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第22课时相似三角形对于四条线段a,b,c,d,如果其中两条线段a,b的长度比与另两条线段c,d的长度比相等,即①,那么,这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段.考点一比例线段考点聚焦𝒂𝒃=𝒄𝒅考点二比例的性质1.基本性质:𝑎𝑏=𝑐𝑑⇔ad=bc(a,b,c,d都不为零).2.比例中项:如果三个数a,b,c满足比例式𝑎𝑏=𝑏𝑐(a∶b=b∶c),那么b就叫做a,c的比例中项,通常记作b2=ac.【温馨提示】两条线段的比例中项只有一个,而求两个数的比例中项时,如果比例中项存在,它有两个值.考点三黄金分割如果点P把线段AB分成两条线段AP和PB,使APPB,且②,那么称线段AB被点P黄金分割,点P叫做线段AB的黄金分割点,所分成的较长一条线段AP与整条线段AB的比叫做黄金比,黄金比为③.𝑷𝑩𝑨𝑷=𝑨𝑷𝑨𝑩𝟓-𝟏𝟐【温馨提示】证明点P是线段AB的黄金分割点的方法:(1)证明𝑃𝐵𝐴𝑃=𝐴𝑃𝐴𝐵,可得点P是线段AB的黄金分割点.(2)证明AP=5-12AB,可得点P是线段AB的黄金分割点.两条直线被一组平行线(不少于3条)所截,所得的对应线段成比例.考点四由平行线截得的比例线段对应角④,对应边⑤的两个三角形叫做相似三角形,相似三角形对应边的比叫做⑥.考点五相似三角形相等成比例相似比【温馨提示】全等三角形是相似比为1的特殊的相似三角形.1.相似三角形的对应角⑦,对应边⑧.2.相似三角形的周长之比等于⑨.3.相似三角形的面积之比等于相似比的⑩.考点六相似三角形的性质相等成比例相似比平方1.判定方法(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似.(2)两个角对应相等的两个三角形相似.(3)两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似.(4)三边对应成比例的两个三角形相似.考点七相似三角形的判定2.常见的几种基本图形(1)如图22-1:称为“平行线型”的相似三角形(有“A型”与“X型”).图22-1(2)如图22-2:∠1=∠2,则△ADE∽△ABC,称为“斜交型”的相似三角形(有“反A共角型”“反A共角共边型”“蝶型”).图22-2(3)如图22-3:称为“垂直型”的相似三角形(有“双垂直共角型”“双垂直共角共边型”“三垂直型”).图22-3(4)如图22-4:∠1=∠2,∠B=∠D,则△ADE∽△ABC,称为“旋转型”的相似三角形.图22-4三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.考点八三角形的重心【温馨提示】(1)三角形的重心分每一条中线成1∶2的两条线段.(2)重心与三角形三个顶点连接所得的三个三角形的面积相等.1.[2019·陇南]如图22-5,将图形用放大镜放大,应该属于()A.平移变换B.相似变换C.旋转变换D.对称变换题组一必会题对点演练B图22-52.[2018·内江]已知△ABC与△A1B1C1相似,且相似比为1∶3,则△ABC与△A1B1C1的面积比为()A.1∶1B.1∶3C.1∶6D.1∶9D3.如图22-6,在△ABC中,D,E分别为AB,AC边上的点,DE∥BC,BE与CD相交于点F,则下列结论一定正确的是()A.𝐴𝐷𝐴𝐵=𝐴𝐸𝐴𝐶B.𝐷𝐹𝐹𝐶=𝐴𝐸𝐸𝐶C.𝐴𝐷𝐷𝐵=𝐷𝐸𝐵𝐶D.𝐷𝐹𝐵𝐹=𝐸𝐹𝐹𝐶图22-6A4.[2019·郴州]若𝑥+𝑦𝑥=32,则𝑦𝑥=.𝟏𝟐5.[2019·北京房山期末]如图22-7,∠DAB=∠CAE,请补充一个条件:,使△ABC∽△ADE.图22-7∠D=∠B(答案不唯一)6.[2019·北京丰台一模]如图22-8,将△ABC沿BC所在的直线平移得到△DEF,如果AB=7,GC=2,DF=5,那么GE=.图22-8[答案]145[解析]∵△ABC沿着射线BC的方向平移得到△DEF,AB=7,∴DE=7,∠D=∠CGE,∴△DEF∽△GEC,∴𝐺𝐸𝐷𝐸=𝐺𝐶𝐷𝐹.∵GC=2,DF=5,∴𝐺𝐸7=25,∴GE=145.故填:145.题组二易错题【失分点】相似三角形的多解问题.7.下列四组图形中,一定相似的图形是()A.各有一个角是30°的两个等腰三角形B.各有一个角是120°的两个等腰三角形C.各有一个角是直角的两个三角形D.有两边之比都等于2∶3的两个三角形[答案]B[解析]A.各有一顶角或底角是30°的两个等腰三角形相似,故本选项错误;B.各有一个角是120°的两个等腰三角形相似,故本选项正确;C.两个直角三角形不一定相似,故本选项错误;D.有两边之比都等于2∶3的两个三角形不一定相似,故本选项错误.故选:B.8.[2018·常州]如图22-9,在△ABC纸板中,AC=4,BC=2,AB=5,P是AC上一点,过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板,如果有4种不同的剪法,那么AP长的取值范围是.图22-9[答案]3≤AP4[解析]如图,过点P作PE∥BC,PG∥AB,∠APD=∠ABC,有三种相似,即△APE∽△ACB,△CPG∽△CAB,△APD∽△ABC.作∠CPF=∠CBA,交BC于F,则△CPF∽△CBA,若点F与点B重合,则△CBP∽△CAB,所以𝐶𝐵𝐴𝐶=𝐶𝑃𝐶𝐵,求得CP=1,所以PA=3,所以AP的取值范围是3≤AP4.[答案]A考向一由平行线截得的线段成比例图22-10[解析]∵直线AB∥CD∥EF,AC=4,CE=6,BD=3,∴𝐴𝐶𝐶𝐸=𝐵𝐷𝐷𝐹,即46=3𝐷𝐹,解得DF=4.5.故选:A.例1[2019·漳州模拟]如图22-10,AB∥CD∥EF,AC=4,CE=6,BD=3,则DF的值是()A.4.5B.5C.2D.1.5|考向精练|图22-11[2018·哈尔滨]如图22-11,在△ABC中,点D在BC边上,连接AD,点G在线段AD上,GE∥BD,且交AB于点E,GF∥AC,且交CD于点F,则下列结论一定正确的是()A.𝐴𝐵𝐴𝐸=𝐴𝐺𝐴𝐷B.𝐷𝐹𝐶𝐹=𝐷𝐺𝐴𝐷C.𝐹𝐺𝐴𝐶=𝐸𝐺𝐵𝐷D.𝐴𝐸𝐵𝐸=𝐶𝐹𝐷𝐹[答案]D[解析]∵GE∥BD,∴𝐴𝐸𝐵𝐸=𝐴𝐺𝐺𝐷,又∵GF∥AC,∴𝐴𝐺𝐺𝐷=𝐶𝐹𝐷𝐹,∴𝐴𝐸𝐵𝐸=𝐶𝐹𝐷𝐹.考向二相似三角形的性质例2[2018·包头]如图22-12,在▱ABCD中,AC是一条对角线,EF∥BC,且EF与AB相交于点E,与AC相交于点F,3AE=2EB,连接DF.若S△AEF=1,则S△ADF的值为.图22-12[答案]52[解析]由3AE=2EB得𝐴𝐸𝐸𝐵=23.由EF∥BC易证得△AEF∽△ABC,所以𝑆△𝐴𝐸𝐹𝑆△𝐴𝐵𝐶=425,又因为S△AEF=1,所以S△ABC=254.又因为AC是对角线,所以S△ADC=254,因为𝐴𝐹𝐹𝐶=𝐴𝐸𝐸𝐵=23,所以S△ADF=25S△ADC=25×254=52.|考向精练|1.如图22-13,已知AB,CD,EF都与BD垂直,垂足分别是B,D,F,且AB=1,CD=3,那么EF的长是.图22-13[答案]34[解析]∵AB,CD,EF都与BD垂直,∴AB∥CD∥EF,∴△DEF∽△DAB,△BEF∽△BCD,∴𝐸𝐹𝐴𝐵=𝐷𝐹𝐵𝐷,𝐸𝐹𝐷𝐶=𝐵𝐹𝐵𝐷,∴𝐸𝐹𝐴𝐵+𝐸𝐹𝐷𝐶=𝐷𝐹𝐵𝐷+𝐵𝐹𝐵𝐷=1.∵AB=1,CD=3,∴EF+𝐸𝐹3=1,∴EF=34.2.[2018·福建20题]求证:相似三角形对应边上的中线之比等于相似比.要求:(1)根据给出的△ABC及线段A'B',∠A'(∠A'=∠A),以线段A'B'为一边,在给出的图形上用尺规作出△A'B'C',使得△A'B'C'∽△ABC,不写作法,保留作图痕迹;(2)在已有的图形上画出一组对应中线,并据此写出已知、求证和证明过程.图22-14解:(1)如图所示,△A'B'C'就是所求作的三角形.2.[2018·福建20题]求证:相似三角形对应边上的中线之比等于相似比.要求:(2)在已有的图形上画出一组对应中线,并据此写出已知、求证和证明过程.图22-14(2)已知:如图,△A'B'C'∽△ABC,𝐴'𝐵'𝐴𝐵=𝐵'𝐶'𝐵𝐶=𝐴'𝐶'𝐴𝐶=k,A'D'=D'B',AD=DB,求证:𝐷'𝐶'𝐷𝐶=k.证明:∵A'D'=D'B',AD=DB,∴A'D'=12A'B',AD=12AB,∴𝐴'𝐷'𝐴𝐷=12𝐴'𝐵'12𝐴𝐵=𝐴'𝐵'𝐴𝐵.∵△A'B'C'∽△ABC,∴𝐴'𝐵'𝐴𝐵=𝐴'𝐶'𝐴𝐶,在△A'D'C'和△ADC中,𝐴'𝐷'𝐴𝐷=𝐴'𝐶'𝐴𝐶,且∠A=∠A',∴△A'D'C'∽△ADC,∴𝐷'𝐶'𝐷𝐶=𝐴'𝐶'𝐴𝐶=k.考向三相似三角形的判定图22-15例3[2016·福州]如图22-15,在△ABC中,AB=AC=1,BC=5-12,在AC边上截取AD=BC,连接BD.(1)通过计算,判断AD2与AC·CD的大小关系;(2)求∠ABD的度数.解:(1)∵AB=AC=1,BC=5-12,AD=BC,∴AD=5-12,DC=1-5-12=3-52,∴AD2=5+1-254=3-52,AC·CD=1×3-52=3-52,∴AD2=AC·CD.图22-15例3[2016·福州]如图22-15,在△ABC中,AB=AC=1,BC=5-12,在AC边上截取AD=BC,连接BD.(2)求∠ABD的度数.(2)∵AD=BC,AD2=AC·CD,∴BC2=AC·CD,即𝐵𝐶𝐴𝐶=𝐶𝐷𝐵𝐶.又∵∠C=∠C,∴△BCD∽△ACB.∴𝐴𝐵𝐴𝐶=𝐵𝐷𝐵𝐶=1,∠DBC=∠A,∴DB=CB=AD,∴∠A=∠ABD,∠C=∠BDC.设∠A=x,则∠ABD=x,∠DBC=x,∠C=2x.∵∠A+∠ABC+∠C=180°,∴x+2x+2x=180°.解得x=36°,∴∠ABD=36°.|考向精练|图22-16[2017·宿迁]如图22-16,在△ABC中,AB=AC,点E在边BC上移动(点E不与点B,C重合),满足∠DEF=∠B,且点D,F分别在边AB,AC上.(1)求证:△BDE∽△CEF;(2)当点E移动到BC的中点时,求证:FE平分∠DFC.证明:(1)∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵∠DEF+∠CEF=∠B+∠BDE,∠DEF=∠B,∴∠CEF=∠BDE,∴△BDE∽△CEF.图22-16[2017·宿迁]如图22-16,在△ABC中,AB=AC,点E在边BC上移动(点E不与点B,C重合),满足∠DEF=∠B,且点D,F分别在边AB,AC上.(2)当点E移动到BC的中点时,求证:FE平分∠DFC.(2)由(1)得:𝐵𝐸𝐶𝐹=𝐷𝐸𝐸𝐹.∵E是BC的中点,∴BE=CE,∴𝐶𝐸𝐶𝐹=𝐷𝐸𝐸𝐹,即𝐶𝐸𝐷𝐸=𝐶𝐹𝐸𝐹.又∵∠C=∠DEF,∴△EDF∽△CEF,∴∠CFE=∠EFD,即FE平分∠DFC.考向四相似三角形综合性问题例4[2019·长春]教材呈现:下图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容.请根据教材提示,结合图22-18①,写出完整的证明过程.结论应用:在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,E为边BC的中点,AE,BD交于点F.图22-17(1)如图②,若平行四边形ABCD为正方形,且AB=6,则OF的长为.(2)如图③,连接DE交AC于点G,若四边形OFEG的面积为12,则平行四边形ABCD的面积为.①②③图22-18教材呈现证明:∵D,E分别是BC,AB的中点,∴DE∥AC,DE=12AC,∴△DEG∽△ACG,∴𝐶𝐺𝐺𝐸=𝐴𝐺𝐺𝐷=𝐴𝐶𝐷𝐸=2,∴𝐶𝐺+𝐺𝐸𝐺𝐸=𝐴𝐺+𝐺𝐷