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第23课时相似三角形的应用相似三角形的知识在实际生产和生活中有着广泛的应用,这一应用是建立在数学建模和数形结合思想的基础上,把实际问题转化为数学问题,通过求解数学问题达到解决实际问题的目的.考点一利用相似三角形解决实际问题考点聚焦考点二相似多边形1.相似多边形:对应角①,对应边②的两个多边形叫做相似多边形,相似多边形对应边的比叫做③.2.性质:相似多边形的周长之比等于④,面积之比等于⑤.相等成比例相似比相似比相似比的平方考点三位似1.位似图形的定义:两个多边形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点,对应边互相平行(或在同一直线上),像这样的两个图形叫做位似图形,这点叫做位似中心.常见图形如图23-1.图23-12.位似与相似的关系:位似是一种特殊的相似,构成位似的两个图形不仅相似,而且对应点的连线相交于一点,对应边互相平行(或在同一条直线上).3.位似图形的性质:(1)位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离的比等于⑥;(2)位似图形对应点的连线或延长线相交于⑦点;(3)位似图形对应边⑧(或在同一条直线上);(4)位似图形对应角相等.相似比一平行4.以坐标原点为位似中心的位似变换:在平面直角坐标系中,如果以原点为位似中心,新图形与原图形的相似比为k,那么与原图形上的点(x,y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx,ky)或(-kx,-ky).5.利用位似作图:(1)确定位似中心O;(2)连接图形各关键点与位似中心O(或延长);(3)按照相似比取点;(4)顺次连接各点,所得图形就是所求作的图形.1.[2019·福州质检]已知△ABC∽△DEF,若面积比为4∶9,则它们对应高的比是()A.4∶9B.16∶81C.3∶5D.2∶3题组一必会题对点演练D2.[2019·毕节]如图23-2,在一块斜边长30cm的直角三角形木板(Rt△ACB)上截取一个正方形CDEF,点D在边BC上,点E在斜边AB上,点F在边AC上,若AF∶AC=1∶3,则这块木板截取正方形CDEF后,剩余部分的面积为()A.100cm2B.150cm2C.170cm2D.200cm2图23-2[答案]A[解析]设AF=x,则AC=3x.∵四边形CDEF为正方形,∴EF=CF=2x,EF∥BC,∴△AEF∽△ABC,∴𝐸𝐹𝐵𝐶=𝐴𝐹𝐴𝐶=13,∴BC=6x.在Rt△ABC中,AB2=AC2+BC2,即302=(3x)2+(6x)2,解得x=25,∴AC=65,BC=125,∴剩余部分的面积=12×125×65-45×45=100(cm2),故选:A.3.比例规是一种画图工具,利用它可以把线段按一定比例伸长或缩短.它是由长短相等的两脚AD和BC交叉构成的,其中AD与BC相交于点O.如图23-3,OA=OB,AB=2CD,OC=3,则OB=.[答案]6图23-3[解析]由题意得:△AOB∽△DOC,∵AB=2CD,∴𝐴𝐵𝐶𝐷=21,∴𝐴𝑂𝑂𝐷=𝑂𝐵𝑂𝐶=21,∵OC=3,∴OB=2OC=6,故答案为:6.题组二易错题【失分点】位似问题分类讨论不全.4.[2018·潍坊]在平面直角坐标系中,点P(m,n)是线段AB上一点,以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍,则点P的对应点的坐标为()A.(2m,2n)B.(2m,2n)或(-2m,-2n)C.12m,12nD.12m,12n或−12m,−12nB考向一相似多边形图23-4例1如图23-4,矩形ABCD的长AB=30,宽BC=20.(1)如图①,若沿矩形ABCD四周有宽为1的环形区域,图中所形成的两个矩形ABCD与A'B'C'D'相似吗?请说明理由.(2)如图②,x为多少时,图中的两个矩形ABCD与A'B'C'D'相似?解:(1)不相似.∵AB=30,A'B'=28,BC=20,B'C'=18,∴2830≠1820,即𝐴'𝐵'𝐴𝐵≠𝐵'𝐶'𝐵𝐶,∴两个矩形ABCD与A'B'C'D'不相似.图23-4例1如图23-4,矩形ABCD的长AB=30,宽BC=20.(2)如图②,x为多少时,图中的两个矩形ABCD与A'B'C'D'相似?(2)若矩形ABCD与矩形A'B'C'D'相似,则:当𝐴'𝐵'𝐴𝐵=𝐵'𝐶'𝐵𝐶时,有30-2𝑥30=20-220,解得x=1.5;当𝐴'𝐵'𝐵𝐶=𝐵'𝐶'𝐴𝐵时,有30-2𝑥20=20-230,解得x=9.综上所述,x的值为1.5或9.|考向精练|图23-5如图23-5,矩形ABCD∽矩形ADFE,AE=1,AB=4,则AD=()A.2B.2.4C.2.5D.3A考向二利用相似计算物体的长度微专题角度1利用平行投影计算目标物体长度例2[2019·吉林]在某一时刻,测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m,同时同地测得一栋楼的影长为90m,则这栋楼的高度为m.54角度2利用光的反射计算目标物体的长度例3[2019·荆门]如图23-6,为了测量一栋楼的高度OE,小明同学先在操场上A处放一面镜子,向后退到B处,恰好在镜子中看到楼的顶部E;再将镜子放到C处,然后后退到D处,恰好再次在镜子中看到楼的顶部E(O,A,B,C,D在同一条直线上),测得AC=2m,BD=2.1m,如果小明眼睛距地面高度BF,DG为1.6m,试确定楼的高度OE.图23-6解:如图,设E关于点O的对称点为M,由光的反射定律知,延长GC,FA相交于点M,连接GF并延长交OE于点H.∵GF∥AC,∴△MAC∽△MFG,△MOA∽△MHF,∴𝐴𝐶𝐹𝐺=𝑀𝐴𝑀𝐹=𝑀𝑂𝑀𝐻,即:𝐴𝐶𝐵𝐷=𝑂𝐸𝑀𝐻=𝑂𝐸𝑀𝑂+𝑂𝐻=𝑂𝐸𝑂𝐸+𝐵𝐹,∴𝑂𝐸𝑂𝐸+1.6=22.1,∴OE=32.答:楼的高度OE为32m.角度3利用点光源计算目标物体的长度例4一天晚上,李明和张龙利用灯光下的影子来测量一路灯D的高度,如图23-7,当李明走到点A处时,张龙测得李明直立身高AM与其影子长AE正好相等,接着李明沿AC方向继续向前走,走到点B处时,李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB,并测得AB=1.25m.已知李明直立时的身高为1.75m,求路灯的高CD的长.(结果精确到0.1m)图23-7解:设CD长为xm,∵AM⊥EC,CD⊥EC,BN⊥EC,EA=MA,∴MA∥CD∥BN,∴EC=CD=x,△ABN∽△ACD,∴𝐵𝑁𝐶𝐷=𝐴𝐵𝐴𝐶,即1.75𝑥=1.25𝑥-1.75,解得:x=6.125≈6.1.答:路灯的高CD的长约为6.1m.考向三位似图形例5[2019·邵阳]如图23-8,以点O为位似中心,把△ABC放大为原图形的2倍得到△A'B'C',以下说法中错误的是()A.△ABC∽△A'B'C'B.点C、点O、点C'三点在同一直线上C.AO∶AA'=1∶2D.AB∥A'B'图23-8[答案]C[解析]∵以点O为位似中心,把△ABC放大为原图形的2倍得到△A'B'C',∴△ABC∽△A'B'C',点C、点O、点C'三点在同一直线上,AB∥A'B',AO∶OA'=1∶2,故选项C错误,符合题意.故选:C.|考向精练|[2019·滨州]在平面直角坐标系中,△ABO三个顶点的坐标分别为A(-2,4),B(-4,0),O(0,0).以原点O为位似中心,把这个三角形缩小为原来的12,得到△CDO,则点A的对应点C的坐标是.[答案](-1,2)或(1,-2)[解析]点A的对应点C的坐标是-2×12,4×12或-2×-12,4×-12,即(-1,2)或(1,-2).考向四相似三角形与其他知识的结合图23-9例6[2019·衢州]如图23-9①,由两个长为2,宽为1的长方形组成“7”字图形.(1)将一个“7”字图形按如图②摆放在平面直角坐标系中,记为“7”字图形ABCDEF,其中顶点A位于x轴上,顶点B,D位于y轴上,O为坐标原点,则𝑂𝐵𝑂𝐴的值为.(2)在(1)的基础上,继续摆放第二个“7”字图形得顶点F1,摆放第三个“7”字图形得顶点F2.依此类推,…,摆放第n个“7”字图形得顶点Fn-1,…,则顶点F2019的坐标为.解：(1)12[解析](1)因为∠DBC+∠BDC=90°,∠DBC+∠OBA=90°,所以∠BDC=∠OBA.又∠DCB=∠BOA=90°,所以△CDB∽△OBA,所以𝑂𝐵𝑂𝐴=𝐶𝐷𝐶𝐵=12.图23-9例6[2019·衢州]如图23-9①,由两个长为2,宽为1的长方形组成“7”字图形.(2)在(1)的基础上,继续摆放第二个“7”字图形得顶点F1,摆放第三个“7”字图形得顶点F2.依此类推,…,摆放第n个“7”字图形得顶点Fn-1,…,则顶点F2019的坐标为.解：(2)606255,4055(2)如图,过点C作CH⊥y轴于H点,过点F作FM⊥x轴于M点,连接AC,延长HC交FM于N点,则易得四边形OACH为矩形.因为OB∶OA=1∶2,AB=1,所以由勾股定理得OB=55,OA=255.因为∠CDH=∠ABO,∠DHC=∠BOA=90°,CD=AB,所以△DHC≌△BOA,所以DH=OB=55,HC=OA=255.易证△MAF∽△OBA,由AF=3得,AM=355,FM=655.易求∠FNC=90°,在直角三角形NCF中,CN=AM=355,CF=2,NF=𝐶𝐹2-𝐶𝑁2=55,在直角三角形ABC中,AC=5,所以F点的坐标为255+355,5+55;根据规律,F1比F的横坐标增加355个单位,纵坐标增加55个单位,所以点F1的坐标为255+355×2,5+55×2;F2比F1的横坐标增加355个单位,纵坐标增加55个单位,所以点F2的坐标为255+355×3,5+55×3;…,所以F2019的坐标为255+355×2020,5+55×2020,即606255,4055.|考向精练|有一块三角形的余料ABC,要把它加工成矩形的零件,如图23-10,已知:BC=8cm,高AD=12cm,矩形EFGH的边EF在BC边上,G,H分别在AC,AB上,设HE的长为ycm,EF的长为xcm.(1)写出y与x的函数关系式;(2)若EF=2HE,求矩形EFGH的周长;(3)当矩形EFGH的两条边长分别为何值时,它的面积有最大值,最大值是多少?图23-10解:(1)∵BC=8,AD=12,HE=y,EF=x,四边形EFGH是矩形,∴AK=AD-y=12-y,HG=EF=x,HG∥BC,∴△AHG∽△ABC,∴𝐴𝐾𝐴𝐷=𝐻𝐺𝐵𝐶,即12-𝑦12=𝑥8,∴y=12-32x.有一块三角形的余料ABC,要把它加工成矩形的零件,如图23-10,已知:BC=8cm,高AD=12cm,矩形EFGH的边EF在BC边上,G,H分别在AC,AB上,设HE的长为ycm,EF的长为xcm.(2)若EF=2HE,求矩形EFGH的周长;图23-10(2)∵EF=2HE,即x=2y,∴x=2×12-32x,解得x=6,y=3,∴矩形EFGH的周长为2(x+y)=18cm.有一块三角形的余料ABC,要把它加工成矩形的零件,如图23-10,已知:BC=8cm,高AD=12cm,矩形EFGH的边EF在BC边上,G,H分别在AC,AB上,设HE的长为ycm,EF的长为xcm.(3)当矩形EFGH的两条边长分别为何值时,它的面积有最大值,最大值是多少?图23-10(3)设矩形EFGH的面积为S,则S=x12-32x=-32x2+12x=-32(x-4)2+24,∴当x=4时,矩形EFGH的面积最大,最大为24cm2,此时矩形EFGH的两条边长EF=4cm,HE=6cm.