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第25课时解直角三角形及其应用考点一解直角三角形考点聚焦在直角三角形中,除直角外,共有5个元素,即3条边和2个锐角.由这些元素中的一些已知元素,求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形.【温馨提示】在Rt△ABC中,∠C=90°,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则(1)三边关系:a2+b2=①;(2)两锐角关系:∠A+∠B=②°;(3)边与角关系:sinA=cosB=③;cosA=sinB=④;tanA=⑤.c290𝒂𝒄𝒃𝒄𝒂𝒃1.已知斜边和一个锐角;2.已知一直角边和一个锐角;3.已知斜边和一直角边(如c和a);4.已知两条直角边a,b.考点二解直角三角形的类型【温馨提示】在解直角三角形时常用词语:(1)仰角和俯角:在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的叫做⑥,视线在水平线下方的叫做⑦(如图25-1).图25-1仰角俯角(2)坡度和坡角:通常把坡面的铅直高度h和水平宽度l之比叫⑧,用字母i表示,即i=⑨,把坡面与水平面的夹角叫做⑩,记作α,于是i=⑪=tanα,显然,坡度越大,角α越大,坡面就越陡.如图25-2.图25-2坡度(或坡比)𝒉𝒍坡角𝒉𝒍(3)方向角:指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角,如图25-3.图25-31.坡比常用来反映斜坡的倾斜程度,如图25-4所示,斜坡AB的坡比为()A.1∶3B.3∶1C.1∶22D.22∶1题组一必会题对点演练C图25-4图25-52.[2019·苏州]如同25-5,小亮为了测量校园里教学楼AB的高度,将测角仪CD竖直放置在与教学楼水平距离为183m的地面上,若测角仪的高度是1.5m,测得教学楼的顶部A处的仰角为30°,则教学楼的高度是()A.55.5mB.54mC.19.5mD.18m[答案]C[解析]过D作DE⊥AB,∵在D处测得教学楼顶端A的仰角为30°,∴∠ADE=30°,∵DE=BC=183m,∴AE=DE·tan30°=18m,∴AB=AE+BE=AE+CD=18+1.5=19.5(m),故选C.[答案]40°[解析]量角器的0刻度线AB对准楼顶时,铅锤线对应的度数是50°,则过AB中点的水平线对应的是140°,所以此时观察楼顶的仰角度数是40°.图25-63.[2019·金华]如图25-6,在量角器的圆心O处下挂一铅锤,制作了一个简易测倾仪,量角器的0刻度线AB对准楼顶时,铅锤线对应的度数是50°,则此时观察楼顶的仰角度数是.题组二易错题【失分点】(1)不易构造直角三角形;(2)解直角三角形建模时角度计算困难.4.如图25-7,一艘船由A港沿北偏东65°方向航行302km至B港,然后再沿北偏西40°方向航行至C港,C港在A港北偏东20°方向,则A,C两港之间的距离为km.图25-7[解析]如图,由题中方位角可知∠A=45°,∠ABC=75°,∠C=60°,过点B作BD⊥AC于点D,在Rt△ABD中,∠A=45°,AB=302,∴AD=AB·cosA=30,BD=AB·sinA=30.在Rt△BCD中,∠C=60°,∴CD=𝐵𝐷tan𝐶=103,∴AC=AD+CD=30+103(km).[答案](30+103)考向一求高度和长度的问题图25-8例1[2019·天津]如图25-8,海面上一艘船由西向东航行,在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角为31°,再向东继续航行30m到达B处,测得该灯塔的最高点C的仰角为45°,根据测得的数据,计算这座灯塔的高度CD(结果取整数).参考数据:sin31°≈0.52,cos31°≈0.86,tan31°≈0.60.解:根据题意,∠CAD=31°,∠CBD=45°,∠CDA=90°,AB=30,∵在Rt△ACD中,tan∠CAD=𝐶𝐷𝐴𝐷,∴AD=𝐶𝐷tan31°.∵在Rt△BCD中,tan∠CBD=𝐶𝐷𝐵𝐷,∴BD=𝐶𝐷tan45°=CD,∵AD=BD+AB,∴𝐶𝐷tan31°=30+CD,∴CD=45.答:这座灯塔的高度CD约为45m.|考向精练|图25-91.[2019·广东]如图25-9,某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD=15米,在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°,底部C点的俯角是45°,则教学楼AC的高度是米(结果保留根号).[答案](15+153)[解析]作BE⊥AC于E,则CD=BE=153,∠ABE=30°,∠CBE=45°,所以AE=15,CE=BE=153,所以AC=AE+CE=15+153.32.[2019·衡阳]如图25-10,在一次综合实践活动中,小亮要测量一楼房的高度,先在坡面D处测得楼房顶部A的仰角为30°,沿坡面向下走到坡脚C处,然后向楼房方向继续行走10米到达E处,测得楼房顶部A的仰角为60°,已知坡面CD=10米,山坡的坡度i=1∶3(坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比),求楼房AB的高度.(结果精确到0.1米)(参考数据:3≈1.73,2≈1.41)图25-10解:过点D作DH⊥AB于点H,交AE于点F.作DG⊥BC于点G,则DG=BH,DH=GB.设楼房AB的高为x米,则EB=33x米.∵坡度i=1∶3,CD=10米,∴坡面CD的铅直高度DG为5米,坡面的水平宽度CG为53米,在Rt△ADH中,tan∠ADH=𝐴𝐻𝐷𝐻,∴DH=3(x-5).∴53+10+33x=3(x-5),解得x=15+53≈23.7(米).∴楼房AB的高度约为23.7米.考向二解决角度的问题例2[2019·大庆]如图25-11,一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10km至B港,然后再沿北偏西30°方向航行10km至C港.(1)求A,C两港之间的距离(结果精确到0.1km,参考数据:2≈1.414,3≈1.732);(2)确定C港在A港的什么方向.图25-11解:(1)因为B港在A港的北偏东60°方向,所以∠ABQ=30°.因为C港在B港的北偏西30°,所以∠CBQ=60°,所以∠ABC=90°.因为AB=BC=10km,所以△ABC是等腰直角三角形,所以AC=2AB=102≈14.1(km).答:A,C两港之间的距离为14.1km.例2[2019·大庆]如图25-11,一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10km至B港,然后再沿北偏西30°方向航行10km至C港.(2)确定C港在A港的什么方向.图25-11(2)由(1)可知,∠CAB=45°,所以∠MAC=15°,所以C港在A港的北偏东15°的方向.|考向精练|[2019·嘉兴]某挖掘机的底座高AB=0.8米,动臂BC=1.2米,CD=1.5米,BC与CD的固定夹角∠BCD=140°.初始位置如图25-12①,斗杆顶点D与铲斗顶点E所在直线DE垂直地面AM于点E,测得∠CDE=70°(示意图②).工作时如图③,动臂BC会绕点B转动,当点A,B,C在同一直线上时,斗杆顶点D升至最高点(示意图④).图25-12(1)求挖掘机在初始位置时动臂BC与AB的夹角∠ABC的度数;(2)问斗杆顶点D的最高点比初始位置高了多少米(精确到0.1米)?(参考数据:sin50°≈0.77,cos50°≈0.64,sin70°≈0.94,cos70°≈0.34,3≈1.73)解:(1)如图①,过点C作CG⊥AM于点G,∵AB⊥AM,DE⊥AM,∴AB∥DE∥CG,∴∠DCG=180°-∠CDE=110°.∴∠BCG=∠BCD-∠DCG=30°.∴∠ABC=180°-∠BCG=150°.∴动臂BC与AB的夹角∠ABC为150°.[2019·嘉兴]某挖掘机的底座高AB=0.8米,动臂BC=1.2米,CD=1.5米,BC与CD的固定夹角∠BCD=140°.初始位置如图25-12①,斗杆顶点D与铲斗顶点E所在直线DE垂直地面AM于点E,测得∠CDE=70°(示意图②).工作时如图③,动臂BC会绕点B转动,当点A,B,C在同一直线上时,斗杆顶点D升至最高点(示意图④).(2)问斗杆顶点D的最高点比初始位置高了多少米(精确到0.1米)?(参考数据:sin50°≈0.77,cos50°≈0.64,sin70°≈0.94,cos70°≈0.34,3≈1.73)图25-12(2)如图②,过点C作CP⊥DE于点P,过点B作BQ⊥DE于点Q,交CG于点N.在Rt△CPD中,DP=CD·cos70°≈0.51(米),在Rt△BCN中,CN=BC·sin60°≈1.04(米),∴DE=DP+PQ+QE=DP+CN+AB=2.35(米),如图③,过点D作DH⊥AM于点H,过点C作CK⊥DH于点K.在Rt△CKD中,DK=CD·sin50°≈1.16(米),∴DH=DK+KH=3.16(米),∴DH-DE≈0.8(米).∴斗杆顶点D的最高点比初始位置高了约0.8米.考向三斜坡问题例3[2019·福建四市联考三模]如图25-13①,某超市从底楼到二楼有一自动扶梯,图②是侧面示意图.已知自动扶梯AB的坡度为1∶2.4,AB的长度是13米,MN是二楼楼顶,MN∥PQ,C是MN上处在自动扶梯顶端B点正上方的一点,BC⊥MN,在自动扶梯底端A处测得C点的仰角为42°,求二楼的层高BC(精确到0.1米).(参考数据:sin42°≈0.67,cos42°≈0.74,tan42°≈0.90)图25-13解:延长CB交PQ于点D,∵BD∶AD=1∶2.4,AB=13米,∴BD=5米,AD=12米,∵∠CAD=42°,AD=12米,∴CD=12×tan42°≈12×0.9=10.8(米),∴BC=CD-BD=10.8-5=5.8(米).答:二楼的层高BC为5.8米.|考向精练|图25-14[2019·遂宁]汛期即将来临,为保证市民的生命和财产安全,市政府决定对一段长200米且横断面为梯形的大坝用土石进行加固,如图25-14,加固前大坝背水坡坡面从A至B共有30级阶梯,平均每级阶梯高30厘米,斜坡AB的坡度i=1∶1,加固后,坝顶宽度增加2米,斜坡EF的坡度i=1∶5,问工程完工后,共需土石多少立方米?(计算土石方时忽略阶梯,结果保留根号)解:如图,分别过点A,E作AN⊥FC于N,EM⊥FC于M,则AN=EM.∵从A至B共有30级阶梯,平均每级阶梯高30厘米,∴AN=9米=EM.∵斜坡AB的坡度i=1∶1,∴BN=AN=9米.∵斜坡EF的坡度i=1∶5,∴FM=95米,∴FB=FM+MN-BN=95+2-9=95-7(米),S梯形EFBA=12(AE+BF)·EM=12(2+95-7)×9=8125−452(平方米),∴200×8125−452=81005-4500(立方米).答:共需土石(81005-4500)立方米.考向四航海类问题例4[2019·长沙]如图25-15,一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向,距离灯塔60nmile的小岛A出发,沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处,这时轮船与小岛A的距离是()A.303nmileB.60nmileC.120nmileD.(30+303)nmile图25-15[答案]D[解析]过C作CD⊥AB于D点,∴∠ACD=30°,∠BCD=45°,AC=60.在Rt△ACD中,AD=12AC=30,cos∠ACD=𝐶𝐷𝐴𝐶,∴CD=AC·cos∠ACD=60×32=303.在Rt△DCB中,∵∠BCD=∠B=45°,∴CD=BD=303,∴AB=AD+BD=30+303.∴此时轮船所在的B处与小岛A的距离是(30+303)nmile.|考向精练|图25-16[2019·广元]如图25-16,某海监船以60海里/时的速度从A处出发沿正西方向巡逻,一可疑船只在A的西北方向的C处,海监船航行1.5小时到达B处时接到报警,需巡查此可疑船只,此时可疑船只仍在B的北偏西30°方向的C处,然后,可疑船只以一定速度向正西方向逃离,海监船立刻加速以90海里/时的速度追击,在D处海监船追到可疑船只,D在B的北偏西60°方向.(以下结果保留根号)(