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第17课时几何的初步及相交线与平行线考点一直线和线段考点聚焦1.直线的基本事实:经过两点有一条直线,并且只有一条直线(两点确定一条直线).2.线段的基本事实:两点的所有连线中,①最短(两点之间,线段最短).3.线段的和与差:如图17-1,在线段AC上取一点B,则有:AB+②=AC;AB=③-BC;BC=AC-④.图17-1线段BCACAB4.线段的中点:如图17-2,点M把线段AB分成相等的两条线段AM与MB,点M叫做线段AB的中点.几何语言:AM=⑤=12AB.图17-25.两点间的距离:连接两点间的线段的长度.MB考点二相交线1.三线八角(1)对顶角性质:对顶角相等.举例:∠1与∠3,∠2与∠4,∠5与∠7,∠6与⑥.(2)邻补角性质:互为邻补角的两个角之和等于180°.举例:∠1与∠2、∠4,∠2与∠1、∠3,∠8与∠5、∠7,∠7与∠6、∠8等.图17-3∠8(3)同旁内角举例:∠2与∠5,∠3与⑦.(4)同位角举例:∠1与⑧,∠2与∠6,∠4与∠8,∠3与∠7.(5)内错角举例:∠2与⑨,∠3与∠5.图17-3∠8∠5∠8【温馨提示】三线八角中截线与被截线的判断方法:两直线被第三条直线所截得的同位角(或内错角、同旁内角)的两边,共线的一边为截线,不共线的两边为被截直线.2.垂线(1)垂线的性质a.在同一平面内,过一点有且只有⑩条直线与已知直线垂直.b.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,⑪最短.简单说成:垂线段最短.c.点到直线的距离:直线外一点到这条直线的⑫的长度,叫做点到直线的距离.如图17-4,点P与直线l上各点连接的所有线段中,PB最短,点P到直线l的距离是PB的长度.图17-4一垂线段垂线段(2)垂直平分线定理:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.如图17-5,若l⊥AB,OA=OB,则AP=BP.逆定理:与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.图17-5考点三角量角器的使用量角器的中心和角的顶点对齐,量角器的零刻度线和角的一条边对齐,做到两对齐后看角的另一边与刻度线对应的度数度分秒的换算1周角=360°,1平角=180°,1°=⑬',1'=⑭″两角间的关系互余α+β=⑮⇔α,β互为余角同角(等角)的余角⑯互补α+β=⑰⇔α,β互为补角同角(等角)的补角⑱角平分线的定义一般地,从一个角的顶点出发,把这个角分成两个相等的角的射线,叫做这个角的平分线606090°相等180°相等考点四平行线的性质与判定平行公理经过直线外一点,有且只有㉑条直线与这条直线平行平行公理的推论如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也㉒平行线的性质和判定(1)同位角㉓两直线平行.如图,∠1=㉔a∥b.(2)内错角㉕两直线平行.如图,∠3=∠4㉖.(3)同旁内角㉗两直线平行.如图,∠2+∠3=㉘a∥b一互相平行相等∠2相等a∥b互补180°（续表）两平行线间的距离定义两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的㉙,叫做这两条平行线之间的距离性质两条平行线之间的距离处处㉚距离相等【温馨提示】与“拐点问题”相关的结论:如图17-6①,AB∥CD,P是AB与CD之间的一点,连接BP,DP,则∠BPD+∠B+∠D=360°.(提示:过拐点作平行线,两次利用“两直线平行,同旁内角互补”)图17-6①如图17-6②,直线AB∥CD,E是AB与CD之间的一点,连接BE,CE,则∠B+∠C=∠BEC.(提示:过拐点作平行线,两次利用“两直线平行,内错角相等”)图17-6②题组一必会题对点演练A1.[2019·湖州]已知∠α=60°32',则∠α的余角是()A.29°28'B.29°68'C.119°28'D.119°68'2.[2017·北京]如图17-7所示,点P到直线l的距离是()A.线段PA的长度B.线段PB的长度C.线段PC的长度D.线段PD的长度图17-7B3.[2019·吉林]曲桥是我国古代经典建筑之一,它的修建增加了游人在桥上行走的路程,有利于游人更好地观赏风光.如图17-8,A,B两地间修建曲桥与修建直的桥相比,增加了桥的长度,其中蕴含的数学道理是()A.两点之间,线段最短B.平行于同一条直线的两条直线平行C.垂线段最短D.两点确定一条直线图17-8A4.[2019·滨州]如图17-9,AB∥CD,∠FGB=154°,FG平分∠EFD,则∠AEF的度数等于()A.26°B.52°C.54°D.77°[答案]B[解析]∵AB∥CD,∴∠DFG+∠FGB=180°.∵∠FGB=154°,∴∠DFG=26°.∵FG平分∠EFD,∴∠EFD=2∠DFG=2×26°=52°.∵AB∥CD,∴∠AEF=∠EFD=52°.故选B.图17-95.[2019·泰安]如图17-10,直线l1∥l2,∠1=30°,则∠2+∠3=()A.150°B.180°C.210°D.240°[答案]C[解析]过点A作l3∥l1,∵l1∥l2,∴l2∥l3,∴∠4=∠1=30°,∠5+∠3=180°,∴∠2+∠3=∠4+∠5+∠3=210°,故选C.图17-10题组二易错题【失分点】忽视平行的定义;角的计算有误;不能正确识别“三线八角”;线段计算涉及分类讨论.6.已知点A,B,C都是直线l上的点,且AB=5cm,BC=3cm,那么点A与点C之间的距离是()A.8cmB.2cmC.8cm或2cmD.4cmC7.[2018·厦门期末]一个角的补角为138°,那么这个角的余角是()A.32°B.42°C.48°D.132°C8.[2019·厦门一模]如图17-11,AD,CE是△ABC的高,过点A作AF∥BC,则下列线段的长可表示图中两条平行线之间的距离的是()A.ABB.ADC.CED.AC图17-11B9.[2018·深圳]如图17-12,直线a,b被c,d所截,且a∥b,则下列结论中正确的是()A.∠1=∠2B.∠3=∠4C.∠2+∠4=180°D.∠1+∠4=180°图17-12B考向一线段、射线和直线例1[2018·厦门质检]在同一条直线上依次有A,B,C,D四个点,若CD-BC=AB,则下列结论正确的是()A.B是线段AC的中点B.B是线段AD的中点C.C是线段BD的中点D.C是线段AD的中点D|考向精练|[2018·厦门期末]已知点C是线段AB的中点,点D是线段BC上一点,下列条件不能确定点D是线段BC的中点的是()A.CD=DBB.BD=13ADC.2AD=3BCD.3AD=4BC[答案]D[解析]如图,∵CD=DB,∴点D是线段BC的中点,A不合题意;∵点C是线段AB的中点,∴AC=BC,又∵BD=13AD,∴点D是线段BC的中点,B不合题意;∵点C是线段AB的中点,∴AC=BC.∵2AD=3BC,∴2(BC+CD)=3BC,∴BC=2CD,∴点D是线段BC的中点,C不合题意;3AD=4BC,不能确定点D是线段BC的中点,D符合题意.故选D.考向二角的概念与计算例2[2018·漳浦县期末]时钟显示时间是3点30分,此时时针与分针的夹角为°.[答案]75[解析]3点30分时针与分针相距2+12=52份,此时时针与分针的夹角为30°×52=75°.|考向精练|如图17-13,已知直线AB和CD相交于点O,∠COE是直角,OF平分∠AOE,∠COF=34°,则∠BOD的大小为()A.22°B.34°C.56°D.90°图17-13[答案]A[解析]∵∠COE是直角,∠COF=34°,∴∠EOF=90°-34°=56°.∵OF平分∠AOE,∴∠AOF=∠EOF=56°,∴∠AOC=56°-34°=22°,∴∠BOD=∠AOC=22°.故选A.考向三余角和补角的计算例3[2019·漳州莱芜期中]如图17-14,直线AB,CF相交于点O,∠EOB=∠DOF=90°,则图中与∠DOE互余的角有()A.1个B.2个C.3个D.4个图17-14B|考向精练|[2019·福州模拟]已知∠α和∠β互为补角,且∠β比∠α小30°,则∠β等于.[答案]75°[解析]∵∠α和∠β互为补角,且∠β比∠α小30°,∴∠𝛼+∠𝛽=180°,∠𝛽=∠𝛼-30°,解得:∠α=105°,∠β=75°.考向四平行线的判定和性质的应用例4[2019·赣州全南县期末]在同一平面内有100条直线,若a1⊥a2,a2⊥a3,a3⊥a4,a4⊥a5,…,a99⊥a100,则下列结论正确的是()A.a1∥a100B.a2⊥a98C.a1∥a99D.a49∥a50[答案]C[解析]如图,A.a1⊥a100,故A错误;B.a2∥a98,故B错误;C.正确;D.a49⊥a50,故D错误.故选:C.|考向精练|1.如图17-15,AB∥CD,直线EF交直线AB,CD于点E,F,FH平分∠CFE.若∠EFD=70°,则∠EHF的度数为()A.35°B.55°C.65°D.70°图17-15[答案]B[解析]因为∠EFD=70°,所以∠CFE=180°-∠EFD=110°.又因为FH平分∠CFE,所以∠CFH=12∠CFE=55°.因为AB∥CD,所以∠EHF=∠CFH=55°.2.如图17-16,直线EF分别与AB,CD交于点A,C,若AB∥CD,CB平分∠ACD,∠EAB=72°,则∠ABC的度数为.图17-16[答案]36°[解析]∵AB∥CD,∴∠ACD=∠EAB=72°.∵CB平分∠ACD,∴∠BCD=12∠ACD=36°.∵AB∥CD,∴∠ABC=∠BCD=36°.