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题型突破(二)实际应用问题例1[2017·厦门质检]某电脑公司有A型,B型,C型三种型号的电脑,其中A型每台6000元,B型每台4000元,C型每台2500元.某学校现有资金105500元,计划从这家公司购进其中两种不同型号的电脑(每种型号的电脑至少要购买一台).(1)若计划购进B型电脑10台,则最多还可购进A型电脑多少台?(2)若至少购进40台电脑,请你写出所有不同的购买方案供学校选择,并说明理由.类型一分析数量之间的相等或不等关系,建立方程(组)或不等式解:(1)设最多还可购买A型电脑m台,则由题意得6000m+4000×10≤105500.解得m≤101112.∴最多还可购买A型电脑10台.例1[2017·厦门质检]某电脑公司有A型,B型,C型三种型号的电脑,其中A型每台6000元,B型每台4000元,C型每台2500元.某学校现有资金105500元,计划从这家公司购进其中两种不同型号的电脑(每种型号的电脑至少要购买一台).(2)若至少购进40台电脑,请你写出所有不同的购买方案供学校选择,并说明理由.(2)设从这家电脑公司购进A型电脑x台,B型电脑y台,C型电脑z台.分以下三种情况考虑:①只购进A型电脑和B型电脑.若y=40,则4000×40=160000105500.这种方案不合题意,舍去.②只购进A型电脑和C型电脑.由题意得6000𝑥+2500𝑧≤105500,𝑥+𝑧≥40,当x,z满足方程组6000𝑥+2500𝑧=105500,𝑥+𝑧=40时,解得𝑥=117,𝑧=2697.即可购进A型电脑1台,C型电脑39台.③只购进B型电脑和C型电脑.由题意得4000𝑦+2500𝑧≤105500,𝑦+𝑧≥40.当y,z满足方程组4000𝑦+2500𝑧=105500,𝑦+𝑧=40时,解得𝑦=113,𝑧=1093.即可购进B型电脑3台,C型电脑37台;可购进B型电脑2台,C型电脑39台;可购进B型电脑2台,C型电脑38台;可购进B型电脑1台,C型电脑40台;可购进B型电脑1台,C型电脑39台.综上,共有6种购买方案,分别为:购进A型电脑1台,C型电脑39台;购进B型电脑3台,C型电脑37台;购进B型电脑2台,C型电脑39台;购进B型电脑2台,C型电脑38台;购进B型电脑1台,C型电脑40台;购进B型电脑1台,C型电脑39台.|题型精练|1.[2019·莆田仙游东屏中学二模]为打击毒品犯罪,我县缉毒警察乘警车,对同时从县城乘汽车出发到A地的两名毒犯实行抓捕,警车比汽车提前15分钟到A地,A地距离县城8千米,警车的平均速度是汽车平均速度的2.5倍,若设汽车的平均速度是每小时x千米,根据题意可列方程为()A.8𝑥+15=82.5𝑥B.8𝑥=82.5𝑥+15C.8𝑥+14=82.5𝑥D.8𝑥=82.5𝑥+14[答案]D[解析]已知汽车的平均速度是每小时x千米,则警车的平均速度是每小时2.5x千米,依题意,得:8𝑥=82.5𝑥+14.故选D.2.[2018·厦门质检]把一些书分给几名同学,若;若每人分11本,则不够.依题意,设有x名同学,可列不等式为9x+711x,则横线的信息可以是()A.每人分7本,则可多分9个人B.每人分7本,则剩余9本C.每人分9本,则剩余7本D.其中一个人分7本,则其他同学每人可分9本C3.[2019·泉州、晋江一模]在学校文化艺术节中,围棋比赛进行了单循环赛,若每两个学生之间都只比赛一场,共比赛了45场,求参加围棋比赛的学生人数.解:设参加围棋比赛的学生人数为x人,依题意得:12x(x-1)=45,整理,得x2-x-90=0,解得x1=10,x2=-9(不合题意,舍去).答:参加围棋比赛的学生人数是10人.4.[2018·泉州质检]某公交公司决定更换节能环保的新型公交车.购买的数量和所需费用如下表所示:(1)求A型和B型公交车的单价;(2)该公司计划购买A型和B型两种公交车共10辆,已知每辆A型公交车年均载客量为60万人次,每辆B型公交车年均载客量为100万人次,若要确保这10辆公交车年均载客量总和不少于670万人次,则A型公交车最多可以购买多少辆?A型数量(辆)B型数量(辆)所需费用(万元)3145023650解:(1)设A型和B型公交车的单价分别为x万元,y万元.由题意,得3𝑥+𝑦=450,2𝑥+3𝑦=650.解得𝑥=100,𝑦=150.答:A型和B型公交车的单价分别为100万元,150万元.4.[2018·泉州质检]某公交公司决定更换节能环保的新型公交车.购买的数量和所需费用如下表所示:(2)该公司计划购买A型和B型两种公交车共10辆,已知每辆A型公交车年均载客量为60万人次,每辆B型公交车年均载客量为100万人次,若要确保这10辆公交车年均载客量总和不少于670万人次,则A型公交车最多可以购买多少辆?A型数量(辆)B型数量(辆)所需费用(万元)3145023650(2)设购买A型公交车a辆,则购买B型公交车(10-a)辆.由题意,得60a+100(10-a)≥670,解得a≤814,又∵a0,且10-a0,∴0a≤814.∴a可取的最大整数为8.答:A型公交车最多可以购买8辆.例2[2019·厦门双十模拟]2018年1月19日,中欧(厦门——西安——布达佩斯)班列驶出厦门自贸区海沧火车站经西安直达匈牙利首都布达佩斯,我市与欧洲各国经贸往来日益频繁.某欧洲客商准备在厦门采购一批特色商品,经调查,用16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍,一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多10元.(1)求一件A,B型商品的进价分别为多少元?类型二分析数量之间的对应关系,建立函数表达式(2)若该欧洲客商购进A,B型商品共250件进行试销,其中A型商品的件数不多于B型的件数,且不少于80件,已知A型商品的售价为240元/件,B型商品的售价为220元/件,且全部售出,设购进A型商品m件.①求该客商销售这批商品的利润y与m之间的函数解析式;②若欧洲客商决定在试销活动中每售出一件A型商品,就从一件A型商品的利润中捐献慈善资金a元,求该客商售完所有商品并捐献资金后获得的最大收益.解:(1)设一件B型商品的进价是x元,则一件A型商品的进价是(x+10)元,由题意得:16000𝑥+10=7500𝑥×2,解得x=150,经检验x=150是分式方程的解且符合题意.x+10=160.答:一件A型商品的进价是160元,一件B型商品的进价是150元.例2[2019·厦门双十模拟]2018年1月19日,中欧(厦门——西安——布达佩斯)班列驶出厦门自贸区海沧火车站经西安直达匈牙利首都布达佩斯,我市与欧洲各国经贸往来日益频繁.某欧洲客商准备在厦门采购一批特色商品,经调查,用16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍,一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多10元.(2)若该欧洲客商购进A,B型商品共250件进行试销,其中A型商品的件数不多于B型的件数,且不少于80件,已知A型商品的售价为240元/件,B型商品的售价为220元/件,且全部售出,设购进A型商品m件.①求该客商销售这批商品的利润y与m之间的函数解析式;(2)①∵购进A型商品m件,∴购进B型商品(250-m)件,由题意得:y=80m+70(250-m)=10m+17500.例2[2019·厦门双十模拟]2018年1月19日,中欧(厦门——西安——布达佩斯)班列驶出厦门自贸区海沧火车站经西安直达匈牙利首都布达佩斯,我市与欧洲各国经贸往来日益频繁.某欧洲客商准备在厦门采购一批特色商品,经调查,用16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍,一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多10元.(2)若该欧洲客商购进A,B型商品共250件进行试销,其中A型商品的件数不多于B型的件数,且不少于80件,已知A型商品的售价为240元/件,B型商品的售价为220元/件,且全部售出,设购进A型商品m件.②若欧洲客商决定在试销活动中每售出一件A型商品,就从一件A型商品的利润中捐献慈善资金a元,求该客商售完所有商品并捐献资金后获得的最大收益.②设利润为w元,则w=(80-a)m+70(250-m)=(10-a)m+17500,∵80≤m≤250-m,∴80≤m≤125,当10-a0时,w随m的增大而增大,∴m=125时,w最大,最大利润为(18750-125a)元;当10-a=0时,w=17500元;当10-a0时,w随m的增大而减小,∴m=80时,w最大,最大利润为(18300-80a)元.|题型精练|1.某汽车销售公司销售某厂家的某款汽车,该款汽车现在的售价为每辆27万元,每月可售出两辆.市场调查反映:在一定范围内调整价格,每辆降低0.1万元,每月能多卖一辆.已知该款汽车的进价为每辆25万元.另外,月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司,销售量在10辆以内(含10辆),每辆返利0.5万元;销售量在10辆以上,超过的部分每辆返利1万元.设该公司当月售出x辆该款汽车.(总利润=销售利润+返利)(1)设每辆汽车的销售利润为y万元,求y与x之间的函数关系式;(2)当x10时,该公司当月销售这款汽车所获得的总利润为20.6万元,求x的值.解:(1)y=27-25-0.1(x-2)=-0.1x+2.2.(2)依题意,得(-0.1x+2.2)x+0.5×10+1×(x-10)=20.6,解得x1=x2=16.答:x的值为16.1.某汽车销售公司销售某厂家的某款汽车,该款汽车现在的售价为每辆27万元,每月可售出两辆.市场调查反映:在一定范围内调整价格,每辆降低0.1万元,每月能多卖一辆.已知该款汽车的进价为每辆25万元.另外,月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司,销售量在10辆以内(含10辆),每辆返利0.5万元;销售量在10辆以上,超过的部分每辆返利1万元.设该公司当月售出x辆该款汽车.(总利润=销售利润+返利)(2)当x10时,该公司当月销售这款汽车所获得的总利润为20.6万元,求x的值.2.[2018·晋江二模]某天上午7:30,小芳在家通过滴滴打车软件打车前往动车站搭乘当天上午8:30的动车.记汽车的行驶时间为t小时,行驶速度为v千米/时(汽车行驶速度不超过60千米/时).根据经验,v,t的一组对应值如下表:(1)根据表中的数据描点,求出平均速度v(千米/时)关于行驶时间t(小时)的函数表达式.(2)若小芳从开始打车到上车用了10分钟,小芳想在动车出发前半小时到达动车站,若汽车的平均速度为32千米/时,小芳能否在预定的时间内到达动车站?请说明理由.(3)若汽车到达动车站的行驶时间t满足0.3t0.5,求平均速度v的取值范围.v(千米/时)2030405060t(小时)0.60.40.30.240.2解:(1)根据表格中数据,可知v=𝑘𝑡,∵v=20时,t=0.6,∴k=20×0.6=12,∴v=12𝑡(t≥0.2).2.[2018·晋江二模]某天上午7:30,小芳在家通过滴滴打车软件打车前往动车站搭乘当天上午8:30的动车.记汽车的行驶时间为t小时,行驶速度为v千米/时(汽车行驶速度不超过60千米/时).根据经验,v,t的一组对应值如下表:(2)若小芳从开始打车到上车用了10分钟,小芳想在动车出发前半小时到达动车站,若汽车的平均速度为32千米/时,小芳能否在预定的时间内到达动车站?请说明理由.v(千米/时)2030405060t(小时)0.60.40.30.240.2(2)不能.理由如下:∵1-16−12=13,∴t=13时,v=1213=3632,∴若汽车的平均速度为32千米/时,小芳不能在预定的时间内到达动车站.2.[2018·晋江二模]某天上午7:30,小芳在家通过滴滴打车软件打车前往动车站搭乘当天上午8:30的动车.记汽车的行驶时间为t小时,行驶速度为v千米/时(汽车行驶速度不超过60千米/时).根据经验,v,t的