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第3课时代数式与整式考点一代数式、代数式的值运算符号数1.代数式:代数式是用①(加、减、乘、除、乘方、开方)把②或③的字母连接而成的式子,单独一个数或一个字母也是代数式.2.列代数式及求代数式的值:列代数式的关键是弄清楚数量关系和运算顺序,正确使用多项式,规范书写.求代数式的值可把字母的数值或整体代数式的数值代入求解.表示数考点二整式的概念单项式和多项式统称为整式.内容单项式多项式定义数或字母的④组成的式子叫做单项式.单独的一个数或一个字母也是单项式几个单项式的⑤叫做多项式次数一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数多项式中,次数最高项的次数,叫做这个多项式的次数系数单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数项多项式中,每个单项式叫做多项式的项积和【温馨提示】字母x的次数是1而不是0;单项式xy的次数是2;单项式的系数包括它前面的符号,如-2xy的系数是-2.单独一个非零数可以看作0次单项式.1.同类项:所含字母⑥,并且相同字母的指数也⑦的项叫做同类项.几个常数项也是同类项.2.合并同类项:合并同类项后,所得项的系数是合并前各同类项的系数的和,且字母连同它的指数不变.考点三同类项、合并同类项相同相同【温馨提示】(1)同类项与系数无关,与字母的排列顺序无关,如-7xy与yx是同类项.(2)只有同类项才能合并,如x2与x3不能合并.考点四整式的运算类别法则整式的加减整式的加减实质就是⑧.一般地,几个整式相加减,如果有括号就先去括号,然后再合并同类项幂的运算同底数幂相乘am·an=⑨(m,n都是整数)幂的乘方(am)n=⑩(m,n都是整数)积的乘方(ab)n=⑪(n为整数)同底数幂相除am÷an=⑫(a≠0,m,n都为整数)合并同类项am+namnanbnam-n(续表)类别法则整式的乘法单项式与单项式相乘把它们的系数、同底数幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式单项式与多项式相乘m(a+b+c)=⑬多项式与多项式相乘(m+n)(a+b)=⑭整式的除法单项式除以单项式单项式除以单项式,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式多项式除以单项式(am+bm)÷m=a+bma+mb+mcma+mb+na+nb(续表)类别法则乘法公式平方差公式(a+b)(a-b)=⑮完全平方公式(a±b)2=⑯常用恒等变形(1)a2+b2=⑰=⑱;(2)(a-b)2=⑲-4aba2-b2a2±2ab+b2(a+b)2-2ab(a-b)2+2ab(a+b)2【温馨提示】(1)不要把同底数幂的乘、除法和整式的加、减法混淆,如a3·a3=a6和a3+a3=2a3;6a6÷3a2=2a4.(2)会逆用公式,如2m×0.5m=(2×0.5)m=1(m为整数).考向一列代数式[答案]45a1.[2019·南充]原价为a元的书包,现按8折出售,则售价为元.[解析]依题意可得,售价为810a=45a,故答案为45a.A2.[2019·台湾]小宜跟同学在某餐厅吃饭,如图3-1为此餐厅的菜单.若他们所点的餐点总共为10份意大利面,x杯饮料,y份沙拉,则他们点了几份A餐()A.10-xB.10-yC.10-x+yD.10-x-y图3-13.[2019·河北]如图3-2,约定:上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数.示例:即4+3=7则:(1)用含x的式子表示m=;(2)当y=-2时,n的值为.图3-2[答案](1)3x(2)1[解析](1)m=x+2x=3x.(2)由题意得:x+2x+2x+3=-2,解得x=-1.∴n=2x+3=-2+3=1.4.某服装厂生产一种西装和领带,西装每套定价200元,领带每条定价40元.厂方在开展促销活动期间,向客户提供两种优惠方案:①买一套西装送一条领带;②西装和领带都按定价的90%付款.现某客户要到该服装厂购买西装20套,领带x条(x20).(1)若该客户按方案①购买,则需付款元(用含x的代数式表示);(2)若x=30,通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算?解：(1)(40x+3200)[解析]方案①需付款为200×20+(x-20)×40=(40x+3200)元.4.某服装厂生产一种西装和领带,西装每套定价200元,领带每条定价40元.厂方在开展促销活动期间,向客户提供两种优惠方案:①买一套西装送一条领带;②西装和领带都按定价的90%付款.现某客户要到该服装厂购买西装20套,领带x条(x20).(2)若x=30,通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算?(2)当x=30时,方案①需付款为40x+3200=40×30+3200=4400(元),方案②需付款为(200×20+40×30)×90%=4680(元),∵44004680,∴选择方案①购买较为合算.5.[2018·包头]如果2xa+1y与x2yb-1是同类项,那么𝑎𝑏的值是()A.12B.32C.1D.3考向二整式的相关概念A6.[2019·淄博]单项式12a3b2的次数是.57.多项式2x2y+3xy-5x3y2-2是次项式.五四8.判断正误:(1)a2+a3=a5;()(2)a·a3=2a3;()(3)(a2)4=a6;()(4)a5÷a2=a3;()(5)(3a2)3=9a6;()(6)(a+b)(a-b)=a2-b2;()(7)(a-b)2=a2-2ab-b2;()(8)(a+b)2=a2+ab+b2;()(9)-2x(x-y)=-2x2-2xy;()(10)(x+1)(3x-2)=3x2-x+2.()考向三整式运算×××√×√××××[答案]A[解析]A.a2-4b2=(a+2b)(a-2b),正确;B.(a-b)2=a2-2ab+b2,故此选项错误;C.(a+b)2=a2+2ab+b2,故此选项错误;D.(a+3b)(a-3b)=a2-9b2,故此选项错误.故选:A.9.[2019·福建名校联合模拟]下列运算正确的是()A.a2-4b2=(a+2b)(a-2b)B.(a-b)2=a2-b2C.(a+b)2=a2+b2D.(a+3b)(a-3b)=a2-3b210.[教材原题]先化简,再求值:x2(x-1)-x(x2+x-1),其中x=12.解:原式=x3-x2-x3-x2+x=-2x2+x,当x=12时,原式=-2×122+12=-12+12=0.11.[2018·咸宁]化简:(a+3)(a-2)-a(a-1).解:原式=a2-2a+3a-6-a2+a=2a-6.解:(3a+2b)(2a+b)=6a2+7ab+2b2,∴需要C类卡片7张.12.有若干张如图3-3所示的正方形A类、B类卡片和长方形C类卡片,如果要拼成一个长为(3a+2b),宽为(2a+b)的大长方形,那么需要C类卡片多少张?图3-3考向四乘法公式13.[2019·莆田适应性考试]先化简,再求值:(1)[x2+y2-(x+y)2+2x(x-y)]÷4x,其中x-2y=2.(2)(mn+2)(mn-2)-(mn-1)2,其中m=2,n=12.解:(1)原式=(x2+y2-x2-2xy-y2+2x2-2xy)÷4x=(2x2-4xy)÷4x=12x-y,当x-2y=2时,原式=12(x-2y)=1.(2)原式=m2n2-4-m2n2+2mn-1=2mn-5,当m=2,n=12时,原式=2×2×12-5=2-5=-3.[答案]4x(或-4x,4x4,-4x2,-1)[解析]∵4x2+1±4x=(2x±1)2;4x2+1+4x4=(2x2+1)2;4x2+1-1=(±2x)2;4x2+1-4x2=(±1)2.∴加上的单项式可以是±4x,4x4,-4x2,-1中任意一个.14.[2019·北京门头沟一模]在多项式4x2+1中,添加一个单项式,使其成为一个完全平方式,则添加的单项式是:(只写出一个即可).解:30.8×29.2=(30+0.8)×(30-0.8)=900-0.64=899.36.15.简便计算:30.8×29.2.16.已知a,b满足(a+b)2=1,(a-b)2=9,求a2+b2-ab的值.解:由(𝑎+𝑏)2=1,(𝑎-𝑏)2=9,得𝑎2+𝑏2+2𝑎𝑏=1,𝑎2+𝑏2-2𝑎𝑏=9,∴a2+b2=5,ab=-2,∴a2+b2-ab=5-(-2)=7.[答案]B[解析]从整体计算正方形ABCD的面积:(a+b)2,从局部计算正方形ABCD的面积:a2+ab+ab+b2,∴(a+b)2=a2+2ab+b2,故选B.17.如图3-4,根据正方形ABCD的面积,可以说明下列哪个等式成立()A.(a-b)2=a2-2ab+b2B.(a+b)2=a2+2ab+b2C.(a+b)(a-b)=a2-b2D.a(a-b)=a2-ab图3-418.[2015·厦门]已知39+813×40+913=a+b,若a是整数,1b2,则a=.161119.如果“三角”表示4xyz,“方框”表示-5abdc,求×的值.解:根据题意得:×=8mn·(-5n2m5)=-40m6n3.