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第18课时三角形的基础考点一三角形的分类考点聚焦1.按角分:三角形直角三角形斜三角形锐角三角形钝角三角形2.按边分:三角形三边都不相等的三角形等腰三角形底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形考点二三角形边和角的性质1.三角形的稳定性:三角形具有稳定性.2.三边关系:三角形两边之和①第三边,两边之差②第三边.大于小于【温馨提示】判断给定的三条线段能否组成三角形,只要判断两条较短线段的和是否大于最长线段即可.3.三角形的内角、外角(1)内角和定理:三角形三个内角的和等于③.(2)内外角的关系:a.三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的④;b.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.4.边角关系:在同一个三角形中,等边对等角,等角对等边,大边对大角,小边对小角.(拓展知识)180°和名称图形性质重要结论中线BD=⑤=⑥BC三角形的三条中线的交点(重心)在三角形的⑦部,中线将三角形分成两个面积相等的三角形,顶点到重心的距离等于重心到对边中点距离的2倍高线AD⊥⑧,即∠ADB=⑨_______=90°⑩三角形的三条高的交点在三角形的内部;⑪三角形的三条高的交点是直角顶点;⑫三角形的三条高所在直线的交点在三角形的外部,这个点称为垂心考点三与三角形有关的重要线段或直线DC内BC∠ADC锐角𝟏𝟐直角钝角角平分线∠1=⑬=12∠BAC三角形的三条角平分线的交点在三角形的⑭部,这个点称为内心中位线⑮∥BC且DE=⑯BC中位线所截得的三角形与原三角形相似,其相似比为1∶2,面积比为1∶4垂直平分线DE⊥BC,且BE=⑰,BD=⑱锐角三角形的三条垂直平分线的交点在三角形的⑲部,这个点称为外心（续表）∠2内DE𝟏𝟐CECD内1.[2018·福建3题]下列各组数中,能作为一个三角形三边边长的是()A.1,1,2B.1,2,4C.2,3,4D.2,3,5题组一必会题对点演练C2.[2019·泰州]如图18-1所示的网格由边长相同的小正方形组成,点A,B,C,D,E,F,G在小正方形的顶点上,则△ABC的重心是()图18-1A.点DB.点EC.点FD.点GA3.[2019·张家界]如图18-2,在△ABC中,∠C=90°,AC=8,DC=13AD,BD平分∠ABC,则点D到AB的距离等于()A.4B.3C.2D.1图18-2C4.[2019·杭州]在△ABC中,若一个内角等于另两个内角的差,则()A.必有一个内角等于30°B.必有一个内角等于45°C.必有一个内角等于60°D.必有一个内角等于90°[答案]D[解析]∵∠A+∠B+∠C=180°,∠A=∠C-∠B,∴2∠C=180°,∴∠C=90°,∴△ABC中必有一个内角等于90°,故选D.5.[2019·大庆]如图18-3,在△ABC中BE是∠ABC的平分线,CE是外角∠ACM的平分线,BE与CE相交于点E,若∠A=60°,则∠BEC的度数是()A.15°B.30°C.45°D.60°[答案]B图18-3[解析]因为∠ACM=∠A+∠ABC,所以12∠ACM=12∠A+12∠ABC,即∠ECM=∠EBC+30°,又因为∠ECM=∠EBC+∠E,所以∠E=30°,故选B.6.[2017·福建12题]如图18-4,△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,连接DE,若DE=3,则线段BC的长为.6图18-4题组二易错题【失分点】中线、角平分线、高线的识别;三角形的分类;三角形内特殊线段的关系.7.下列四个图形中,线段BE是△ABC的高的是()D图18-58.已知在正方形网格中,每个小方格都是边长为1的正方形,A,B两点在小方格的顶点上,位置如图18-6所示,点C也在小方格的顶点上,且以A,B,C为顶点的三角形面积为1,则点C的个数为()A.3个B.4个C.5个D.6个图18-6[答案]D[解析]C点所有的情况如图所示:故选:D.9.从△ABC顶点A作高线AD和角平分线AE,若AD与AE的夹角为15°,且∠B=50°,则∠C=.[答案]20°或80°[解析]当∠B∠C时,如图①中,∵AD⊥BC,∴∠ADB=90°,∵∠B=50°,∴∠BAD=40°,∵∠DAE=15°,∴∠BAE=∠CAE=55°,∴∠BAC=110°,∴∠C=180°-∠B-∠BAC=180°-50°-110°=20°.当∠B∠C时,如图②中,∵AD⊥BC,∴∠ADB=90°,∵∠B=50°,∴∠BAD=40°,∵∠DAE=15°,∴∠BAE=∠EAC=25°,②∴∠DAC=10°,∴∠C=90°-∠DAC=80°,综上所述,∠C=20°或80°.考向一三角形三边的关系例1已知实数x,y满足|x-4|+𝑦-8=0,则以x,y的值为两边长的等腰三角形的周长是.[答案]20[解析]根据题意得,x-4=0,y-8=0,解得x=4,y=8,①4是腰长时,三角形的三边分别为4,4,8,∵4+4=8,∴不能组成三角形;②4是底边时,三角形的三边分别为4,8,8,能组成三角形,周长=4+8+8=20,∴三角形的周长为20.故答案为:20.【方法点析】已知三角形的两边长分别为a,b,则第三边长c的取值范围是|a-b|ca+b.|考向精练|[2019·福州期末]用一根长为10cm的绳子围成一个三角形,若所围成的三角形中一边的长为2cm,且另外两边长的值均为整数,则这样的围法有()A.1种B.2种C.3种D.4种A考向二三角形的中线与高线例2[2017·达州]在△ABC中,AB=5,AC=3,AD是△ABC的中线,设AD长为m,则m的取值范围是.[答案]1m4[解析]延长AD至点E,使DE=AD,连接EC,∵BD=CD,∠ADB=∠EDC,AD=DE,∴△ABD≌△ECD,∴CE=AB.∵AB=5,∴CE=5.由AD=m,知AE=2m,∴22m8,∴1m4.故答案为1m4.|考向精练|1.如图18-7,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,D是线段BC上的动点(不含端点B,C),若线段AD长为正整数,则点D的个数共有()A.5个B.4个C.3个D.2个图18-7[答案]C[解析]过A作AE⊥BC于E,∵AB=AC=5,BC=8,∴BE=EC=4,∴AE=3.∵D是线段BC上的动点(不含端点B,C),∴AE≤ADAB,即3≤AD5,∵AD的长为正整数,∴AD=3或AD=4,当AD=4时,E的左右两边各有一个点D满足条件,∴点D的个数共有3个.故选C.2.[2018·龙岩新罗区校级期中]如图18-8,在△ABC中,已知∠ABC=66°,∠ACB=54°,BE是AC上的高,CF是AB上的高,H是BE和CF的交点,∠EHF的度数是.图18-8[答案]120°[解析]∵∠ABC=66°,∠ACB=54°,∴∠A=60°.∵CF是AB上的高,∴在△ACF中,∠ACF=180°-∠AFC-∠A=30°.在△CEH中,∠ACF=30°,∠CEH=90°,∴∠EHF=∠ACF+∠CEH=30°+90°=120°.故答案为120°.考向三三角形中位线性质的应用例3在△ABC中,AB=12,AC=10,BC=9,AD是BC边上的高.将△ABC按如图18-9所示的方式折叠,使点A与点D重合,折痕为EF,则△DEF的周长为()A.9.5B.10.5C.11D.15.5图18-9D|考向精练|[答案]8[解析]在Rt△ABM中,点D是斜边AB的中点,根据“在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半”,可得DM=12AB=3.由已知ME=13DM,得ME=1,所以DE=4.因为点D是AB的中点,且DE∥BC,可得DE是△ABC的中位线,所以BC=2DE=8.如图18-10,在△ABC中,AB=6,点D是AB的中点,过点D作DE∥BC,交AC于点E,点M在DE上,且ME=13DM.当AM⊥BM时,BC的长为.图18-10考向四三角形内外角平分线的性质例4[2015秋·中山校级期中]数学思想运用:(1)如图18-11①所示,△ABC的外角平分线交于点G,若∠A=80°,则∠BGC=°,请你猜测∠BGC和∠A的数量关系:.(2)如图②所示,△ABC的内角平分线交于点I,若∠A=50°,则∠BIC=°,请你猜测∠BIC和∠A的数量关系:.图18-1150∠BGC=90°-𝟏𝟐∠A115∠BIC=90°+𝟏𝟐∠A(3)已知,如图③,△ABC中,∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于D点,请你猜测∠D和∠A的数量关系:.若∠A=70°,求∠D的度数(写出求解过程).图18-11例4[2015秋·中山校级期中]数学思想运用:(3)已知,如图③,△ABC中,∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于D点,请你猜测∠D和∠A的数量关系:.若∠A=70°,求∠D的度数(写出求解过程).图18-11(3)∠D=12∠A.∵BD,CD分别是∠ABC,∠ACE的平分线,∴∠ABC=2∠DBC,∠ACE=2∠DCE.∵∠DCE是△BCD的外角,∴∠D=∠DCE-∠DBE.∵∠ACE是△ABC的外角,∠A=∠ACE-∠ABC=2∠DCE-2∠DBE=2(∠DCE-∠DBE)=2∠D,∴∠D=12∠A.∵∠A=70°,∴∠D=35°.