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第21课时直角三角形及勾股定理1.定义:有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.2.直角三角形的有关结论(1)直角三角形的两个锐角①.(2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的②.(3)在直角三角形中,30°的角所对的直角边等于斜边的③.考点一直角三角形考点聚焦互余一半一半【温馨提示】(1)如果一个三角形中有两个角互余,那么这个三角形是直角三角形.(2)在直角三角形中,如果一条直角边是斜边的一半,那么这条直角边所对的角为30°.考点二勾股定理c2如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=④.考点三勾股定理的逆定理直角如果三角形的三边长分别为a,b,c,且满足a2+b2=c2,那么这个三角形是⑤_______三角形.【温馨提示】勾股定理的逆定理可以用来判断某个三角形是否为直角三角形,还可用来证明两条线段互相垂直.1.能清楚地规定某一名词或术语的意义的句子叫做定义.2.命题是判断某一件事情的句子.正确的命题称为⑥,不正确的命题称为⑦.每个命题都由⑧和⑨两部分组成.每个命题都可以写成“如果……那么……”的形式.3.要说明一个命题是假命题,通常可以通过举出一个⑩.4.反证法:先假设命题⑪,从假设出发,经过推理得出和已知条件矛盾,或者与定理、基本事实、定义等矛盾,从而得出假设命题不成立是错误的,即所求证的命题正确.5.反例:满足一个命题的条件,而不满足该命题的结论的实例叫做该命题的反例.考点四定义和命题真命题假命题条件结论反例不成立1.互逆命题:在两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,并且第一个命题的结论是第二个命题的条件,那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做⑫,那么另一个命题叫做它的⑬.2.互逆定理:如果一个定理的逆命题能被证明是真命题,那么它就是原定理的⑭,这两个定理叫做互逆定理.考点五互逆命题、互逆定理及其关系原命题逆命题逆定理1.在Rt△ABC中,∠A=30°,则另一个锐角∠B=()A.40°B.50°C.60°D.70°2.用反证法证明“ab”时第一步应假设()A.abB.a≤bC.a≥bD.a≠b题组一必会题对点演练CCC3.[2019·滨州]满足下列条件时,△ABC不是直角三角形的为()A.AB=41,BC=4,AC=5B.AB∶BC∶AC=3∶4∶5C.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5D.cos𝐴-12+tan𝐵-332=04.[2018·福建13题]如图21-1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=6,D为AB的中点,则CD=.[答案]3图21-1[解析]在△ABC中,以∠ACB为直角的直角三角形的斜边AB=6,∵CD是AB边上的中线,∴CD=12AB=3.5.在直角三角形ABC中,已知∠C=90°,∠A=30°,BC=2,则AC=.2𝟑题组二易错题【失分点】直角的不确定引起的分类讨论;求最短距离时,将立体图形展开成平面图形求解.6.[2018·东营]如图21-2所示的圆柱的高AB=3,底面直径BC=3,现在有一只蚂蚁想从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食,则它爬行的最短距离是()A.31+πB.32C.34+π22D.31+π2图21-2[答案]C[解析]将圆柱侧面沿AB展开,得到矩形,如图:则有AB=3,BC=3π2,连接AC,在Rt△ABC中,由勾股定理,得:AC=𝐴𝐵2+𝐵𝐶2=32+(3π2)2=34+π22.故选C.7.若一个三角形的三边长分别为3,4,x,则使此三角形是直角三角形的x的值是.5或𝟕8.[2018·哈尔滨]在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,点D在BC边上,连接AD,若△ABD为直角三角形,则∠ADC的度数为.[答案]90°或130°[解析]分两种情况:(1)如图①,当∠ADB=90°时,∠ADC=90°;(2)如图②,当∠BAD=90°时,∠ADC=∠BAD+∠B=90°+(180°-100°)÷2=130°.9.[2018·云南]在△ABC中,AB=,AC=5.若BC边上的高等于3,则BC边的长为.[答案]1或9[解析]设BC边上的高为AD.当BC边上的高AD在△ABC的内部时,如图①所示,在Rt△ABD中,由勾股定理得BD=𝐴𝐵2-𝐴𝐷2=(34)2-32=5,在Rt△ACD中,由勾股定理得CD=𝐴𝐶2-𝐴𝐷2=52-32=4,所以BC=5+4=9.当BC边上的高AD在△ABC的外部时,如图②所示,同理BD=5,CD=4,所以BC=5-4=1.考向一直角三角形性质的应用图21-3例1[2018·福建15题]把两个相同大小的含45°角的三角板如图21-3所示放置,其中一个三角板的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A,另外三角板的锐角顶点B,C,D在同一直线上,若AB=2,则CD=.[答案]3-1[解析]过点A作AF⊥BC,垂足为点F.∵AB=AC,∴CF=12BC.∵AB=AC=2,∴AD=BC=𝐴𝐵2+𝐴𝐶2=2,∴CF=1.∵∠ACB=45°,∴AF=CF=1,∴DF=𝐴𝐷2-𝐴𝐹2=3,∴CD=DF-CF=3-1.|考向精练|1.如图21-4,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=65°,CD⊥AB,垂足为D,E是BC的中点,连接ED,则∠EDC的度数是()A.25°B.30°C.50°D.65°图21-4[答案]D[解析]因为CD⊥AB,所以∠ADC=∠BDC=90°,所以∠ACD=90°-∠A=25°.因为∠ACB=90°,所以∠DCE=90°-∠ACD=65°.因为在Rt△CDB中,E是BC的中点,所以EC=ED,所以∠EDC=∠DCE=65°.图21-52.[2019·北京海淀二模]如图21-5,在△ABC中,∠BAC=90°,D为BC的中点,若AD=52,AC=3,则AB的长为.43.[2016·北京改编]如图21-6,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AC=AD,M,N分别为AC,CD的中点,连接BM,MN,BN,∠BAD=60°,AC平分∠BAD,AC=2,则BN的长为.图21-6[答案]2[解析]在△CAD中,∵M,N分别是AC,CD的中点,∴MN∥AD,MN=12AD,在Rt△ABC中,∵M是AC的中点,∴BM=12AC=1.∵AC=AD,∴MN=BM=1.∵∠BAD=60°,AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠DAC=30°,由题可知,BM=12AC=AM=MC,∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°.∵MN∥AD,∴∠NMC=∠DAC=30°,∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°,∴BN2=BM2+MN2,∴BN=2.4.[福建省初中学科教学与考试指导意见试卷题型参考]在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点,分别沿斜边中点与这两点的连接剪去两个三角形,剩下的部分是如图21-7所示的四边形,AB∥CD,CD⊥BC于C,且AB,BC,CD的长分别为2,4,3,则原直角三角形纸片的斜边长是.图21-7[解析]①如图①:AC=22+42=25,点A是斜边EF的中点,所以EF=2AC=45.②如图②:因为BD=32+42=5,点D是斜边EF的中点,所以EF=2BD=10.综上所述,原直角三角形纸片的斜边长是45或10,故答案是:45或10.[答案]45或10考向二勾股定理及其逆定理的应用例2[教材题]一架2.5米长的梯子靠在一座建筑物上,梯子的底部离建筑物0.7米,如果梯子的顶部滑下0.4米,梯子的底部向外滑出多远?解:根据题意,可画出如下图形:原图是Rt△ABC,下滑后的图形是Rt△BDE,在Rt△ABC中,∵AC=2.5,BC=0.7,∴AB=𝐴𝐶2-𝐵𝐶2=2.52-0.72=2.4.在Rt△DBE中,∵BD=AB-AD=2,DE=AC=2.5,∴BE=𝐷𝐸2-𝐵𝐷2=2.52-22=1.5.∴CE=BE-BC=0.8(米).答:梯子的底部向外滑出0.8米.|考向精练|1.[2019·北京怀柔二模]如图21-8,E为AB中点,CE⊥AB于点E,AD=5,CD=4,BC=3.求证:∠ACD=90°.图21-8证明:∵E为AB中点,CE⊥AB于点E,∴AC=BC.∵BC=3,∴AC=3.又∵AD=5,CD=4,∴AC2+CD2=AD2,∴∠ACD=90°.2.[2019春·龙岩上杭县期末]如图21-9,甲、乙两船同时从港口A出发,甲船以16海里/时的速度向南偏东50°方向航行,乙船向北偏东40°方向航行3小时后,甲船到达B岛,乙船到达C岛.若B,C两岛相距60海里,请问乙船的速度是多少?图21-9解:由题意得:∠CAE=40°,∠PAB=50°,∴∠CAB=180°-40°-50°=90°.由已知可得:AB=16×3=48(海里).∵BC=60海里,∴AC=𝐵𝐶2-𝐴𝐵2=602-482=36(海里),36÷3=12(海里/时),∴乙船的速度是12海里/时.3.[2019春·南平期末]如图21-10,在四边形ABCD中,AB=3,BC=4,∠ABC=90°,AD=13,CD=12,求四边形ABCD的面积.图21-10解:∵∠ABC=90°,AB=3,BC=4,∴AC=𝐴𝐵2+𝐵𝐶2=5.在△ACD中,AC2+CD2=25+144=169=AD2,∴△ACD是直角三角形,∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=12AB·BC+12AC·CD=12×3×4+12×5×12=36.考向三赵爽弦图例3[2018·莆田质检]如图21-11,四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD,中间阴影部分是一个小正方形EFGH,这样就组成一个“赵爽弦图”,若AB=5,AE=4,则正方形EFGH的面积为.图21-111|考向精练|图21-12数学文化[2019·大庆]我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图21-12所示).如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的两直角边长分别为a,b,那么(a-b)2的值是.[答案]1[解析](a-b)2=a2+b2-2ab,其中,由勾股定理可得,a2+b2=13,直角三角形的面积=(13-1)÷4=3,即12ab=3,所以ab=6,所以(a-b)2=a2+b2-2ab=13-12=1.考向四与三角形旋转相结合图21-13例4[2018·淄博]如图21-13,P为等边三角形ABC内的一点,且P到三个顶点A,B,C的距离分别为3,4,5,则△ABC的面积为()A.9+2534B.9+2532C.18+253D.18+2532[答案]A[解析]将△APB绕点A逆时针旋转60°得到△AHC,作AI⊥CH交CH的延长线于点I,连接PH,则△APH为等边三角形,HA=HP=PA=3,HC=PB=4,∵PC=5,∴PC2=PH2+CH2,∴∠PHC=90°,∴∠AHI=30°,∴AI=32,HI=323,∴CI=323+4,∴AC2=322+323+42=25+123,∴S△ABC=34AC2=34×(25+123)=9+2534.|考向精练|图21-14问题:如图21-14①,在Rt△ABC中,AB=AC,D为BC边上一点(不与点B,C重合),将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE,连接EC,则线段BC,DC,EC之间满足的等量关系式为;探索:如图②,在Rt△ABC与Rt△ADE中,AB=AC,AD=AE,将△ADE绕点A旋转,使点D落在BC边上,试探索线段AD,BD,CD之间满足的等量关系,并证明你的结论;应用:如图③,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°.若BD=9,CD=3,求AD的长.解:问题:BC=EC+DC.[解析]由题意可知,∠BAC=90°,∠EAD=90°,∴∠EAD-∠CAD=∠BAC-∠CAD,∴∠BAD=∠CAE.又∵AB=AC,AD=AE,∴△ABD≌△ACE,∴BD=CE,∴BC=EC+DC.图21-14探索:如图②,在Rt△ABC与Rt△ADE中,AB=