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第20课时等腰三角形定义有①相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两边叫做腰,另一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角性质(1)两个底角相等(简称②);(2)顶角平分线、底边上的③、底边上的高相互重合(简称三线合一);(3)是轴对称图形,有④条对称轴,为“三线”所在直线判定(1)在△ABC中,AB=AC⇒△ABC是等腰三角形(定义);(2)在△ABC中,∠B=∠C⇒△ABC是等腰三角形(等角对等边)面积S=ah,其中a是底边长,h是底边上的高考点一等腰三角形考点聚焦两边等边对等角中线112（续表）拓展(1)等腰三角形两腰上的高相等(2)等腰三角形两腰上的中线相等(3)等腰三角形两底角的平分线相等(4)等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半(5)等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行(6)等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高(7)等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰的距离之差等于一腰上的高考点二等边三角形定义三边都相等的三角形叫做等边三角形性质(1)等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于⑤;(2)等边三角形三条角平分线的交点、三条高的交点、三条中线的交点重合;(3)等边三角形是轴对称图形,有⑥条对称轴判定(1)三条边都相等的三角形是等边三角形(定义);(2)三个角都相等的三角形是等边三角形;(3)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形面积S=a2,a是等边三角形的边长3460°31.[2019·怀化]若等腰三角形的一个底角为72°,则这个等腰三角形的顶角为.题组一必会题对点演练36°2.[2019·福建二模]如图20-1,直线m∥n,点A在直线m上,点B,C在直线n上,AB=CB,∠1=70°,则∠BAC等于()A.40°B.55°C.70°D.110°C图20-13.[2019春·漳州期末]在△ABC中,AB=AC,∠A=60°,BC=6,则AB的值是()A.12B.8C.6D.3C4.[2018春·宁德古田县校级期中]已知,如图20-2,在△ABC中,BO和CO分别平分∠ABC和∠ACB,过O作DE∥BC,分别交AB,AC于点D,E,若BD+CE=5,则线段DE的长为()A.5B.6C.7D.8[答案]A[解析]∵BO平分∠ABC,∴∠DBO=∠OBC.∵DE∥BC,∴∠DOB=∠OBC,∴∠DOB=∠DBO,∴BD=OD.同理可得:CE=OE,∴DE=DO+OE=BD+CE=5.故选:A.图20-25.如图20-3,线段AC的垂直平分线DE交线段AB于点D,交AC于点E,∠A=50°,则∠BDC=()A.50°B.100°C.120°D.130°B图20-3图20-46.[2018·山西]如图20-4,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,AC=6,将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C,此时点A'恰好在AB边上,则点B'与点B之间的距离为()A.12B.6C.62D.63[答案]D[解析]连接B'B.∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C,∴CA=CA'.又∵∠A=60°,∴△AA'C为等边三角形,∴∠ACA'=60°,即旋转角为60°,∴∠BCB'=∠ACA'=60°,∴△BB'C为等边三角形,∴BB'=BC.又∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,AC=6,∴BB'=BC=63.题组二易错题【失分点】腰与底不确定时忽视分类讨论;分类讨论时忘记三角形三边关系;顶角与底角不确定时忽视分类讨论造成漏解.7.等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm,则它的周长为()A.16cmB.17cmC.20cmD.16cm或20cmC8.[2017秋·厦门思明区校级期中]如图20-5,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于点D,DE∥BC,则图中共有个等腰三角形.图20-5[答案]5[解析]∵在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,∴∠ABC=∠C=180°-∠𝐴2=72°,△ABC是等腰三角形.∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBC=36°.∵DE∥BC,∴∠EDB=∠DBC=36°,∴∠ABD=∠EDB=∠A,∴AD=BD,EB=ED,即△ABD和△EBD是等腰三角形.∵∠BDC=180°-∠DBC-∠C=72°,∴∠BDC=∠C,∴BD=BC,即△BCD是等腰三角形.∵DE∥BC,∴∠AED=∠ABC,∠ADE=∠C,∴∠AED=∠ADE,∴AE=AD,即△AED是等腰三角形.∴图中共有5个等腰三角形.故答案为:5.9.已知等腰三角形的一个外角为130°,则它的顶角的度数为.50°或80°考向一等腰三角形的性质例1[2019·黔三州]如图20-6,以△ABC的顶点B为圆心,BA长为半径画弧,交BC边于点D,连接AD.若∠B=40°,∠C=36°,则∠DAC的大小为.图20-6[答案]34°[解析]根据题意可得BA=BD.∵∠B=40°,∴∠BAD=∠BDA=70°.∵∠B=40°,∠C=36°,∴∠BAC=180°-∠B-∠C=104°,∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=34°.故答案为34°.|考向精练|1.[2018·福建5题]如图20-7,等边三角形ABC中,AD⊥BC,垂足为D,点E在线段AD上,∠EBC=45°,则∠ACE等于()A.15°B.30°C.45°D.60°图20-7A2.[2017·天津]如图20-8,在△ABC中,AB=AC,AD,CE是△ABC的两条中线,P是AD上的一个动点,则下列线段的长等于BP+EP的最小值的是()A.BCB.CEC.ADD.AC图20-8[答案]B[解析]由AB=AC可得△ABC是等腰三角形,根据等腰三角形的“三线合一”性质可知点B与点C关于直线AD对称,因此连接CP,则BP=CP,所以BP+EP的最小值为CE,故选B.3.[2018·娄底]如图20-9,△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,DE⊥AB于点E,BF⊥AC于点F,DE=3cm,则BF=cm.图20-9[答案]6[解析]过点D作DH⊥AC于H,对△ABC用等面积法,得到BF=DE+DH,再利用三线合一得到AD是角平分线,进一步得到DE=DH,故答案为6.4.[2019·武威]定义:等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”.若等腰三角形ABC中,∠A=80°,则它的特征值k=.[答案]85或14[解析]①当∠A为顶角时,等腰三角形两底角的度数为:180°-80°2=50°,∴特征值k=80°50°=85;②当∠A为底角时,顶角的度数为:180°-80°-80°=20°,∴特征值k=20°80°=14,故答案为85或14.5.[2018秋·广州番禺区期末]等腰三角形的底角是15°,腰长为10,则其腰上的高为.[答案]5[解析]如图,△ABC中,∠B=∠ACB=15°,∴∠BAC=180°-15°×2=150°,∴∠CAD=180°-150°=30°.∵CD是腰AB边上的高,∴CD=12AC=12×10=5cm.故答案为:5.6.[教材题]证明:等腰三角形两底角的平分线相等.已知:如图20-10,△ABC是等腰三角形,AB=AC,BD,CE分别平分∠ABC和∠ACB.求证:BD=CE.图20-10证明:如图,△ABC是等腰三角形,且AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∵BD,CE分别平分∠ABC和∠ACB,∴∠1=12∠ABC,∠2=12∠ACB,∴∠1=∠2.在△BDC和△CEB中,∵∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐴𝐵𝐶,𝐵𝐶=𝐶𝐵,∠1=∠2,∴△BDC≌△CEB(ASA).∴BD=CE.考向二等腰三角形和等边三角形的判定例2[2018秋·济南历下区期末]如图20-11,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,且DE=DF.求证:△ABC是等腰三角形.图20-11证明:∵D是BC的中点,∴BD=DC.∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠BED=∠CFD=90°.在Rt△BDE和Rt△CDF中,∵BD=DC,DE=DF,∴Rt△BDE≌Rt△CDF,∴∠B=∠C,∴AB=AC,∴△ABC是等腰三角形.|考向精练|1.[2017·内江]如图20-12,AD平分∠BAC,AD⊥BD,垂足为点D,DE∥AC.求证:△BDE是等腰三角形.图20-12证明:∵DE∥AC,∴∠1=∠3.∵AD平分∠BAC,∴∠1=∠2.∴∠2=∠3.∵AD⊥BD,∴∠2+∠B=90°,∠3+∠BDE=90°,∴∠B=∠BDE,∴△BDE是等腰三角形.2.[2018·嘉兴]已知:如图20-13,在△ABC中,AB=AC,D为AC的中点,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别为点E,F,且DE=DF.求证:△ABC是等边三角形.图20-13证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵DE⊥AB,DF⊥BC,∴∠DEA=∠DFC=90°.∵D为AC的中点,∴DA=DC.又∵DE=DF,∴Rt△ADE≌Rt△CDF.∴∠A=∠C.∴∠A=∠B=∠C.∴△ABC是等边三角形.考向三等腰三角形的综合应用例3[2019·徐州]函数y=x+1的图象与x轴、y轴分别交于A,B两点,点C在x轴上,若△ABC为等腰三角形,则满足条件的点C共有个.[答案]4[解析]如图,作AB的垂直平分线,交x轴于坐标原点,△OAB为等腰三角形;以B为圆心,BA长为半径画圆交x轴于C2,△C2AB为等腰三角形;以A为圆心,AB长为半径画圆,交x轴于C3,C4,则△C3AB,△C4AB为等腰三角形,所以满足条件的点C有4个.|考向精练|图20-141.[2019·宜宾]如图20-14,∠EOF的顶点O是边长为2的等边三角形ABC的重心,∠EOF的两边与△ABC的边交于E,F,∠EOF=120°,则∠EOF与△ABC的边所围成阴影部分的面积是()A.32B.235C.33D.34[答案]C[解析]如图,连接OB,OC,过点O作ON⊥BC,垂足为N,∵△ABC为等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°,∵点O为△ABC的重心,∴点O为△ABC的内心,∴∠OBC=∠OBA=12∠ABC,∠OCB=12∠ACB.∴∠OBA=∠OBC=∠OCB=30°.∴OB=OC,∠BOC=120°.∵ON⊥BC,BC=2,∴BN=NC=1,∴ON=tan∠OBC·BN=33×1=33,∴S△OBC=12BC·ON=33.∵∠EOF=∠BOC=120°,∴∠EOF-∠BOF=∠BOC-∠BOF,即∠EOB=∠FOC.在△EOB和△FOC中,∠𝑂𝐵𝐸=∠𝑂𝐶𝐹=30°,𝑂𝐵=𝑂𝐶,∠𝐸𝑂𝐵=∠𝐹𝑂𝐶,∴△EOB≌△FOC(ASA).∴S阴影=S△OBC=33.故选:C.2.[2018秋·阜阳颍上县期末]如图20-15,△ABC是等腰三角形,D,E分别是腰AB及AC延长线上的一点,且BD=CE,连接DE交底BC于G.求证:GD=GE.图20-15证明:如图,过E作EF∥AB交BC的延长线于F.∵AB=AC,∴∠B=∠ACB.∵EF∥AB,∴∠F=∠B,∵∠ACB=∠FCE,∴∠F=∠FCE,∴CE=EF.∵BD=CE,∴BD=EF.在△DBG与△EFG中,∠𝐷𝐺𝐵=∠𝐸𝐺𝐹,∠𝐵=∠𝐹,𝐵𝐷=𝐸𝐹,∴△DBG≌△EFG(AAS),∴GD=GE.