z6-5,AB是☉O的直径,D,E为☉O上位于AB异侧的两点,连接BD并延长至点C,使得CD=BD,连接AC交☉O于点F,连接BE,DE,DF.(1)若∠E=35°,求∠BDF的度数.(2)若DF=4,cos∠CFD=23,E是𝐴𝐵的中点,求DE的长.图Z6-5解:(1)如图①,连接EF,BF,∵AB是☉O的直径,∴∠AFB=∠BFC=90°,∵CD=BD,∴DF=BD=CD,∴𝐷𝐹=𝐵𝐷,∴∠DEF=∠BED=35°,∴∠BEF=70°,∴∠BDF=180°-∠BEF=110°.4.[2019·福建名校联考]如图Z6-5,AB是☉O的直径,D,E为☉O上位于AB异侧的两点,连接BD并延长至点C,使得CD=BD,连接AC交☉O于点F,连接BE,DE,DF.(2)若DF=4,cos∠CFD=23,E是𝐴𝐵的中点,求DE的长.图Z6-5(2)如图②,连接AD,OE,过B作BG⊥DE于G,∵∠CFD=∠ABD,∴cos∠ABD=cos∠CFD=23,在Rt△ABD中,BD=DF=4,∴AB=6,∵E是𝐴𝐵的中点,AB是☉O的直径,∴∠AOE=90°,∵BO=OE=3,∴BE=32,∴∠BDE=∠ADE=45°,∴DG=BG=22BD=22,∴GE=𝐵𝐸2-𝐵𝐺2=10,∴DE=DG+GE=22+10.图Z6-65.[2019·河北]如图Z6-6①和图②,▱ABCD中,AB=3,BC=15,tan∠DAB=43.点P为AB延长线上一点,过点A作☉O切CP于点P,设BP=x.(1)如图①,x为何值时,圆心O落在AP上?若此时☉O交AD于点E,直接指出PE与BC的位置关系;(2)当x=4时,如图②,☉O与AC交于点Q,求∠CAP的度数,并通过计算比较弦AP与劣弧𝑃𝑄长度的大小;(3)当☉O与线段AD只有一个公共点时,直接写出x的取值范围.①②备用图解:(1)∵圆心O落在AP上,∴AP为☉O的直径,∴∠AEP=90°,∴PE⊥AD.∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC∥AD,∴∠PBC=∠DAB,PE⊥BC.∵作☉O切CP于点P,∴∠BPC=90°.∵tan∠DAB=tan∠PBC=43,设BP=x,∴PC=BP·tan∠PBC=43x,又∵BC=15,∴43x2+x2=152,解得x=9或x=-9(舍),即当x=9时,圆心O落在AP上.此时PE⊥BC.图Z6-65.[2019·河北]如图Z6-6①和图②,▱ABCD中,AB=3,BC=15,tan∠DAB=43.点P为AB延长线上一点,过点A作☉O切CP于点P,设BP=x.(2)当x=4时,如图②,☉O与AC交于点Q,求∠CAP的度数,并通过计算比较弦AP与劣弧𝑃𝑄长度的大小;①②备用图(2)如图所示,作CM⊥AP于点M,∵tan∠CBP=tan∠DAB=43,BC=15,∴BM=9,CM=12,∴AM=AB+BM=3+9=12=CM,∴∠CAP=45°.∵AB=3,BP=4,∴AP=AB+BP=3+4=7.过点O作OF⊥AP于点G,连接OP,OQ,如图,则AG=PG=12AP=72,PM=BM-BP=5,∴PC=13,易证Rt△GOP∽Rt△MPC,∴𝑂𝑃𝑃𝐶=𝑃𝐺𝐶𝑀,∴OP=9124,∵∠POQ=2∠CAP=90°,∴劣弧𝑃𝑄长度为90π180·9124=9148π.∵9148π7,∴弦AP大于劣弧𝑃𝑄长度.图Z6-65.[2019·河北]如图Z6-6①和图②,▱ABCD中,AB=3,BC=15,tan∠DAB=43.点P为AB延长线上一点,过点A作☉O切CP于点P,设BP=x.(3)当☉O与线段AD只有一个公共点时,直接写出x的取值范围.①②备用图(3)当☉O与线段AD只有一个公共点时,x≥18.图Z6-76.[2018·福建A卷24题]四边形ABCD内接于☉O,AC为直径,DE⊥AB交AB于点E.(1)延长DE交☉O于点F,延长DC,FB交于点P,如图Z6-7①,求证:PC=PB;(2)如图②,过点B作BG⊥AD于点G,交DE于H.若AB=3,DH=1,∠OHD=80°,求∠EDB的度数.解:(1)证明:∵AC是☉O的直径,∴∠ABC=90°,∵DE⊥AB,∴∠DEA=90°,∴∠DEA=∠ABC,∴BC∥DF,∴∠F=∠PBC,∵四边形BCDF是圆内接四边形,∴∠F+∠DCB=180°,又∵∠PCB+∠DCB=180°,∴∠PCB=∠F,∴∠PCB=∠PBC,∴PC=PB.图Z6-76.[2018·福建A卷24题]四边形ABCD内接于☉O,AC为直径,DE⊥AB交AB于点E.(2)如图②,过点B作BG⊥AD于点G,交DE于H.若AB=3,DH=1,∠OHD=80°,求∠EDB的度数.(2)如图,连接OD,∵AC是☉O的直径,∴∠ADC=90°,∵BG⊥AD,∴∠AGB=90°,∴∠ADC=∠AGB,∴BG∥DC,又∵BC∥DE,∴四边形DHBC为平行四边形,∴BC=DH=1,在Rt△ABC中,AB=3,tan∠ACB=𝐴𝐵𝐵𝐶=3,∴∠ACB=60°,从而BC=12AC=OD,∴DH=OD,在等腰三角形DOH中,∠DOH=∠OHD=80°,∴∠ODH=20°,设DE交AC于点N,∵BC∥DE,∴∠ONH=∠ACB=60°,∴∠NOH=180°-(∠ONH+∠OHD)=40°,∴∠DOC=∠DOH-∠NOH=40°,∵OA=OD,∴∠OAD=12∠DOC=20°,则∠CBD=∠OAD=20°,∵BC∥DE,∴∠BDE=∠CBD=20°.类型二与圆的切线有关的计算或证明图Z6-8例2[2017·福建21题]如图Z6-8,四边形ABCD内接于☉O,AB是☉O的直径,点P在CA的延长线上,∠CAD=45°.(1)若AB=4,求𝐶𝐷的长;(2)若𝐵𝐶=𝐴𝐷,AD=AP,求证:PD是☉O的切线.解:(1)连接OC,OD.∵∠COD=2∠CAD,∠CAD=45°,∴∠COD=90°,∵AB=4,∴OC=12AB=2.∴𝐶𝐷的长=90180×π×2=π.图Z6-8例2[2017·福建21题]如图Z6-8,四边形ABCD内接于☉O,AB是☉O的直径,点P在CA的延长线上,∠CAD=45°.(2)若𝐵𝐶=𝐴𝐷,AD=AP,求证:PD是☉O的切线.(2)证明:∵𝐵𝐶=𝐴𝐷,∴∠BOC=∠AOD.∵∠COD=90°,∴∠AOD=180°-∠𝐶𝑂𝐷2=45°.∵OA=OD,∴∠ODA=∠OAD.∵∠AOD+∠ODA+∠OAD=180°,∴∠ODA=180°-∠𝐴𝑂𝐷2=67.5°.∵AD=AP,∴∠ADP=∠APD.∵∠CAD=∠ADP+∠APD,∠CAD=45°,∴∠ADP=12∠CAD=22.5°.∴∠ODP=∠ODA+∠ADP=90°.又∵OD是半径,∴PD是☉O的切线.|题型精练|1.[2019·甘肃]如图Z6-9,在Rt△ABC中,∠C=90°,以BC为直径的☉O交AB于点D,切线DE交AC于点E.(1)求证:∠A=∠ADE;(2)若AD=8,DE=5,求BC的长.图Z6-9解:(1)证明:连接OD,∵DE是切线,∴∠ODE=90°,∴∠ADE+∠BDO=90°,∵∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°,∵OD=OB,∴∠B=∠BDO,∴∠ADE=∠A.1.[2019·甘肃]如图Z6-9,在Rt△ABC中,∠C=90°,以BC为直径的☉O交AB于点D,切线DE交AC于点E.(2)若AD=8,DE=5,求BC的长.图Z6-9(2)连接CD.∵∠ADE=∠A,∴AE=DE,∵BC是☉O的直径,∠ACB=90°,∴EC是☉O的切线,∴ED=EC,∴AE=EC,∵DE=5,∴AC=2DE=10,在Rt△ADC中,DC=𝐴𝐶2-𝐴𝐷2=102-82=6,设BD=x,在Rt△BDC中,BC2=x2+62,在Rt△ABC中,BC2=(x+8)2-102,∴x2+62=(x+8)2-102,解得x=92,∴BC=6